关于悖论的哲学思考

逻辑哲学作为现代西方哲学中的一门显学,其诞生与悻论的刺激不无关系。特别是“从六十年代到七十年代期间,西方的逻辑学家们要求哲学家们来支援他们”,他们认为数学中和逻辑学中的那些悻论“与其说是数学问题,还不如说是哲学问题更恰当些”,认为最终解决悖论“非靠哲学不可”[1]。对于这种看法,笔者认为确有道理。纵观悻论研究的历史,凡是那些分析解决悖论的有价值的思想和方法,无不与哲学有关。中国大百科全书哲学卷曾这样定义悖论：“指由肯定它真,就推出它假,由肯定它假,就推出它真的一类命题。这类命题也可以表述为：一个命…     

蕴涵关系与数学命题

数学推理命题的典型形式为“如果有条件A,那么有结论B”。现行的中学课本,把命题描述为“判断一件事情的句子”,而命题的结构是这样指出的:“每个命题都可分解为题设与结论两个部份”。其实,题设与结论本身也是命题。所以,中学课本中的命题是由题设与结论两个命题组成的复合命题。 命题演算中蕴涵关系“A→B”(读为A蕴涵B)定义为“非A或B”,通常称为实质蕴涵。也就是“A→B”为假,当且仅当A真且B假时。它的真值表为:     

试论数学推理方法的逻辑根据

数学的基本特征之一,是逻辑推理的严格性以及它的结论的确定性。那末逻辑推理的确切涵义与根据是什么呢?本文试用逻辑代数的观点给以阐述。数学中推理的有效性数学中的命题,大都具有“如果…,那么…”的形式,或者,更简单些可以表为“若p则q”,其中p,q是命题。命题“若p则q”称为“条件命题”或“假言命题”,在逻辑代数中表为“p→q”,p称为前提(条件),q称为结论(终结)。命题p→q的真假由下表给出:     

罗素悖论及其意义

悖论,按A·A·Fraenkel与y·Bar—Hillel的说法,如果某一理论的公理和推论原则上看上去是合理的,但在这个理论中却推出了两个相互矛盾的命题,或者证明了这样一个复合命题,它表现为两个互相矛盾的命题的等价式,那么我们就说这个理论包含了一个悖论。     

命题真假的一种计算方法和应用

本文给出一种计算命题(也称命题函数或真值函数)“真、假”值的方法,应用它可以为一类逻辑方程(组)提供新的解法。 为了行文的方便,我们记命题的全体为L。 定义1 泛函φ:L→{1,0},P∈L,φ(P)p,P为真命题时,p=1;P为假命题时,p=0。     

哥德尔自指命题与悖论

"可证"的算子用法与谓词用法是严格区分概念层次的结果。"可证"的算子用法是从命题外部来理解"可证"的,而它的谓词用法则是从命题内部来理解的。哥德尔自指命题是否导致悖论,关键在于如何理解"可证"概念。如果把"可证"理解为语句算子,那么哥德尔自指命题就不会导致悖论。否则,如果把它理解为谓词,那么哥德尔自指命题就会导致悖论。     

哥德尔不完全定理与数学认知的局限性——基于递归论解读哥德尔不完全定理

哥德尔不完全定理揭示了数学认知的局限性,任何一个含有初等数论及一阶谓词逻辑的形式证明系统中,都存在这样的命题,在此(封闭)系统中,依靠系统中的公理及一阶逻辑演算方法,既不能证明该命题为真,也不能证明它为假。哥德尔在定理的证明中开启可计算理论(递归论)之门,用现在成熟递归论的结果重新认识哥德尔不完全定理,使其变得更容易接受。近年来,机器学习取得突破性成果,由此引发有关人工智能是否可以完全代替人的思维能力等热点问题讨论。针对这一问题,如果承认"人工智能"是在一个交互计算系统中完成的,那么哥德尔不完全定理给出的是否定回答。     

