勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性

对勒贝格积分进行了深入研究，重点从三方面详细论述了勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性，首先勒贝格可积函数的范围比黎曼积分广泛，其次在勒贝格积分意义下，积分与极限交换顺序的条件比较弱，最后从微积分基本定理的应用范围上再次加以证明。     

浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别

从积分的定义,可积函数的连续性,积分的可加性,积分极限定理,牛顿-莱布尼兹公式五个方面阐述了黎曼积分与勒贝格积分的区别.     

许黎曼积分

本文从积分理论的几个主要方面（可积范围、收敛条件等）对黎曼积分进行了评析，认真地分析了黎曼积分相对于牛顿积分和柯西积分氰 现出来的优势，以及相对于勒贝格积分所暴露出来的局限性。     

关于容斥原理在勒贝格积分中的应用及推广

勒贝格积分作为黎曼积分的一种推广,它不仅大大扩充了可积函数的范围,而且对于研究函数的性质有着非常重要的作用;勒贝格积分中可测函数的一些性质,对于研究单个或者多个函数复合、加减也有及其重要的作用,在可测函数基本性质的基础上,将容斥原理推广到可测函数中,得出一系列相应的推论．     

实变函数中勒贝格积分三种定义的等价性

论证了从简单函数出发而给出的勒贝格积分定义,对照黎曼积分确界式定义给出的勒贝格积分定义,用和的极限形式表示的勒贝格积分定义,三种定义互相等价。     

欧拉反正切公式的一个新证明

利用勒贝格单调收敛定理给出欧拉(Euler)反正切公式一个简洁的新证明,从而从一个侧面揭示了黎曼(Riemann)积分对勒贝格(Lebesgue)积分的指导作用.     

从黎曼积分、勒贝格积分看积分理论的发展

该文主要讨论黎曼积分与勒贝格积分，勒贝格积分的推广。     

Riemann积分和Lebesgue积分的统一性

在逼近论的意义下,将Riemann积分和Lebesgue积分在赋范线性空间的框架下统一起来.对于Riemann可积函数f∈R[a,b],构造Riemann可积函数列gn ∈R[a,b],使得gn的Riemann积分的极限就是f的Riemann积分.对于Lebesgue可积函数f∈L[a,b],构造Lebesgue可积函...     

极限函数黎曼可积性注记

研究了光滑收敛函数序列的极限函数不可积的存在性.运用稠密性论证、函数光滑化技术、胖康托集的构造技术,结合函数的平移特性和黎曼可积的勒贝格准则,获得了一列有界的光滑收敛函数序列,其极限函数在黎曼积分意义下不可积,并给出构造极限函数不可积的一般方法.     

从新视角看 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系

证明了:任何一个非负Lebesgue可积函数的Lebesgue积分都可以表示成一个单调递减函数的Riemann积分(含Riemann瑕积分、Riemann无穷区间积分);任何一个Lebesgue可积函数的积分都可以表示成两个单调递减函数之差在(0,+∞)上的Riemann积分,或一个在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减函数的Riemann积分.     

与康托集有关的一些函数的勒贝格积分

对一些与康托集有关的函数的勒贝格积分的计算做了讨论,利用学生对康托集构造的兴趣,对一些函数的黎曼可积性和勒贝格可积性作出判定,并利用两种积分的关系计算这些积分,从而加深对勒贝格积分理论的理解。     

关于累次积分的一条定理

在多元函数积分学中,讨论重积分与累次积分的关系是十分重要的。它给出了计算重积分的一个简便的、行之有效的方法。在勒贝格积分理论中,有一条著名的富比尼定理,这个定理可以叙述为: (1)设f(x,y)是矩形I=〔a,b〕×〔c,d〕上的勒贝格可积函数,则在〔a,b〕上除去一个零测度集以外,f(x,y)作为y的函数是勒贝格可积的,而且函数(?)在〔a,b〕上勒贝格可积(在上述零测度集上,φ(x)可任意定义),同时以下等式成立:     

完全Riemam型的Henstock可积类

<正> 本文阐述在区间[a,b]上的函数的绝对型积分和非绝对型积之间的关系,给出了[a,b]上的Lebesgue可积函数必为Henstock可积的定理的新证明,该证明比Henstock本人在[1]中所作的证明简单直接、给出了Riemann瑕积分为Henstock积分的定理,并进行简捷证明,最后指出了需待进一步研究的问题。本文分两大部分论述。     

抽象函数的Riemann积分

令定义在[a,b]上,取值于实Banach空间X的抽象函数,给出了缈的弱Riemann积分的等价叙述.同时,讨论了lp(1＜P＜ ∞)上取值的抽象函数的弱Riemann积分与Riemann积分的关系.目前广泛应用的Pettis积分是Riemann积分的一种推广,举了一个反例说明弱Pettis可积的抽象函数不一定Pettis可积.     

论增量分析视野下的测度问题、微积分求导及连续统的可数性

黎曼积分,有不可积函数,而勒贝格积分规定,处处稠密的有理数域的测度为0,而原本同样是处处稠密的实数域或无理数域的测度才不为0。这种"规定"唯一"正当"的理由,就是通常被认为是"不可数"的实数域或无理数域是连续的(连续统),因此才有非零的测度值。而"可数"的有理数域被认为是不连续的,所以测度只能为0。本文经分析指出,此种理由不能成立。而在笔者提出的"增量分析"的观点下,测度不过就是增量本身,因此使理论更加合理自然,也更加简化。黎曼积分,使传统微积分中不可积的一些函数可积了,而增量分析,使黎曼积分中一些测度为0的积分域可以不为0了。对微积分求导及连续统的可数性问题,均在前期大量工作的基础上,又提出更加有力的全新的观点,使相关理论更为简洁、明确,达到了无可置疑的程度。     

Riemann积分的两个问题

本文讨论了Riemann积分的两个问题:其一是[ab]上连续函数f(x)的Riemann和数集合的构造;其二是Riemann可积函数的复合函数仍可积的条件。     

关于R—积分与L—积分联系的一点注记

本文在无穷区间上讨论了Riemann积分与Lebesgue积分的联系,给出了函数f(x)在无穷区间上广义Riemann可积时Lebesgue可积的两个充分必要条件,并给出了f(x)在无穷区间上Lebesgue可积时Riemann可积的条件.     

关于Riemann积分的几点注记

用初等的方法证明了[a,b]上的Riemann可积函数的连续点在[a,b]上是稠密的，并在应用上出了积分中值定理的简洁证明。     

浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变

本文介绍了在积分学的发展过程中出现的两大积分———黎曼积分与勒贝格积分的演变过程。     

勒贝格定理的有趣证明与函数黎曼可积性

本文从振幅函数谈起,有趣的证明了勒贝格定理,然后通过典型例子充分说明了该定理是判定函数黎曼可积性的得力工具。