浅谈辅助函数法在初等数学中的应用

在中等职业学校和中专数学教学中，解几何题常常需要添置辅助线，解方程有时需要用辅助未知数进行变量代换，本文利用辅助元素（辅助未知数、辅助变数、辅助角、辅助函数、辅助方程、辅助线等）作为桥梁的方法，通过典型的例题对“辅助函数法”做一简要介绍，在实际教学过程中教学生学习并掌握这种方法，对于学生基本技能的训练和解题技巧的形成起到帮助和指导作用。     

如何添辅助线解几何题

添辅助线可以把已知条件与待解决的问题联系起来，从而找到解决问题的方法，辅助线在几何证题中起着桥梁作用和化难为易的作用，添辅助线是一种难度很大的技巧，因而添辅助线应该遵循释放已知条件内涵，构造所需图形，化繁为简这三个原则。     

利用向量及其运算解立体几何题

在高中引出向量及其运算，使高中数学与高等数学联系更为紧密。利用向量及其运算知识解立体几何求值题，进一步反映了立体几何中有关概念的本质，可避免添加辅助线或辅助面等，亦可使方法和过程更为简明。     

浅淡添设辅助线

在解某些平面几何题时,往往需要添设辅助线,它补题中之不足,助解题的顺利进行.添设辅助线的目的在于把题中的已知与求解的有关图形或性质联系起来(或集中、或分散),组成新图形,起到了桥梁作用,把问题转化为另一处形式,便于利用有关的公理、定理、定义等达到解题的目的;当几何题中的条件与结论之间的关系不够明确时,添了辅助线还可以把所需的关系揭露出来,从而找到解题的途径,总之,添设辅助线就是创设由未知向已知转化的条件.     

向量法证题初探

用传统的综合法证明几何题,常常需要添加若干辅助线,使人不易捉摸。而适当采用向量法证明几何题则可以克服这一缺点。另外向量公式不依赖坐标系统。因此,它比解析法证明几何题又具有一定的优越性。本文试就向量法证几何题作一些初步探索。     

关于切圆作图的几个问题

在初等几何中,有一类作图问题,乍一看起来,似乎是彼此孤立的,需要一个一个去解决。但仔细考虑一下,这类作图题之间是有着相互联系的。如果我们运用这种联系对它们进行科学分类,就可以迅速地把这类作图题作出来。比如,作三角形的外接圆、作三角形的内切圆、作三角形的旁切圆、作过二定点并切于一定直线的圆、作过一定点并切于二定圆的圆等十个作图题,如果把点看作半径为零的圆,把直线视作半经为无限大的圆,那么这些作图题均属于“作切于三定圆的圆”的特殊情况。根据它们这种普遍联系,就可以在作图方法上发现许多相同之处。现将这十个作图题及其解法简要叙述如下。     

应用仿射变换证明平面几何竞赛题

应用几何变换的观点，证明平面几何题，是对传统的欧氏几何进行改革的一个重要方面．本应用仿射变换证明平面几何竞赛题举例说明。     

一类几何题辅助线作法的探索

本文从中考平面几何题在解题中辅助线的作法变化分析出发 ,探析了在这类问题中作辅助线的动机、目的和方法 ,阐明作辅助线是一种培养学生创造能力、开展素质教育的有效途径     

谈塞瓦(Ceva)定理的应用

关于塞瓦定理,在不少几何书里都只谈了它在证共点线问题中的应用,而对如何利用它去解决其他问题都未提及。笔者认为,既然这个定理的条件是必要而充分的,因此在讲它的应用时,应该把这两个方面都介绍出来。这样做,不仅可往往减少添加辅助线的手续,而且还可使问题的解法大为简化。为此,本文想通过下面的几个例题,对在解几何题时如何应用塞瓦定理,作一个肤浅的探讨。为使下面的讨论便于叙述,先来介绍塞瓦定理的内容及证明。     

利用合同变换证题

几何证题中,常需要作辅助线,以使条件与结论联系起来。就图形看,可以认为这只是将原图形中的部分图形进行某种位置变动的结果。 把任意几何图形看做是适合某种条件的点的集合。点与点的对应关系就是几何中的变换。全等图形联系于合同变换群。     

梯形问题的常用辅助线

针对不少学生在解平面几何问题时缺乏作辅助线的经验，就梯形问题的几种常用辅助线作法作了介绍，并说明了各种作法的目的、一般适用的条件以及分析问题的方法。     

一解多题

课堂练习与课外作业是学生数学实践活动的主要场所。因此,如何精选习题,如何进行讲授,如阿布置作业,以便很好地培养学生分析问题和解决问题的能力,是教师备课的基本任务之一,与讲课同等重要,并且直接影响讲课的效果,也影响下一次讲课。题的内容与进行的方式,因讲课内容的不同,而有多种多样。例如,一题多解,可以启发、引导学生灵活运用所学过的各种知识和技巧,从不同角度去思考、摸索、解决同一个问题。我们现在来谈另外一方面:一解多题,即用解一个题的方法解决其他许多有关的题。用一个例子说明如下: 基本问题自己知圆外定点给圆作切线。基本解法这个问题可以用平面几何,也可以用解析几何来解。我们现在采用后者。适当选取坐标系,使圆的方程为     

在证题课中实现几何变换思想的渗透

本文通过一些典型的例子,简要说明在证题课中,教师怎样才能实现几何变换思想的渗透,怎样才能帮助学生解决“作辅助线难”的问题,从而大大提高他们分析、解决问题的能力。     

解数学竞赛题中的几何构造方法

利用三角形几何性质探讨了如何通过构造三角形来解各种相关的数学竞赛题,并给出了如何分析问题和构造三角形的具体方法.主要从数学竞赛中常见的求值问题、证明问题、求最值问题等三个方面加以说明.结果表明利用几何方法可以为复杂的代数问题的解决提供简洁而有效的方法.     

圆的点弦(切)距公式及其应用

本文给出过极点圆的点弦(切)距离公式,并通过解数学竞赛题介绍公式的应用。     

解梯形问题常用辅助线

解梯形问题．常要化归为三角形或平行四边形的问题来解决．为此需要合理的添加辅助线，常用的辅助线有以下几种做法；     

例谈数学中的一题多解

以一几何题的多种解法为例,探讨了一题多解的数学思想和方法在解决数学问题中的运用.     

非回转二次曲面平面截交线实形的求解方法

根据非回转二次曲面与特定方向的两组平行平面束相交为圆截的几何特性，论述了通过包含圆截面作辅助球面，可以直接、准确地求解非回转二次曲面截交线实形的作图方法。该方法有作图简单、方便和作图准确等优点。     

漫谈《数学分析》

本文就基础层面浅谈《数学分析》的研究与教学，在加强对定理及相互关联的理解、一题多解和借助几何直观作为切入点凡方面作了相关论述。     

给定杆长的平面四杆机构简易设计方法

以辅助圆为基础，引入辅助设计长度ｌ角度ψ，利用给定条件与设计杆长之间的几何关系经推导整理得出：（１）图解法设计－－借助ｌ或ψ直接确定辅助圆上固定铰链中心Ａ点，以得到满足给定条件的机构；依据ｌ还能解决平面四杆机构其他方面的设计问题。（２）解析法设计－－曲梗长ａ和机架长ｄ的计算公式。