数学中逻辑推理的几个问题

<正> 一、引言逻辑推理是一种思维形式。它是由一个或几个命题推导出新命题的过程。逻辑代数中的命题运算正是由一个或几个命题构成一个新命题的过程,所以,逻辑推理实质上是一种命题运算。但是,命题演算得到的结果是可真可假的,而我们要求推理的结果是一个真命题。所以,“逻辑推理是指一种符合逻辑的正确的推理,利用它应当推出正确的结论”[文(1)]。因此,有些人称它为“有效推理”[文(2)]。(这里文(1),文(2)指参考文献(1),……,下同。)     

浅谈"简易逻辑"中的"否命题"与"非P"

在简易逻辑中"否定"有两种形式一种是否命题,一种是非P(记作"、P").如果原命题是"若p则q",那么这个原命题的否命题是"若非p则非q",即否命题是对一个原命题的条件和结论都加以否定;"非P"也叫做命题p的否定,它则是"若p则非q",即非P是对原命题的结论加以否定.它实际上只给出了命题P的否定和它的否命题的一个简单定义,但是其定义的内涵深沉,值得我们推敲.     

浅谈“简易逻辑“中的“否命题“与“非P“

在简易逻辑中“否定”有两种形式:一种是否命题,一种是非P(记作“┌P”)。如果原命题是“若p则q”,那么这个原命题的否命题是“若非p则非q”,即否命题是对一个原命题的条件和结论都加以否定;“非P”也叫做命题p的否定,它则是“若p则非q”,即非P是对原命题的结论加以否定。它实际上只给出了命题P的否定和它的否命题的一个简单定义,但是其定义的内涵深沉,值得我们推敲。     

浅谈“简易逻辑”中的“否命题”与“非P”

在简易逻辑中“否定”有两种形式:一种是否命题,一种是非P(记作“「P”)。如果原命题是“若p则q”,那么这个原命题的否命题是“若非p则非q”,即否命题是对一个原命题的条件和结论都加以否定;“非P”也叫做命题p的否定,它则是“若p则非q”,即非P是对原命题的结论加以否定。它实际上只给出了命题P的否定和它的否命题的一个简单定义,但是其定义的内涵深沉,值得我们推敲。     

浅谈“简易逻辑“中的“否命题“与“非P“

在简易逻辑中“否定”有两种形式:一种是否命题,一种是非P(记作“「P”)。如果原命题是“若p则q”,那么这个原命题的否命题是“若非p则非q”,即否命题是对一个原命题的条件和结论都加以否定;“非P”也叫做命题p的否定,它则是“若p则非q”,即非P是对原命题的结论加以否定。它实际上只给出了命题P的否定和它的否命题的一个简单定义,但是其定义的内涵深沉,值得我们推敲。     

“三卡悖论”与“说谎者”——解读文兰院士的《解一个古老的悖论》

依据常理,导致"说谎者悖论"的"本语句为假"无论如何算得上是一个句子,因而,文兰院士的说法——"不存在任何句自己说自己为假"似乎有悖常识。然而,这种"自己说自己为假"的"语句"毕竟不是命题(亦即不是非真即假的单义句),而只不过是多义句。正因为如此,所谓"说谎者悖论"纯属源于语言误解之逻辑误用,根本不合逻辑。事实上,我们只消将文兰院士所谓的"句"解读为"命题",将其上述说法解读为"不存在任何命题自己说自己为假",该说法也就不再有悖常识,而易于为人们所接受了。     

关于描述计算机科学数学对象的形式系统的无矛盾性问题

本文证明了〔2〕中提出的系统是无矛盾的.空的系统中的所有公式都是可推出公式.本文找到了不可推出公式.将系统中的公式与命题代数的公式对应,可推出公式必对立真公式,而(?)对应的是原始假公式,从而得到(?)是不可推出的,因而系统是非空(无矛盾)的.     

