微分方程奇点指数的几何计算法

引言微分方程的奇点指数从一个侧面反映了微分方程的性质，有时完全决定了奇点附近轨线性态甚至整个方程积分曲线的拓扑结构，所以是微分方程的一个重要指标，计算指数具有重要意义；本文提供一种简单的计算奇点指数的方法．设（Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ））是平面上给定的可微向量场，以θ记（ｘ，ｙ）处向量的的幅角，Ｄ为某一区域．设ｏ点是向量场（Ｐ，Ｑ）的孤立奇点，Ｌ为含点ｏ的闭曲线，其内无其它奇点，Ｄ为Ｌ所围的区域，Ｄ被曲线Ｐ＝０，Ｑ＝０分成若干以点ｏ为顶点的曲边小扇形Ｄ_ｉ，对应的闭曲线Ｌ被分成了若干弧Ｌ_ｉ；在每…     

在N_2区域内O一曲线的唯一性

当研究微分方程在奇点附近积分曲线的几何拓扑结构时,经常引入例外方向,从而发生Frommer法域内积分曲线分布的不定问题,在本文里,考虑Frommer的第二型法域,所讨论的内容是从Hartman—wintner定理条件出发的。     

常微分方程定性理论在动态裂纹尖端场分析中的应用

针对平面应变条件下理想弹塑性不可压缩材料动态裂纹尖端场的一个非线性常微分控制方程，就解的存在性和唯一性，积分曲线的一般性态和奇点性态作了全面深入的分析。在奇点邻域内采用线性化的方法，将该非线性常微分方程化为二维线性自治系统并用定性理论进行了细致的研究。结果表明，在求解域的合法区域内，该微分方程的解是存在且唯一的，积分曲线含有一孤立奇点──不稳定结点，但不存在积分曲线的包络线，积分曲线在奇点附近定性的几何结构和数值结果相吻合。     

微分方程系的积分曲线

1.微分方程系所定义的积分曲线,在奇異点附近的分布情况,在定性理论上是很重要的,例如Poincaré,Bendixson,Perron和对於这方面都有很好的工作,现在也是要对某一类的积分曲线,攷察它在奇異附近分布的情况。例如对微分方程系(1) dx/dt=F(x,t),x,F(x,t)是n个座标的列向量。F(x,t)在Ω=s(ρ)×L中定义,s(ρ)表示(x_1~2+…+x_n~2)~(1/2)=‖x‖≤ρ,和L表示-∝相似文献   

数学软件及分支方法在一类向量场中的应用

 用数学软件Mathematica和动力系统分支方法对一类四次平面向量场的相图进行研究,参数半平面被9条分支曲线分成10个区域,在软件Mathematica下,每一个区域和每一条分支曲线上的相图被计算机画出.所有相图共分成18类,从而得到了该向量场相图的完整分类.     

一个解答Reeb问题的例子

1958年爱丁堡国际常微分方程会议讨论了许多很有意思的问题,其中有一个带有拓扑兴趣而没有得到解决的Reeb问题是这样叙述的:在空间实心球的球面上,积分曲线都进入球的内部,而实心球上每条积分曲线都与奇点保持一个正的距离,这是否可能? 在这篇文章里,我们将在空间实心球上规定一个微分方程,球心是方程唯一的奇点,在球面上积分曲线都进入球的内部,而微分方程的每条积分曲线都与奇点保持一个正的距离,即这空间奇点没有O-曲线。因此这个例子解答了上述Reeb问题。     

第二型曲线积分的柯西中值定理

本文利用定积分的柯西中值定理和向量场推导出了第二型曲线积分的柯西中值定理.     

三次系统极限环的分支研究

从微分方程一般理论出发,研究了平面三次多项式系统在原点周围和赤道附近同时产生极限环分支的情形。通过改变位于原点的奇点的稳定性,结合分析三次系统向量场在无穷远处的分支,得到了恰有一个无穷远奇点的三次系统分别在原点周围和赤道附近同时存在多个极限环的充分条件。     

关于旋转向量场理论的一点注记

由微分方程dx/dt=P(x,y,a), dy/dt=Q(x,y,a)所定义的旋转向量场的理论,首先由G.F.D.Duff[1]提出,后由G.Seifert[2]和陈翔炎[3][5]加以推广。在本文中,把[2]中“F(α)构成-旋转向量场”的假设减轻成为:对区域D内的任一常点(x,y)及区间Ⅰ内任意的α1<α2成立,同时使积分等于零或π的点沿(1)的任一闭轨线或者为可列个,或者不可列的点逐段连续分布但不布满整条闭轨线,这一推广不能包括在陈翔炎的结果中,因为本文没有假定P,Q连续可微。在上述的假定下,作者证明了旋转向量场理论的一些主要结论。同时对文[4]和[5]中的一些结果也相应地作了改进。     

