遗传根性与强半单根性

本文主要论讨遗传根性与强半单根性,解决了SZASZ书中问题14,并给出了遗传根性是强半单根性的充要条件及环分解成根理想与半单理想的直和的n个等价条件。以下均作定A是结合环,但不必有单位元,R表示根性,R根环类也同样记为R。定义1 根性R为遗传根性,如果任意R环A的任意理想仍是R环。定义2 根性R称为强半单的,如果任一R半单环的同态象仍是R半单的     

关于Szasz的问题12和问题13

Szasz FA提出下列两个公开问题.(1)求根性R对任意环A和A的任意两个理想I_1,I_2满足R(I_1 I_2)=R(I_1) R(I_2)的充分必要条件(即Szasz的问题12).(2)求根性R对任意环A和A的任意两个理想I_1,I_2满足(I_1∩I_2)=I_1∩I_2的充分必要条件(即Szasz的问题13).本文引入σ—根和τ—根,利用σ—根和τ—根分别给出了上述两个问题的充分必要条件.     

环的QG—根

本文定义环R的QG—根为R的所有Small理想之和,它适应于非结合环。定理2和5给出了QG(R)和QG—半单环的刻划,定理3和4给出了QG(R)和Jacobson与Brown—McCoy根及的一般根论的联系,定理1和8给出了一个环分解成单环直和的苦干充要条件,最后,定义投射环和拟半完备环的概念,从而给出一个关于QG(R)是R的Small理想的充分条件。     

Kthe半单环,Bear半单环的交换性条件

本文首先给出Kothe半单环的一个交换性定理:设R是Kother半单环,如果对任意的x,y∈R,存在依赖于x和y的两个字w(X,Y),c(X,Y)使w(x,y)-c(x,y)∈C(R),其中|w|_x>1,|c|_x=1,|w|_y≥|c|_y,则R是交换环.该定理大大改进了文[7][8]结果,然后给出Bear半单环的几个交换性定理,改进了文[9][10]的几个结果.     

交换环上的强w-投射模

设R是交换环,R-模P称为强w-投射模,是指对任意的无挠w-模M,都有Ext1R(P,M)=0.证明了强w-投射模或者是投射模,或者其投射维数不低于2.通过对强w-投射模的讨论,给出了半单环、DW-环和遗传环的新刻画.     

单遗传根的几种刻划

一个根R称为单遗传根,如果对于任意的R-根环A及A的单环理想H,H也是R-根环。文[1]还证明了单遗传的弱超幂零根有补根,推广了Andrunakievich关于补根的几个结果。本文继续讨论单遗传根,给出了单遗传根的下根构造、上根刻划及模刻划。     

P-投射模的刻画

模M称为P-投射模,是指对任意R-模N的任意循环子模Rx,同态f:M→N/Rx能提升为同态g:M→N.给出了P-投射模的一些新刻划,证明了M是P-投射模当且仅当对任何有限生成模K有Ext1R(M,K)=0当且仅当对R的任何左理想I有Ext1R(M,R/I)=0.并利用P-投射性与f-内射性给出了半单环的新刻划,证明了R是半单环当且仅当每个模是P-投射模当且仅当每个模是f-内射模.最后为了进一步揭示P-投射模的子模的性质,引入了P-遗传环的概念,证明了R是P-遗传环当且仅当有限生成模的内射维数不超过1.     

环的WGP-内射性

给出了WGP-内射环的等价定义,研究了WGP-内射环的一些性质,证明了:若R是左非奇异的左WGP-内射环,且对R中任意无限序列a1,a2,a3…,升链l(a1)■l(a1a2)■l(a1a2a3)■…是平稳的,则R是半单环。     

关于内射模的几个注记(Ⅱ)

借助于内射模的性质,证明如下主要结果:1) 若内射R-模的每个子模内射,则R是遗传环;2) 若环R的每个循环左R-模投射,则R是半单环;3) 遗传环上平坦模的子模平坦.     

