一类函数的狭义理解与广义理解

同一个函数表达式 y=(x-|x|)(1-x~2)~(1/2),由于狭义理解和广义理解的不同,可产生两个不同的 R—→R 型的函数.我们知道:任一函数都有三个要素,即定义城、对应规律、值域.如果两个函数的三要素之中,至少有一个要素不同,则它们就不是同一个函数.狭义理解的 y=(x-|x|)(1-x~2)~(1/2),其对应规律是实实——实的复合过程,定义域是〔-1,1〕;而广义理解的y=(x-|x|)·(1-x~2)~(1/2),其对应规律是实——复——实的整体运算系统,定义域是〔-1,+∞).由于对应规律和定义域不相同,所以显然产生了两个不同的函数.既然同一表达式,在不同的理解之下,产生了两个不同的函数,所以今后我们如果遇到了这一类型的表达式所表示的函数,就可按两种理解各作一遍.     

一簇几乎处处连续处处不可导,但在任一区间〈a,b〉上均R可积的函数类

讨任一质数p)2, 定义:1P”’当二=共,式中。为今。的正负整数;且(P,。)=,,:为任意自然数, 尸子(x)=畔为既约分数o,对实数集中其余的数x则f(x)是定义在整个数轴(一oo,十co)上的一个函数。f(x)为偶函数是显然的,且按定义知f(x)的定义域为(一co,+co)而值域为有界数集:,傲。为值域。的一个下界(下确界),而数李为其一个上界(上确 F1一广l一Pz’界)2.f(、)在数轴上几乎处处连续2.1任·给定点二〔飞二卫里_一(p,。。)二1处,函数f(x)不连续。 P一U证:取定适合条件。<。。<一策的某一定数。。,对此数。。>。而言, p一几,由于在点一红的任P,7意/Ju…     

关于复合函数的讨论

复合函数反应了在具体问题中出现多个变量之间的一种锁链的依赖关系。提出复合函数的目的在于把函数看成复合函数之后，就可以把复杂的函数拆成若干个较简单的函数来研究。定义：设函数y二人X）定义域为数集M，函数X一一X）定义域为数集A，G是A中使u＝9（x）EM的x的子集，若G非空，即石一xDxEA，9（x）EMI羊wxEG按照对应关系中，对应堆—一个XEM，再按对应关系f对应唯—一个y，即vXEG都对应唯—一个y，于是在G上定义了一个函数，称为函数X一9（X）与y一f（）的复合函数，记为：y一人中（x）」，x6G，u称为中间变量。p的值域范围…     

在变换羣下的不变積分

§1.引言 我们说在拓樸(?)S上定义了一个不变积分,是指每一个在S上定义的连续实函数f都对应了一个实数,叫做函数f在S上的积分,记作(?)f(x)dx,它满足下列条件: (L)对任意实数α和β以及任意连续实函数f和g下面等式成立: (N)如果对所有x∈S,f(x)=1那末(?)f(x)dx=1.     

一个泛函在组合论中的应用

从实变元x的降阶乘的线性表示式出发，给出一个以多项式为定义域，实数为值域的泛函的定义，由此泛函推出三个性质以及在组合论中的两个推论．     

关于奇函数和偶函数

<正> 教材中关于奇函数和偶函数的定义一直都是这样叙述的: 对于函数f(x), 如果对于函数定义域里任意一个x,都有f(-x)=-f(x),函数f(x)就叫奇函数。     

关于L-函数的一类渐近公式(Ⅰ)

对整数 q>3,设 x 表示模 q 的 Dirichlct 特征,L(s,x)是对应于 x 的 L-函数,对给定的0<σ<1及任意实数 t,设 s=σ+it,并定义     

用ω-Turing机计算实数函数

实数的可计算函数是一个非常重要的概念,定义可计算实数函数有两个途径,第一个途径是先定义可计算实数的指标.一个可计算实数的指标是一个计算该实数的Turing机的Godel数.一个定义在全体可计算实数上的函数y=f(x)是可计算的,当且仅当存在一个在全体可计算实数的指标上的(部分)递归函数将x的指标对应到y的指标,这样对实数函数的研究依赖于自然函数的性质.第二个定义可计算实数的途径是基于逼近.一个实数函数是可计算的,当且仅当它既是序列可计算的也是有效地一致连续的,这个条件太强使得很多非常有用的实数函数不能成为可计算函数.根据这个定义"<"和"="都是不可计算的,因为它们的特征函数是不连续的.在这篇文章里我们讨论ω-Turing机的稳定性并且定义了在一个有限字母表的全体无限序列上的ω-可计算函数,我们也证明了ω-可计算函数的复合函数也是ω-可计算的.我们的定义没有用到Godel数或者递归函数.根据我们的定义很多常用函数特别是一些有用的不连续函数是ω-可计算函数.一个函数是否ω-可计算的验证较为容易,根据我们的定义普通Turing机的停机命题是ω-可计算的.     

关于恢复型定理的研究

本文系统地研究了[0,+∞)上的分布函数G_n(x)对应的恢复函数H_n(x)的性质,将恢复型定理从实数域推广到了复数域.     

