关于不定方程x~3+8=21y~2

讨论不定方程x3+8=21y2的整数解.方法主要利用同余式,递归序列的有关性质和结论.给出了不定方程x3+8=21y2仅有整数解(x,y)=(－2,0).推广了不定方程的研究范围,为进一步研究提供了方向.     

关于不定方程 x3±8＝19 y2

通过运用Pell方程、递归序列、同余式、平方剩余和雅克比符号等初等数论的方法,证明了:不定方程x3+8=19y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(62,±112);不定方程x3-8=19y2仅有整数解(x,y)=(2,0),(3,±1),(14,±12).证明过程中,纠正了不定方程x3-1=38y2的整数解只有(x,y)=(1,0)的结论,给出不定方程x3-1=38y2的全部整数解仅有(x,y)=(1,0),(7,±3).     

关于不定方程x 3±1=1 379y 2

关于x~3±1=Dy~2(D0)型不定方程的解法还没有一般性的结论;研究D=1 379时不定方程x~3±1=Dy~2的可解性问题,利用同余理论、递归序列、平方剩余以及Pell方程解的性质证明了不定方程x~3+1=1379y~2仅有整数解(x,y)=(-1,0),不定方程x~3-1=1 379y~2仅有整数解(x,y)=(1,0);所使用的代数方法可以推广到求解大系数的三次不定方程中去.     

关于不定方程x3＋8=61 y2的整数解

利用递归数列和同余式的相关性质证明了不定方程x3＋1=122y2仅有整数解（ x,y）=（-1,0）,然后证明了不定方程x3＋8=61y2仅有整数解（ x,y）=（-2,0）。     

关于不定方程x^3+27=91y^2

讨论不定方程x3+27=91y2的整数解.方法主要利用同余,递归数列,以及Pell方程的性质,给出了不定方程x3+27=91y2仅有整数解(-3,0),(4,±1);推广了不定方程的研究范围,为进一步研究提供了方向.     

关于不定方程x3 + 27 = 139y2

利用Pell方程,递归数列,同余式和平方剩余几种初等方法证明了不定方程x3+27=139y2仅有整数解(-3,0),(13,±4);在证明该结论的过程中,同时证明了不定方程x3+1=417y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),从而给出了不定方程x3+27=139y2的全部整数解。     

不定方程x3±133=y2的整数解

利用Pell方程的解的基本性质、同余理念、因式分解等相关知识，证明了不定方程x³-13³=y²仅有整数解(x,y)=(13,0),不定方程x³+13³=y²仅有整数解(x,y)=(-13,0)。     

关于不定方程x3±8=35y2

利用同余式、递归序列的方法证明了不定方程x3 8=35y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(3±1);x3-8=35y2仅有整数解(x,y)=(2,0).     

关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)

主要运用Pell方程、递归数列、同余式及(非)平方剩余等一些初等的证明方法,证明了不定方程x(x+1)(x+2)·(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解.在证明该结论的过程中,对不定方程进行变形和整理,将其化为Pell方程形式.根据得到的Pell方程整数解的情况,从而得到6类整数解.根据原不定方程的情况舍去了两类,剩余4类整数解.本文逐一对每一类整数解用同余式及平方剩余的证明方法进行讨论和证明,最后得到原不定方程无正整数解的结论.根据本文的结论也能得到这个不定方程的全部整数解,它们都为其平凡解,由于比较简单,故文中没有再给出.同时本文证明了不定方程(x2+ 3x+ 1)2-13y2=-12仅有整数解(x,±y)=(0,1),(-3,1),(-2,1),(-1,1),(-14,43),(11,43).本文进一步完善了此类不定方程的正整数解的研究.     

关于不定方程x~3±27=37y~2的整数解

主要讨论了不定方程x~3±27=37y~2的整数解。证明了不定方程x3+27=37y2仅有整数解(x,y)=(-3,0);不定方程x3-27=37y2仅有整数解(x,y)=(3,0),(30,±27),(4,±1)。     

关于不定方程x^3-8=21y^2

利用递归数列与同余式的有关性质和结论,给出了不定方程x3-8=21y2仅有(x,y)=(2,0)和满足y2=a2b2,x=3a2+2且a≡1(mod2),b2≡1(mod8)的整数解.     

关于不定方程x^3+8=37y^2

利用同余式,递归序列的有关性质和结论证明了不定方程x3+8=37y2仅有整数解(x,y)=(-2,0).     

关于不定方程x3-8=13y2

利用同余式和递归数列的方法,证明了不定方程x3-8=13y2仅有适合(x,y)=1的整数解(x,y)=(5,±3).     

关于不定方程x~3+8=Dy~2

首先利用递归数列的方法证明了不定方程x3+1=158y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),(293,±399)。进而证明了不定方程x3+8=79y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(586,±1596)。     

关于不定方程x^3＋1=266y^2和x^3＋8=133y^2

利用同余式、递归数列的方法证明了不定方程x3+1=266y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),x3+8=133y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(5,±1).     

关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)

主要运用Pell方程、递归数列、同余式及(非)平方剩余等一些初等的证明方法,证明了不定方程x(x+1)(x+2)·(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解。在证明该结论的过程中,对不定方程进行变形和整理,将其化为Pell方程形式。根据得到的Pell方程整数解的情况,从而得到6类整数解。根据原不定方程的情况舍去了两类,剩余4类整数解。本文逐一对每一类整数解用同余式及平方剩余的证明方法进行讨论和证明,最后得到原不定方程无正整数解的结论。根据本文的结论也能得到这个不定方程的全部整数解,它们都为其平凡解,由于比较简单,故文中没有再给出。同时本文证明了不定方程(x2+3x+1)2-13y2=-12仅有整数解(x,±y)=(0,1),(-3,1),(-2,1),(-1,1),(-14,43),(11,43)。本文进一步完善了此类不定方程的正整数解的研究。     

关于不定方程x3＋27=91y2

讨论不定方程x3＋27=91y2的整数解．方法主要利用同余,递归数列,以及Pell方程的性质,给出了不定方程x3＋27=91y2仅有整数解（-3,0）,（4,±1）;推广了不定方程的研究范围,为进一步研究提供了方向．     

关于不定方程x3+27=19y2

不定方程x3±27=Dy2(D>0)的研究曾引起了一些学者的兴趣,曹玉书确立了当D不含6k 1形状的素数奇次幂因子时的全部整数解,而当含有6k 1形状的素数因子时,方程的求解比较困难。本文利用递归数列、同余式和平方剩余的方法,讨论了不定方程x3 27=19y2在3|x及3x情况下的整数解。其中3x对又分了情形Ⅰx 3=19u2,x2-3x 9=v2,y=uv;情形Ⅱx 3=u2,x2-3x 9=19v2,y=uv这两种情况。最后得到不定方程x3 27=19y2仅有整数解(x,y)=(-3,0),(24,±9),(-2,±1)的结论。     

关于不定方程x3-1=19y2

利用两种初等的方法,即对方程取某个正整数M>1为模来制造矛盾的同余法和递归序列法,证明了不定方程x3 -1=19y2 仅有整数解(x,y)=(1,0),从而进一步的证明了方程x2 -19y2 =-13无整数解;方程x2 -3r2 =-3仅有整数解(1.0).     

不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=37y(y+1)(y+2)(y+3)的整数解的研究

用初等方法,证明了不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=37y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解,并得到了其全部整数解.同时证明了不定方程(x2+3x+1)2-37y2=-36仅有整数解(x,±y)=(0,1),(-1,1),(-3,1),(-2,1).