XLC环的若干性质

给出XLC环的定义,并研究XLC环的一些性质,主要证明了如下结果:1)R是交换约化环当且仅当G3(R)是XLC环;2)若R是XLC环,则R是直接有限环;3)设I_1,I_2是R的理想,R/I_1,R/I_2是XLC环且I_1∩I_2=0,则R/I_1∩I_2是XLC环;4)设R是XLC环,若a∈R是正则元,则a是强正则元.     

S环的Wedderburn—Artin结构

本文讨论了S环的Wedderburn—Artin结构定理和强S环结构。主要结论是: 下列条件对环R是等价的: (1) R是S环;E={x_i|x_i~2=x_i,i=1,…,n}是R的无关集; (2) R是S环又是半素环; (3) R是S环又是Jucobson半单环; (4) R是有限个除环和有限个有限域上全矩阵环的直和。     

Hopenwasser的一个定理的推广

在[1]中K.R.Davidson提出CSL代数中的十个未解决的问题,其中第三个问题是A.Hopenwasser在[2]中提出的猜想,即对任意的交换子空间格￡,是否有rad(Alg￡)=∩{I_(?1)?∈(￡,2)}若这个等式成立,则称￡满足根条件。本文将证明可Nest分离的交换子空间格必满足根条件。这个结果一般化了[2]中的定理11。     

任意理想都是直和项的环

众所周知,Wedderburn—Artin定理给出了Artin半单环的结构一个最深刻的刻划,且由Wedderburn—Artin定理可知:对于Artin半单环它的任何理想都是它的直和项,任何同态象也是它的直和项。在此,我们有更一般的结果: 定理1 下列命题等价: (1)环A的任一理想都是其直和项; (2)环A的任一同态象都是其直和项; (3)环A是一些弱单环的直和; (4)环A中任一真理想都不是本质理想。推论下列命题等价:     

一般代数正规类中的δ-根类

Szasz F A提出下列公开问题:求根性质R对任意环A和A的任意2个理想I1,I2满足R(I1+I2)=R(I1)+R(I2)的充分必要条件(即Szasz的问题12).利用δ-根给出了这个问题推广到一般代数正规类中的充分必要条件.       

关于多单环的根性及有限多单环

首先讨论了多单环的一般P-根及其商环;其次,讨论了有限多单环的性质且从结构定理出发,给出|R|=p3（p是素数）的所有多单环．     

局部有限代数的分解

§1.前言著名的Wedderburn定理(参看[14],[8],[9])是这样的:若设A表在一般域上(即其特征数可为任意的)有限维的结合代数,设R表他的幂零根,当商代数A/R是可离的,则有(i)代数A可分解,即:A=P+R,其中P是A的子代数,且p∩R=0.(ii)若给出A之任一分解式A=P+R和任一可离子代数Q,     

关于加群自同态不变的环的根

在文[1]中问题6提出:“哪些根性质,对于每个环A,R(A)关于加群(A,+)的任意自同态是不变的?”本文给出了刻划如此的根性质的一个充分必要条件。     

根性质的一个问题

假定R是一根性质,A是环(环都指给合环),I是A的理想,记I/I=R(A/I),主要研究根性质的一些性质并解决F.A.SZASZ提出的以下开问题:哪种根性质具有I1 I2=I1 I2,得出了一个推论.     

关于环交换性的两个定理

为了促进交换性的发展,根据半质环及半单环的相关资料,扩展了文献[1-2]的结论,得出了环的两个交换性定理：定理1：设R为一个半质环,若对(v)x1,x2,…,xn∈R,有依赖于x1,x2的整系数多项式P(t)使得[…[[x1-x21p(x1),x2],x3],…,xn]∈Z(R),则R为交换环。定理2：设R为一个kot...     

环的 WGP-内射性

给出了 WGP-内射环的等价定义,研究了 WGP-内射环的一些性质,证明了：若 R 是左非奇异的左 WGP-内射环,且对 R 中任意无限序列 a1,a2,a3…,升链 1（a1）1（a1 a2）1（a1 a2 a3）…是平稳的,则 R 是半单环。