关于拟常曲率空间子流形的调和与Killing向量场

本文研究了一般拟常曲率空间N的紧可定向子流形M上的调和向量场,射影Killing向量场以及保形Killing向量场。给出了M上任意向量场所满足的两个积分公式,并且运用这两个积分公式讨论了M上的调和向量场、射影Killing向量场,保形Killing向量场的平行性、不存在性与M的主曲率之间的关系。同时在N为一种特殊的拟常曲率空间即S—流形的假设下又得出了进一步的结论。本文中主要结果是Shetty,D.J.在常曲率空间子流形上类似结果的推广。     

基于多阶段向量场的活动轮廓模型

传统的基于向量场的活动轮廓模型不能准确地提取复杂形状边界,尤其当初始轮廓曲线在目标边界外部、提取复杂的凹形边界时,常遇到"平衡点"问题.为此,文中提出了基于多阶段向量场的活动轮廓模型.首先在离散化的轮廓曲线上取一些样本点,并按其法线方向将它们映射到目标特征点;然后由传统向量场和映射产生的向量场得到一个加权平均的向量场,将轮廓曲线在该向量场中演化,若轮廓曲线未完全收敛到边界,则在未收敛的轮廓曲线上取新样本点,按前面方法计算出新的向量场.经过在多阶段向量场中的演化,轮廓曲线最终收敛到目标边界.实验结果表明,相比于传统方法,文中方法更有效.     

Z7等变的七次Hamilton平面向量场的奇点性质

利用微分方程定性分析的方法,讨论了具有Ｚ７－等变性质的七次Ｈａｍｉｌｔｏｎ平面向量场的有限远奇点,无限远奇点的性质以及奇点的分类,同时还给出了几种情况的相图,为进一步研究八次代数曲线的形状以及扰动向量场的各种分支奠定了基础。     

一类具有Z3等变性质的四次哈密尔顿向量场相图研究

本文利用微分方程的定性理论及分支方法,分析了一类具有Z3等变性质的平面四次哈密尔顿向量场有限远奇点及无穷远奇点个数及其类型与参数关系,给出该向量场的分支图,并根据系统等变性给出了在参数空间里所有可能的相图.在文章最后部分运用数学软件演示了当一个参数固定,另一个参数连续变化时向量场相图变化的情况.     

向量埸的比较方法

本文叙述将一个向量场和一个已知向量场相比较从而得出它的某些性质的方法。它是旋转向量场的一种推广,在某种意义上具有微分方程比较定理的性质。最后给出应用这种方法的例子。     

Allen-Cahn型相场模型的移动网格方法

针对2种流体的Alleh-Cahn型相场模型提出了一种自适应移动网格方法.移动网格方法包括网格重分布和偏微分方程求解2个相对独立的部分.通过求解一个类似于Poisson方程的偏微分方程组获得网格重分布,大量的网格点聚集在2种流体的界面附近从而提高了分辨率,而在其他的区域则仅有比较稀疏的网格点.Allen-Cahn模型用...     

具有处处非零Killing向量场的nearly Khler流形

研究了在nearly Khler流形上某种处处非零Killing向量场的存在性与流形的拓扑和几何之间的联系.并且得到了下面的主要结论及其推论:设(M2n,g,J)是一个2n维的近复流形.如果在M上存在一个处处非零的Killing向量场ξ,使得ξ*∧Jξ*是闭2次形式,则M局部微分同胚于M1×M2,其中M1和M2分别是分布V∶=span{ξ,Jξ}和分布H:=span{ξ,Jξ}⊥的极大积分子流形.     

无线自组网随机点移动模型平稳节点分布

针对无线自组网随机点模型的平稳节点分布问题,应用帕尔姆积分加以研究.分析得到了模型工作在一维区间和二维圆形区域中节点分布的概率密度函数的解析解.证明该模型在达到平稳态时,节点会以较高概率出现在区域中心附近,而以较低概率出现在区域边界附近.网络节点由初始时刻的随机分布演变到这种非均匀分布所经历的瞬态过程降低了仿真的准确度和可信度.     

空间周期解的存在性唯一性

n维微分方程定性研究的一个重要方面是周期解。一般包括周期解的存在性、唯一性、邻近积分曲线的性状和大范围分布等。我们仅叙述存在性和唯一性的有关概况。按问题本身的不同而分成两部分,即自治微分方程组的周期解和非自治微分方程组的周期解。     

具有处处非零Killing向量场的nearly K(a)hler流形

研究了在nearly K(a)hler流形上某种处处非零Killing向量场的存在性与流形的拓扑和几何之间的联系.并且得到了下面的主要结论及其推论:设(M2n,g,J)是一个2n维的近复流形.如果在M上存在一个处处非零的Killing向量场ξ,使得ξ*∧Jξ*是闭2次形式,则M局部微分同胚于M1×M2,其中M1和M2分别是分布V∶=span{ξ,Jξ}和分布H:=span{ξ,Jξ}⊥的极大积分子流形.     

一个慢性消耗性疾病模型的不变代数曲面

研究了一个由三维常微分方程组成的慢性消耗性疾病(CWD)模型.用特征曲线法求出了该系统的全部不变代数曲面,并给出广义首次积分存在的条件.