关于函数概念教学的思考

函数及其图像在中学代数中占有重要的地位,是后继课学习的基础.因此,务必掌握.正确理解函数概念是学好函数及其图像的关键.关于函数的概念,教材中指出:“设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数”.正确理解这一概念要把握下列内容:第一、函数概念涉及两个变量x和y,讲的是它们之间的某种关系;第二、变量x是在某一范围内取值,这个变量叫作自变量,x的取值叫作自变量的取值范围,也叫做函数的定义域;第三、变量x和y要有确定的对应关系,即对于x的“每一个确定的值,y都有唯一确…     

一元初等方程的等价问题

在将方程变形时,所得方程与原方程有时等价有时不等价。究竟哪些变形使方程等价,哪些变形使方程不等价呢?这个问题在现有的参考书上已有所论述,但还不够系统和完善。这里我们将在实数范围内进一步讨论这个问题。先介绍几个概念。若方程f(x)=g(x)中f(x)、g(x) 都是一元初等函数,则称该方程为一元初等方程。若方程f(x)=g(x) (1) 的任一解都是方程F(x)=G(x) (2) 的解,反之,方程 (2) 的解也都是方程 (1) 的解,也就是说两方程的解集相同,则称它们为等价方程。若两方程不仅解集相同且每个重根的重数也都相同时,则称它们为严格等价方程。本文只讨论等价方程而不讨论严格等价方程。为叙述方便再作如下约定:下面所说方程是指一元初等方程;所说的函数是指一元初等     

广义数及其应用(Ⅰ)摘要

作者曾于文[1]解决了ω_(μ-)可加拓扑空间的ω_(μ-)距离化问题,在那里引入ωμ-列的概念。本文限于讨论μ=0的情况,即对于ω_0列首先定义乘法运算,从而得到广义数系的概念,它是实数的推广,包括且将无限数分成了不同数区,而普通实数则相当于这里的一个数区。可以定义广义函数的一套微积分运算,特别是以下建立的(GNL)积分,这里的广义函数(不同于L·Schwartz的分布)乃指定义域及值域均是广义数的函数。利用这个观点可以自然得到Dirac的δ函数及对于一般分布的理解。     

如何确定恒不等式中参数的取值范围

确定恒不等式中参数的取值范围,是高中数学教学中常遇到的问题,本文将介绍解决这类问题的几个定理,并举例说明其应用.定义设初等函数 y=f(x)(x∈D)的值域为 A,如果存在实数 m、M(m相似文献   

Daubechis小波系数

实数域上的平方可积函数空间L2（R）的基可由一个尺度函数Φ（X）通过伸缩和平移变换,Φm,n(x)=2^m/sΦ(2^mx-n）生成,尺度函数及其对应的小波有两种尺度关系。该文在多分辨分析理论的指导下,求出在紧支撑情况下的Daubechis系数满足的方程组,进而求出Daubechis小波系数,并以N＝10为例具体求出了Daubechis小波系数。     

收缩函数的初等性

文[1]扩展了对初等函数型态的认识.本文继续扩展对初等函数型态的认识,得出了一定条件下的收缩函数是初等函数的结果,并叙述了几个有关的论点.收缩函数在有些文献中亦称为限制函数,即定义1 设函数y=f(x)与y_1=g(x)分别定义在D和D_1上,若DD_1,且x∈D_1,有g(x)=f(x),则称g为f在D_1上的收缩函数(有时简称为f的收缩函数).常见的在一个函数的表达式y=f(x)后注明定义域的方法有时就是给出了一个收缩函数.     

矩阵指数函数的运算性质

本文讨论矩阵指数函数的运算性质,特别给出它的指数幂的运算规律。 设f(λ)是纯变量λ的函数,那么对于λ的每个值,f(λ)就有一个唯一确定的值与它对应,这就是我们通常所研究的数值函数,即函数的定义域和值域都是在某一个确定的数域     

关于Smarandache幂函数的注记

 对于正整数n,Smarandache幂函数SP(n)定义为最小的正整数m使得n整除mm。本文在研究数列{SP(n)}性质的基础上,通过对SP(n)的一次均值及其渐近公式、无穷数列SP(n)的收敛性及其相关的恒等式、方程SP(nk)=φ(n)(k=1, 2, 3)的可解性（φ(n)为Euler函数）及其所有的正整数解等相关问题的讨论,应用解析方法研究了SP(n)的k次方幂的分布性质。针对任意的实数x≥3、给定的实数k,l（k>0,l≥0）,及对所有的素数p、任意的正数ε和Riemann Zeta-函数,给出并证明了其相应的渐近公式;对于任意的实数x≥3及给定的实数k′>0的情况,也给出并证明了其相应的渐近公式;对于任意的实数x≥3及给定的实数l≥0,其相应的渐近公式也一并给出并加以证明。由此,给出■nl(SP(n))k及■■（k>0,l≥0）的渐近公式。在l=0,k=1/k′情况下,以及k=1, 2, 3且ζ(2)=π2/6,ζ(4)=π4/90情况下,可以看出该定理是对相关结论的进一步推广。     

实数域上矩阵函数方程的解

在f(x)为一般解析函数时,讨论了矩阵函数方程f(X)=A在实数域上有解的充要条件,并由此给出了方程求解的方法步骤。     

关于正规试验法的最优分批问题

(一)用[x]表示实数的整数部分.引进数论函数X(k)=0,若 k 为奇数, 1,若 k 为偶数,和二阶矩阵M_k在一元单蜂函数的优选问题中提出的最优分批问题可以归结为对给定的正整数 n,N     

齐次函数极限存在与可微性判别法

文[1]、[2]给出了二元齐次有理分式函数在原点的极限存在判别法。本文把它们推广到一般n元齐次函数。在此基础上给出齐次函数在原点可微性判别法。下面讨论的齐次函数采用如下定义: 设函数f(x)(X=(x_1,x_2,…x_n))在点集上有定义。若对任意实数t≠0恒成立等式f(tX)=t~mf(X),则称f(X)为m次齐次函数。这里m可以是任意实数,并假定D如果含有点X也必含有t>0的一切点tX。我们下述极限定义: 设f(X)是定义在D上的函数,A是实数。若任给ε>0,存在δ>0,使当