近乎线性微分方程系的渐近公式

考虑微分方程系(1) dx/dt=Ax+f(x,t),||x||<∝,0≤t<∝.这里假定(1)式满足下面的要求:(i)A是常数方阵.f(x,t)是(x,t)的连续函数.     

微分方程系渐近等价关系的一个定理

讨论线性微分方程系(1)ax/dt=A(t)x A(t)对t≥0连续有界。对于实数λ,如果dx/dt=(A(t)-λE)x不具有指数型二分法,就称λ是系统(1)的谱点。其中,E为n阶单位方阵,n为向     

周期函数的迫近公式

I.總说 1.设:f(x)是以2π為周期的連续函数。记这种函数的全体为C_(2π)。下面所考慮的函数都屬於C_(2π)。將函数f(x)的Fejer積分和de la Vallee-Poussin積分以及Jackson积分分别记做 a_n(f,x)=1/nπ integral from n=0 to π/2 [f(x+2t)+f(x-2t)](sin nt/sin t)~2 dt, V_n(f,x)=1/2π(2n)!!/(2n-1)!! integral from n=-π to π f(t)cos~(2n) t-x/2 dt, J_n(f,x)=3/nπ(2n~2+1) integral from n=0 to π/2 [f(x+2t)+f(x-2t)](sin nt/sin t)~4 dt.     

论微分方程系的特征数

§1.引言 我们知道线性微分方程系(1) dx/dt=A(t)x,x是n个座标的列向量,A(t)是n阶方阵,要是A(t)是常数方阵A,那末(1)式的解完全由A决定,要是A(t)是一般t的连续函数,到现在还不知(1)式的解跟系数有那些关系,也就是说我们不能够由A(t)来肯定(1)式解的性质,于是A.提出特微数的根念.设x(t)是(1)式的解,就称     

关于常微分方程中Liouville公式的注记

证明了n阶齐次线性微分方程dnx/dtn+al(t)dn-1x/dtn-1+…an-1(t)dx/dt+an(t)x=0的Liouville公式W'(t)=W(t0)e-∫tt0al(s)ds是一阶齐次线性微分方程组x'=A(t)x所对应的Liouville公式W'(t)=W(t0)e-∫tton∑i=1au(s)ds的特殊情形.     

n维系统周期解的区域定理

§1.引言本文讨论向量微分方程(dx/dt)=A(t)x g(t,x)(1)的周期解。其中A(t)是n×n矩阵,关于t∈E′连续且A(t ω)=A(t);(1)的简略方程(dx/dt)=A(t)x(2)没有非平凡ω周期解;对于(t,x)∈E′×E(?),函数g(t,x)连续且关于x满足局部李氏(Lipshitz)条件。     

平面非自治Hamilton方程的Lagrange稳定性

研究了平面非自治Hamilton方程dx/dt=H/y(x,y,t),dy/dt=-H/x(x,y,t)的稳定性.其中:Hamilton函数H(x,y,t)=x2m/2m+y2n/2n+H1(x,y,t);H1是关于x和y的多项式,关于t为C∞且满足H1(x,y,t+1)=H1(x,y,t).证明了当H1关于x和y的次数满足一定条件时,该平面非自治Hamilton方程具有Lagrange稳定性.     

非线性微分方程解的全局性态

本文研究向量微分方程 (dx)/(dt)=f(t,x) (1) 或 (dx)/(dt)=f(x) (2)其中x=(x_1, x_2, …, x_n)为n維向量,f(t, x)或f(x)是分别定义在0≤t<+∞,‖x‖=2~(sum from =1 to n x_i~2)<+∞或‖x‖<+∞的n維連续向量函数,它们满足方程(1)或(2)的解的存在唯一性定理及解对初始值的連续依赖性定理的条件。当考虑稳定性问题时我们     

一类自治系统的振动问题

§1 引言在非线性振动理论中,关于基本系统(dx)/(dt)=Ax μf的研究占据十分重要的地位,其中x为n维的Euclid空间的向量;A为n阶方阵,其元素是t的周期函数或常数;f为n维向量函数,其分量是参数μ与向量x的分量的     

线性微分方程系的概周期解

这里x=col.(x_1,x_2,…,x_n),A(t)是t的一致概周期(一致Π.Π.)n阶方阵,f(t)是t的一致Π.Π.n维列向量函数,‖x‖=sum from i=1 to n |x_i|,A(t)=(α_(ij)(t)),‖A(t)‖=sum from i+j=1 to n|α(ij)(t)|或欧氏模。 从文[1]知,对于周期线性系统情形:A(t+T)=A(t),f(t+T)=f(t),T>0,系统(1)有T-周     

