柏拉图的数学哲学新探——古今论争及其回响

在论述哲人-统治者之培养方案的《理想国》中,柏拉图反复强调数学在此方案中居于核心环节和关键地位;数学课程的目标是"善"的知识,它是人们通往后者的必经途径。但在他处,柏拉图却对数学的价值、数学研究对象的本体论地位及其与"善"的关系做出了不同的论述。通过对柏拉图文本及其相关古今阐释进路的研读、分析可知,与将数学作为一门技术性和专门化的知识学科来发展的主流思路不同,柏拉图并不认为数学仅有外在价值,只是获得"善"知识的一种手段,而是坚信数学知识与具有价值负载特性的智慧之间有着深刻并相互交错的联系。柏拉图的这些看法是否自洽,它们带给后人怎样的启示,都值得认真考察。     

数学、语言与字母表效应

从数学内部看,数学本质的句法观点排斥了数学对象和事实以及数学直觉的存在,受到数学柏拉图主义的挑战;从数学外部看,数学本质的句法观点忽视了字母表语言和非字母表语言句法上的差异,受到不同语言文化的挑战。通过对数学本质的句法观点的讨论,本文尝试表明作为数学思想和数学知识来源的数学直觉在不同语言文化中的普遍性,同时也尝试表明字母表语言及其衍生的各种符号语言作为数学思想和数学知识表达工具的实用性。     

亚里士多德的数学哲学

亚里士多德(公元前384～322)是古希腊的伟大思想家。他作为哲学家、逻辑学家已经广为人知,但他作为一个数学哲学家,人们对他的了解还是不多的。亚里士多德研究过数学,但在数学上没有什么突出的成就。他主要是对数学进行哲学反思,批判毕达哥拉斯学派的数是万物本原的学说,批判柏拉图的理念数论。他研究了数学在科学分类中的地位;数学的研究对象;数学对象的存在方式;数是不是事物的本体等问题。他在数学哲学研究中所得到的一些观点和思想,无论是对数学的发展,还是对哲学的发展都产生过重要的影响。     

数学是不可完全的

数学的不可完全性是哥德尔不完全性定理揭示的深刻的数学本质。由此引发的哲学反思是哥德尔建立柏拉图主义数学哲学的坚实基础，同地在各种哲学争论中哥德都以这一哲学义蕴空前深刻的数学结果为自己的立场辨护。     

数学:一种人类学现象——后期维特根斯坦数学哲学思想探析

数学哲学经过长期的演化,形成了罗素的逻辑主义、希尔伯特的形式主义、布劳威尔的直觉主义、欧内斯特的社会建构主义等流派。在数学哲学中,一个不容忽略的哲学家就是维特根斯坦。他的后期数学哲学思想对后世影响深远。维特根斯坦反对数学柏拉图主义,认为数学仅仅是基于生活形式上的约定,是公共性质的。数学计算只不过是语言游戏活动,而语言游戏之所以能进行下去,是因为它是基于生活形式的一致性,这显然脱离不了各种社会因素的影响。     

论维特根斯坦对传统数学哲学思想的批判

维特根斯坦对几乎所有传统的数学哲学思想都进行了激烈批判。传统的柏拉图主义、经验主义、直觉主义、形式主义、约定论以及逻辑主义在维特根斯坦看来都有问题的。维特根斯坦的数学哲学对传统的思想既有批判,同时又有创新,这对我们重新思考数学命题的本性和价值具有重要的启发意义。     

论维特根斯坦对传统数学哲学思想的批判

维特根斯坦对几乎所有传统的数学哲学思想都进行了激烈批判。传统的柏拉图主义、经验主义、直觉主义、形式主义、约定论以及逻辑主义在维特根斯坦看来都有问题的。维特根斯坦的数学哲学对传统的思想既有批判,同时又有创新,这对我们重新思考数学命题的本性和价值具有重要的启发意义。     

"后基础主义"时代数学哲学研究的若干趋势——从波普尔、拉卡托斯到P.欧内斯特

数学基础主义之后,批判理性主义和经验主义(包括拟经验主义)成为某些数学哲学家热衷的选择。虽然对柏拉图主义和实在论有某种解构价值,但两者却混淆了数学与其他科学的本质区别。相比较而言,关于数学的社会建构主义观点虽然有不少真知灼见,但却陷入了某种形式的单一决定论的泥潭。     

胡塞尔现象学中的数学直观及其可错性问题

数学直观被胡塞尔视作最高级的范畴直观,它所带来的明见性既是确然的,又是确实的。这似乎意味着数学直观是必然正确的。但另一方面,胡塞尔持有一种数学柏拉图主义,而这又要求数学直观是可错的。为解决这一矛盾,数学明见性,从其确实性维度,必须借助于哥德尔不完全性定理,被理解为非完全确实的;而从确然性维度,它应被理解为是由主体经验所建构的,依然受到主体可设想能力的限制。     

论数学的人文价值

数学是人类文明史上一种独特的文化,既具有非凡的科学价值,又具有不可替代的人文价值。数学的人文价值主要体现在认知价值、伦理价值、艺术价值和智识价值四个方面。数学的认知价值表现为一种"求真"精神,伦理价值表现为一种"至善"追求,艺术价值表现为一种"臻美"境界,智识价值表现为一种"融慧"哲思。     

