同高连续数对的无限性

指出Collatz猜想中，某此连续的整数串具有相同的高，专门研究了同高连续数对，提出了它是通过利用一个算法从数的奇偶矢量重建数的轨迹来实现的。研究发现：同高连续数对在自然数中有无限多对，这上以前研究Collatz猜想未注意到的。     

自然数的连续倍数

寻找k个连续自然数，分别是另外k个连续自然数的倍数，本文从实例出发，获得了统一的表达公式。     

连续自然数幂的二项分解

对根据新定义的二元方数,结合组合数导出连续自然数n次幂的二项分解,从而得出连续自然数n次幂的二项分解公式,并利用其探究了波文猜想。     

自然数的连续奇偶分拆

给出了一个自然数能分拆成连续奇数(或偶数)之和的充要条件,并给出了两种分拆的分拆数。     

同高连续数对的无限性

指出了Collatz猜想中,某些连续的整数串具有相同的高,专门研究了同高连续数对,提出了它是通过利用一个算法从数的奇偶矢量重建数的轨迹来实现的.研究发现同高连续数对在自然数中有无限多对,这是以前研究Collatz猜想未注意到的.     

对称n筛计算式的应用

给出了以下四个计算公式及应用实例:①求不大于任一指定数a的自然数中存在多少个素数的计算公式。②求任意一个偶数都存在有多少对不同形式的1+1形式的计算公式。③求不大于任一指定数a的自然数中存在有多少对孪素数的计算公式。④求不大于任一指定数a的自然数中存在有多少对四重素数的计算公式。     

3N＋1猜想中的通常迭代与伸长迭代

讨论了通常适代与伸长适代的异同，得到了以下2个结果：①同高连续数对在2种迭代下的不变性；②数对n和n 2^κ的轨迹序列和奇偶矢量之间的关系可使自然数的研究转化为对其奇偶矢量的研究。     

关于方程x~m-y~n=1,|x-y|≤250400.

在1842年,Catalan提出了两个连续数除8,9外不能同时都是自然数的大于1次的乘幂的猜测。不久以前,R.Cestari曾经给出了了个证明。但是这个证明是错误的。例如他在204页从x_1~(t‘)·x_2~(t‘‘)=x~t和x_2~(t‘‘)-x_1~(t‘)=2得出x_1=x_2=2是没有根据的,因为他漏掉了x_1=2x_3~t,x_2=2~(lt-1)x_4~t,t‘=t‘‘=1,(x_3,x_4)=1的这一可能的情形;又在207页他用了“两个不相等的无理数的乘积不能等于一个自然数”这样一个不真确的命题等等。所以他并没有得出什么结果。即使三个连续数能否都是自然数的大于1次的乘幂问题,亦迄今还未解决。     

关于“完全归纳法原理”

在一般论著中建立自然数系,常按户Peano氏公理表述自然数系的特徵性质如下: PⅠ.1为一自然数。 PⅡ.在自然数集合中每数e皆有一确定的继数。 PⅢ.a~+≠1,即1不是任何数的继数。 PⅣ.若a~+=b~+,则a=b,即对每一个数,没有或恰有一个数以它作为继数。 PⅤ.完全纳归法原理:自然数的每一个集合,如果它含数1,且对所含的每数a又含其继数a~+,则它含所有自然数。 在公理系统P中起基本作用的是完全归纳法原理。由此可以直接推出“归纳证明”是合     

怎样求两个连续自然数积的方幂和

本文利用导数、多项式的相等及线性方程组等有关知识给出了求两个连续自然数积的方幂和的方法:把两个连续自然数积的方幂和转化为多项式。