次Hermite矩阵方程

本文讨论矩阵方程·XAX=A、XAX=A（A为非退化Hermite矩阵）的求解问题,·x为x的次共轭转置矩阵．     

Hermite矩阵方程的解

本文主要讨论矩阵方程XAX^＊=A的一般解（其中A为（斜）Hermite矩阵;X^＊为X的共轭转置）,以及考虑矩阵方程XAX=A的Hermite矩阵解（其中X为Hermite矩阵解）.     

四元数体上的次自共轭矩阵与正定次自共轭矩阵

定义了四元数次自共轭矩阵与正定次自共轭矩阵,讨论了它们的性质,给出了它们的等介表示。     

四元数矩阵方程AXB+CXD=E的M自共轭解

把实数域上的M对称矩阵的概念推广到四元数体上,形成M自共轭矩阵,然后在四元数体上讨论矩阵方程AXB+CXD=E的M自共轭解及其最佳逼近问题.利用四元数矩阵的实分解和复分解,以及M自共轭矩阵的特征结构,借助Kronecker积把约束四元数矩阵方程转化为实数域上的无约束方程,克服了四元数乘法非交换运算的困难,并得到该方程具有M自共轭解的充要条件及其通解表达式.同时在解集非空的条件下,运用矩阵的分块技术及矩阵的拉直算子,获得与预先给定的四元数矩阵有极小Frobenius范数的最佳逼近解.由于M自共轭矩阵是四元数自共轭矩阵的推广,因此所得结果拓展了该方程的结构解类型.     

关于Lyapunov算子方程

本文将[1]中关于Lyapunov矩阵方程的结果推广到无限维Hilbert空间,主要定理为: 定理1 设A为Hilbert空间上有界算子,方程AX+XA~*=XA+A~*X=I有自共轭解当仅当存在可逆自共轭算子H和两个自共轭算子u、v,满足A=H+u+iv,uH+Hu=0,vH-Hv=0。在这时X=-1/2H~(-1)是它的一个自共轭解。     

四元数体上方程AXB=C的D自共轭解及最小二乘问题

矩阵方程AXB=C具有广泛的实际应用背景,笔者在四元数体上讨论它的D自共轭解及其最小二乘问题.首先,对于给定的四元数正定矩阵D,借助四元数向量内积,给出了D自共轭矩阵的定义.然后,利用四元数矩阵对分解定理,得到了方程AXB=C具有D自共轭解的充要条件及其解的表达式.最后,利用四元数矩阵对的广义奇异值分解,获得该方程的最小二乘D自共轭解,并通过数值算例显示该文的具体算法.所得结果推广了复域上的相关结论.     

四元数体上矩阵方程的斜自共轭解

利用四元数矩阵的M-P逆,得到了四元数矩阵方程XB=D在子空间上有斜自共轭解的充要条件以及解的形式,由此给出了四元数矩阵方程AXB=D有斜自共轭解的充要条件和解的一般形式.参5.     

四元数广义Sylvester方程M自共轭混合结构解

利用矩阵的四分块形式刻画了M自共轭矩阵的特征结构，并讨论了四元数广义Sylvester方程AX-YB=C的一类M自共轭混合结构解，其中X为酉相似块对角M自共轭矩阵，Y为自共轭矩阵.根据所提结构矩阵的特点，将原方程转化为等价的无约束方程组，再利用矩阵的Moore-Penrose广义逆，获得方程组可解的充分必要条件及其通解表达式，从而得到原方程的M自共轭混合结构解.特别地，导出矩阵方程AX=C具有酉相似块对角M自共轭解的充要条件及其通解表达式.当M=0时，利用四元数矩阵对的CCD-Q分解，获得广义Sylvester方程满足■的约束混合结构解集.数值算例检验了所得结果的正确及可行性.     

四元数矩阵及其平方矩阵的左(右)-*序

讨论自共轭四元数矩阵及其平方矩阵的左(右)-*序之间的关系,推广了自共轭四元数正定矩阵的相关结果.     

四元数正定矩阵的定义及其行列式的上界

摘 文章指出: 1.n阶四元数矩阵A为自共轭矩阵的充要条件是:对任意n维四元数行向量X=(x_1,x_2,…,x_n)恒有XAX′为实数。从而现有文献关于四元数正定矩阵的定义中,关于自共轭的条件是多余的; 2.n阶四元数矩阵A=(q_n).若A为正定,则其行列式‖A‖满足不等式:     

二次广义Hermite矩阵方程的解

利用广义Hermite矩阵探讨一类二次矩阵方程的求解问题, 得到了矩阵方程XAX=A存在广义Hermite矩阵解的充分必要条件及其相应解的表达式, 并给出了矩阵方程XAY=B当A,B可逆时的通解表达式.     

次Hermite矩阵的次正定性

若ｎ阶次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ，对任意非零向量Ｘ＇＝（ｘ＿１，ｘ＿２，…ｘ＿ｎ）∈Ｒ￣ｎ，有ＡＸ＞０，则称次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ是次正定的．给出了判定次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵次正定的几个充要条件：定理ｎ阶次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ是次正定的，当且仅当下列条件之一成立：（ｌ）Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵ＪＡ是正定的；（２）存在ｎ阶可逆复矩阵Ｐ，使ＡＰ＝Ｊ；（３）次Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ的４ｋ阶，４ｋ十互阶下次主子式为正，４ｋ＋２阶，４ｋ＋３阶下次主子式为负；（４）存在ｎ阶可逆复矩阵Ｐ，使其中λ＿ｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ。     

关于次半正定矩阵的一点注记

证明了可逆次半正定 (非次正定 )矩阵的逆矩阵也次半正定。     

次亚正定矩阵的几个性质

研究了次亚正定矩阵的性质和一系列充分必要条件,主要得到了2 个结论:(1) n阶次亚正定矩阵的次特征值实部为正;(2) 当JA为实正规矩阵时,A是次亚正定矩阵的充分必要条件是A 的次特征值实部为正.讨论并给出了矩阵乘积是次亚正定矩阵的充分和充要条件.     

除环上一个矩阵方程的自共轭解和反自共轭解

给出了除环上的一个矩阵方程有自共轭矩阵解和反自共轭解的充要条件及其解集结构。     

次正定矩阵的若干结论

给出实数域上次正定阵的若干判别准则、行列式不等式;指出文［１］的错误,给出几个重要反例。     

实方阵的次正定性

定义了实方阵的次正定性 ,给出实方阵的次正定性的一些性质     

关于准次正定矩阵

研究准次正定矩阵的性质及行列式理论.得到了判定准次正定矩阵的几个充要条件,以及准次正定矩阵的几个行列式不等式.并将著名的Fejer定理、Minkowski不等式及Hadamard不等式拓广到了准次正定阵上,扩大了Minkowski不等式的指数范围.