关于命题“若A则B”的否定形式的讨论

数学中为了证明命题“若 A 则 B”为真,有时要采用反证法.所谓反证法,是要证明这个命题的否定形式为假.这里就有一个正确写出命题“若 A 则 B”的否定形式的问题.然而有很多人把一个命题的否定形式与这个命题的否命题混淆,因而把命题“若 A 则”(简记为“A→B”)的否定形式错误地写成它的否命题:“若 A 则非 B”(简记为“A→B”).这类错误在一些已出版的书籍中也时有所见.下面摘录一段某书在证明原命题和它的逆否命     

好玩的数学：七巧板悖论

所谓悖论,指的是这样一种命题:如果认为它是真的,则它是假的;如果认为它是假的,则它又是真的。在数学和逻辑学中出现悖论,是科学家历来十分关注的一个问题;悖论的解决则会极大地推动科学的发展。芝诺的“飞矢不动”、罗素的“理发师悖论”等,都是著名的悖论。在七巧板拼图中也出现了有趣的“悖论”。下面2个用同一副七巧板拼出来的人形,几乎一模一样,但一个有脚,另一个却没有脚。这是怎么回事呢?它们是怎么拼出来的呢?请你试试看。答案见下期。上期“千变万化的七巧板”答案用一副七巧板拼出三角形、平行四边形或等腰梯形的参考拼法如下。实…     

归谬法的“推出荒谬结果”就是推出逻辑矛盾

目前国内出版的逻辑书对归谬法所下的定义还不尽相同,但人们一般都承认归谬法总是先假定某一个判断是真的,由此推出显然荒谬的结果来,再根据充分条件假言推理的否定后件式进而否定原来的假定。那么“推出显然荒谬的结果”究竟是指什么呢?几本逻辑书在提法上似乎并不一致。我们认为,从逻辑上说,归谬法中所谓的“推出荒谬结果”就是推出逻辑矛盾。反之,如果由某假定出发推出的结果不能表现为逻辑矛盾,那么我们便没有逻辑的根据或理由断定这个结果是荒谬的,因而也就不可能逻辑必然地否定原来的假定。     

读者圆桌

关于《世界博览》2009年第20期的《山西煤炭重组》,谈谈我的一点看法。实践是检验真理的唯一标准。假如资源属于国家,如果造成了生产力的倒退和百姓的贫困,那么“资源应该属于国家”就是个假命题,这与邓小平的“三个有利于”格格不入。假如资源属于私人,如果促进了生产力的发展,繁荣了经济,使百姓富起来了,那么“资源应该属于私人”就是个真命题,因为这符合广大人民的根本利益。因此,一个产业应该姓国还是姓私,     

前提虚假形式有效的演绎推理其结论一定是假的吗?

前提虚假形式有效的演绎推理其结论不一定是虚假的,也可以是真的。但要作具体分析。更准确的回答应当是:某些形式有效的演绎推理,前提虚假结论一定虚假;某些形式有效的演绎推理其前提虚假结论却可真可假。 演绎推理是必然性推理,前提蕴涵结论,即如果形式有效,由真实的前提必然推出真实的结论;而如果结论虚假,好么该推理或者形式无效,或者存在虚假前提。这一点,大家的认识是明确的一致的。但是,一个形式有效的演绎推理,其前提是虚假的,结论是否一定是虚假的呢?对这个问题曾经有过不同回答。一种意见认为:“虚假的前提和正确的形式结构相结合所得出的结论也可真可假。”(《逻辑问题讨论续     

谈高一数学课本中的几个命题

若一个定理的逆命题为真,那么这个定理既可从条件到结论“顺”用,也可从结论到条件“逆”用。若一个定理的否命题为真,那么,它和原定理结合既可判断“是”,又可判断“非”。若考虑原定理的逆否命题,以及对它进行一些必要的拓广,那么就能扩大定理的应用范围。教学中我们引导学生如以上所说去做,是很有益的,下面主要就高一数学课本中的内容举这方面的例