用数学诠释宇宙基本结构

作为“古希腊三贤”之一的柏拉图是西方文明的柱石之一。很多人认为，研究柏拉图的著作并不能仅从字面意义入手，柏拉图的真正思想都隐藏在书里，那些字里行间蕴藏着神秘的“柏拉图密码”。但是对于是否存在这样一种密码，口水仗已打了千年。可就在不久前，英国曼彻斯特大学学者杰·肯尼迪博士宣称，他通过五年的潜心研究，已破解了柏拉图著作中的大部分密码。     

维特根斯坦《关于数学基础的意见》述评

自维特根斯坦的《关于数学基础的意见》于1956年问世以来,已有三十多个年头过去了。在这一期间,数学的研究取得了长足的进步,但是,就数学哲学的研究而言,在经历了由1890年至1940年这五十年的“黄金时代”以后,却进入了一个停滞的时期:由于缺乏新的、具有吸引力的思想,数学家们仍然在传统观念之间徘徊、动摇。R.赫斯曾以十分生动的言词描述了数学家们在数学对象的实在性问题上所表现出的动摇和犹豫不决:他们“只是在休息日才是形式主义者,在工作日,他们更象是柏拉图主义者。换言之,当他们搞数学时,     

数学的文化观念

数学的文化研究是一个十分广泛的论题,其中既包括比较意义上的研究,即如东西方不同数学传统的文化背景的探讨,也包括数学与一般文化相互关系的研究,即如数学对人类文化的影响、人类文化对数学发展的作用等。在所有这些研究中,对于数学文化本身的研究占有特别重要的地位,因为,如果未能首先从总体上弄清数学的性质和内容,各种具体的比较     

波爱修斯的数学哲学思想

作为研究数学发生发展的一般规律的数学哲学,其思想种子从数学诞生之时就开始萌芽。由于对数学概念的理解从古至今发生了一些变化,所以古今对于数学的哲学研究也有所不同。波爱修斯是古典文化和中世纪思想的重要桥梁,他不仅继承了古代著名哲学家的数学哲学思想,对数学及其对象进行了认识论和本体论的探讨,将数学看成是通往智慧之路的基础学科;而且在他的数学哲学思想中,通过对数学对象存在性的研究,推论出对种和属、或一般与个别的关系的讨论,为后世的数学哲学研究奠定了重要的理论基础。     

由技至道:数学价值观研究刍议

价值观是文化系统的核心成分,它要解决的是"为什么做"的问题。数学价值观是数学文化史研究的核心内容,关注不同社会、不同文化、不同数学家共同体对数学的追求、取向等问题,也就是"为什么做数学"的问题。开展中国数学价值观流变历程、发展特征和中西文化差异研究,对当前的数学史研究、数学教育改革有重要的现实意义。     

希尔伯特的有穷数学

希尔伯特为了一劳永逸地解决数学基础问题,提出了著名的希尔伯特纲领。该纲领旨在把数学归约到毋庸置疑的有穷数学。遗憾的是,希尔伯特本人并未对有穷数学给出具体形式化。在简介希尔伯特有穷数学的基本思想后,梳理了各种不同的形式化系统:初始递归算术(PRA)、ZFC的有穷数学系统(Fin(ZFC))和基本算术(EA),并对PRA是希尔伯特的有穷数学进行辩护和简要述评。     

数学究竟是什么？

研究数学是什么,我们必须多层次、多学科、多角度地对它进行探索.首先考察著名的哲学家和数学家以及由他们所领导的研究机构和学术团体在数学发展的各个历史阶段的不同层面上,就数学的研究对象和发展前景而提出的教学观.其次是研究他们以数学的周边学科为视角来剖析数学的诸特点而提出的一些教学观.将其融汇贯通,即可获得关于数学真谛的深刻见解.     

科学与美学联姻的古代形态:美与数理学科的联姻

在西方美学发展的漫长历程中,科学与关学尤其是数学与美学的关系值得关注.早在古希腊时期,揭开了古希腊美学思想发展的序幕的是毕达哥拉斯及其学派.正是他们首先将数学与美学相结合,开始了美与数理学科相联姻的潮流.后来经德谟克利特的发展,到柏拉图与亚里士多德都对数学与美学的关系极为关注.由于古希腊美学是西方美学的重要源头,这就使西方美学不仅与科学紧密相联,而且形成了与中国美学不同的精神风貌.     

柏拉图《蒂迈欧》研究:当代论争与意义

柏拉图《蒂迈欧》作为科学哲学的古典文献,其文学形式下面包裹的科学叙事困惑着一代又一代的柏拉图学者,争论古已有之并延续至今。争论的核心是这篇对话的性质:它是一部创世的史诗?还是一部形而上的哲学著述?本文通对当代《蒂迈欧》研究两种路径的评析,认为这些争论都割裂了《蒂迈欧》对话的整体性,也都忽视了核心问题——柏拉图著作是受数学刺激创作的。     

对我国数学发展的一些看法

一、1958年以来我国数学发展方面的新方向数学是研究现实世界中空间形式和量的关系的科学。从它的研究对象说,它是没有阶级性的。但数学这门科学在不同阶级的人的手里,受到不同的看待。怎样发展数学,无可避免地反映了提出看法的人的世界观,因而必然打上阶级的烙印。