定积分的换元法

在不定积分中,其中之一的积分方法:设y=f(x),x=φ(t)及f′(t)都是连续的,x=φ(t)的反函数t=φ~(-a)(x)存在且可导,并且∫f[φ(t)]·φ′(t)dt=F(t)+C,则∫f(x)dx=F[φ~(-a)(x)]+C。在定积分中的换元法则是:对于定积分integral from n=a to b(f(x)dx),其中f(x)在区间[a,b]上连续,如果函数x=0φ(t)满足下列条件(1)φ(t)在区间[α,β]上有定义′是单值的′单调的,且有连续导数φ′(t)。(2)当t在区间[α,β]上变化时,x=φ(t)的值在区间[a,b]上变化,在这些条件下,则有公式integral from n=a to b(f(x)dx)=integral from n=α to β(f[φ(t)·φ′(t)dt)     

关于大系统周期解的存在性

本文借助函数方法,研究系统(dx)/(dt)=A(t)x+f(t)的解的有界性,周期解的存在性与唯一性,最后并对非自治非线性复合系统(dx)/(dt)=g(x,t)解的有界性进行了研究.     

关于常微分方程中Liouville公式的注记

证明了n阶齐次线性微分方程(dnx)/(dtn)+a1(t)(dn-1x)/(dtn-1)+…+an-1(t)dx/dt+an(t)x=0的Liouville公式W′(t)=W(t0)e-∫tt0a1(s)ds是一阶齐次线性微分方程组x′=A(t)x所对应的Liouville公式W′(t)=W(t0)e-integral from a=1 to t sum from i=1 to n aii(s)ds的特殊情形。     

一类非线性系统的中心流形与重整化群方法

利用重整化群方法,给出方程dx/dt=f(x,y),dy/dt=Ay+g(x,y),(x,y)∈Rm×Rn在平衡点(0,0)处中心流形的一致有效逼近.其中:A是n阶可对角化矩阵,其特征值都有负实部;f(x,y)和g(x,y)是Cr(r≥3)向量值函数,满足f(εx,εy)=O(ε2),g(εx,εy)=O(ε2),这里ε0.     

一类非驻定系统零解的稳定性

本文研究了线性微分方程dx/dt=A(t)x及一般形式的非线性微分方程组dx/dt=A(t,x)x的零解在Lyapunov意义下的稳定性问题,并给出了零解稳定、渐近稳定和不稳定的判定准则.     

关于非局部存在定理的一个注记

设一阶正规型方程组(E) dx/dt=f(t;x_1,…,x),(i=1,2,…,n) 如果采用向量形式,则(E)可以写成 dx/dt=f(t,x)其中(E)的右端函数,f(t,x)在(t,x)空间内某域G上连续。我们知道,一般所指的常微分方程解的存在定理仅是一局部性定理。也就是说,局部性定理所肯定的解x(t),仅在t_0的某个邻域上存在。这个邻域可能很小,甚至当f(t,x)的所在域G很大或是整个(t,x)空间时也是如此。因此在局部性存在定理之后,进一步建立非局部性存在定理,是一个很有意义而且也是必要的问题。这个问题在王柔怀等编著的《常微     

具有两个非线性执行机构的直接调节系统的绝对稳定性

§1.总说本文讨论具有两个非线性执行机构的直接调节系统,即是由方程组 dx/dt=Ax Bf(σ) σ=d′x所描述的直接调节系统,这里x是n维列向量,σ是2维列向量,A是特征值全具负实部的n阶方阵,B平d是n×2阶矩阵,A、B、D的元素都是实数,f(σ)是2维列向量,它的第j个坐标f(σ)只依赖于向量σ的第j个坐标σ_j,即f_j(σ)=f_j(σ_j),(j=1,2),并且f(0)=0。若对任何适合条件     

微分方程零解的全局稳定和全局渐近稳定的充要条件

<正> 本文讨论扰动矢量方程 dx/dt=f(t,x) (1) 其中:x=(x_1,x_2,……,x_n)~T是R~n空间的矢量,f(t,x)是定义在I×R~n空间 0≤t<+∞, ‖x‖<+∞ (2)上的n维连续矢量函数,f(t,0)=0,满足解的存在及唯一性条件,并且假定解可以开拓到t=+∞。     

广义指数型二分法

本文研究系统dx/dt=A(t)x,其中，x是n-向量，A(t)是t的n阶连续、有界的方阵. Martin[1]研究了广义指数型二分法。本文推广了Martin的广义指数型二分法的定义，在引进某些新定义后，我们建立了线性系统的零解广义指数型稳定性在系数矩阵小扰动下不变性的定理，并且在适当条件下，利用Lyapunov第二方法建立了线性系统的解具有广义指数型二分法的充要条件．     

常系数线性微分方程组解结构的再认识

对于常系数线性微分方程组:dx/dt=Ax+f (t)(A是n阶实常数矩阵),引入特征根方程A-||λE=0的特征行向量K=(k_1,k_2,?,k_n)(其中K满足:K(A-λE)=0)概念,将n元一阶常系数线性微分方程组化为一阶线性微分方程形式.