单变量函数方程的理论、应用和发展

综述了单变量函数方程的理论、应用和近期的发展概况．     

函数方程f~2＝e~（2Φ_1）＋e~（2Φ_2）＋e~（2Φ_3）解的性质

本文主要证明了：设ｆ，α，β为非常数的整函数，满足若则有或     

亚纯函数的特征函数及函数方程

关于亚纯函数的特征函数,本文解决了庄圻泰等在“亚纯函数的不动点与分解论”中提出的两个问题;关于函数方程,本文推广并改进了Yanagihara等人的若干结果。     

对一个共轭型函数方程的研究（1）

给出了作者曾在“数学竞赛命题又一束”一文中提出的如下问题的完整解答：试求出所有的函数f：R→R,使得对于任何的x,y∈R,都有f(x f(y) yf(x))=y f(x) xf(y)。提出了上述问题在某些域或环上的推广问题及其一些相关或相类似问题。     

关于矩阵函数方程f(X)=A的解

给出了复数域上矩阵函数方程f(X)=A有解的充要条件, 其中 A∈C ^n×n ,f(x) 为复值函数.进一步给出可以用A的多项式来表示方程的解的充要条件.     

函数方程f^2=e^2hφ1＋e^2φ2＋e^2φ3解的性质

本文主要证明了：设ｆ，ａ为非常数的整函数。满足ｆ＾２＝ｅα＋ｅβ＋１。     

一类数论函数的新进展

进一步研究了满足条件 f(u2+kv2)=f2(u)+kf2(v)的数论函数 f(n),证明了其在k=6的情形下可分成3类,进而验证了关于f(n)的猜想在k=6时是正确的. 进一步地,总结了研究过程中出现的一些有趣结果,指出了该数论函数在参数k的不同取值下,其证明过程中出现的一些联系与区别,旨在为猜想的完全证明提供一些可能的理论支撑.     

关于Euler函数的Makowski猜想

对于正整数n,设φ(n)是n的Euler函数.该文证明了:如果φ(n 3)=φ(n) 2,则n=2pr或2pr-3,其中p是适合p≡3(mod 4)的素数,r是正整数.     

关于Euler函数的一个方程

对于正整数n,设φ（n)和S(n)分别是n的Euler函数和Smarandache函数。本文解决了有关φ（n)和．S(n)的一个方程问题。     

一类线性函数方程的亚纯函数解的存在性

本文对一类线性函数方程在放宽系数限制之后的亚纯函数解的存在性给出证明,改进了JanneHeittokangas等人关于此方程亚纯函数解的存在性的相应结果.     

关于数论函数方程φ(n) =S(n5)

对于正整数n,设φ(n)和S(n)分别是Euler函数和Smarandache函数.证明了:方程φ(n)=S(n5)仅有解n=1,64.     

一类含迭代的二元均值函数

本文给出一类含有迭代的二元函数$M_f(x,y)=\lambda_1f(x)+\lambda_2f^2(x)+\mu_1f(y)+\mu_2f^2(y)$是均值函数的条件，并进一步研究了该类均值函数的对称性、等价性，以及拟算术均值函数关于该类均值函数的不变性，其中$f$为实区间$I$上的自映射， $f^2$为$f$的$2$次迭代，$\lambda_1,\lambda_2,\mu_1,\mu_2$为实数.     

具有δ函数势的Schroedinger方程的解和广义函数的乘积

本文证明了定义函数的乘积ε（x)δ(x)sinkx=0，利用这个结果我们证明ψ＝（1-c/2ε(x))sinkx是Schroedinger方程－d^2/dx^2 cδ(x)ψ=Eψ的解。     

带权解析函数空间Z^PP的刻画

研究了Ｏ．Ｓｌａｃｏ和ＤｅＳｏｕｚａ定义的一个解析函数空间Ｚ＾ＰＰ，利用Ｈａｄａｍａｒｄ乘积方法，得到了这个函数空间的一个完全刻画，特别地得到了Ｂｌｏｃｈ函数的一个新特征。     

非一致椭圆型方程Green函数的性质

本文给出了非一致椭圆型方程的广义Green函数的若干新性质,发展了[1]和[2]中的一些主要结果。     

关于数论函数方程Ф（n）=s（n^7）

对于正整数n，设Ф（n）和s（n）分别是Euler函数和Smarandache函数，证明了：方程Ф（n）=s（n^7）仅有整数解n=1，64，72，80．     

一类L-函数的函数方程

L-functions and their functional equation s of the quadratic fields have played an important role in the study of class nu mber and related problems. In ［2］ the authors studied the L-functions on a kind of real quadratic fields and obtained some interesting resu lts on a kind of real quadratic fields with class number one. In this paper, as a further development of our study on such real quadratic fields, the authors ha ve proved the following theorem.     

一般根地图的普查

对于给定的棱数，提供可定向、不可定向以及全体一般根地图的计数方程．虽然它们都是Riccati型的微分方程，给出了确定它们解的简单递推公式．从而，相应的计数函数可以被提取。