用等参有限元解椭圆型方程的L~2误差估计

§1.引言本文讨论二阶椭圆型方程边值问题的近似解,这里Ω是x_1x_2平面上的有界区域,Ω的边界Γ充分光滑,且满足这里W~(m,p)(Ω),H~m(Ω)以及下面出现的H_(?)~m(Ω)等都是熟知的Sobolev空间.用‖·‖_(m,p(?))表示空间W~(m,p)(Ω)元素的范数,|·|_(m,p,(?))表示半范.当p=2时,分别简写为‖·‖_(m,(?))和|·|_(m,(?))为简单起见,下面对(1.2)中某些函数要求有更高的光滑性时,将不再说明.     

空间W~(m,p)(R)的分段多项式逼近

函数空间的逼近理论由于在近似方法中的应用而被人们所重视。Di Guglielmo,F.在[1]中研究了空间 W~(m,p)(R~n)(p≥2)的多项式逼近问题。空间 W~(m,p)(Ω)是指具有如下性质的函数 u 组成的集合:W~(m,p)(Ω)≡{u∈L~p(Ω):D~αu∈L~p(Ω),0≤|α|≤m,其中 D~αu 是意义下的广义(或广义函数意义下的)偏导数},其中α={α_1,…,α_n}是非负整数α_j 的一个 n 重组,|α|=sum from j=1 to n α_j,D_j=(?)/((?)x)(对于1≤j≤n),D~α=D_1~(α_1)…D_n~(α_n).Ω为有界或无界区域。范数为‖u‖_m~p,p=sum from 0≤|α|≤m ‖D~αu‖_p~p, 1相似文献   

变分不等式有限元解的误差估计

§1 引言本文讨论障碍问题有限元近似解的误差估计.用x=(x_1,x_2)表示R~2中的点.设Ω是R~2中的有界区域,它的边界Γ充分光滑.又设f,∈L~2(Ω),g∈H~2(Ω),x∈H~2(Ω),(1.1)这里H~2(Ω)表示Sobolev空间.另外,本文还要用到Sobolev空间W~(m,p)(Ω),以后不再具体说明.下面用和|·|_(m,Ω)分别表示H~m(Ω)中元素的范数和半范,用表示W~(m,p)(Ω)中元素的范数.     

椭圆型方程在W~(m,p)(Ω)中的可解性

本文利用作者关于在W~(m,p)(Ω)中有界线性泛函表现定理~〔1〕证明椭圆偏微分方程的边值问题等价于全连续算子方程.     

关于W~(m,p)中一个稠密性定理的几点注记

当有界域Ω有局部Lipschitz边界时,C~∞(■)在W~(m,p)(Ω)中的稠密性是众所周知的。本文证明了这个定理的几个变形,并由此导出关于函数的迹和关于C~(0,1)(■)的几点结果。     

积分算子的奇异数和本征值

设Ω=[0,1]×[0,1]是单位正方形,W~(12)(Ω)表示由所有这样的K(x,y)∈L~2(Ω)构成的空间:它对每个y关于x绝对连续,对每个x关于y绝对连续,而且偏导数((?)/(?)x)K(x,y)((?)/(?)x)K(x,y)都在L~2(Ω)中。最近Reade证明,任何K(x,y)=K(Y,X)∈W~(12)(Ω)的本征值,满足。本文说明,任何K(x,y)∈W~(12)(Ω)的奇异数满足特别如K(x,y)∈W~(12)(Ω)还假定是对称的,那末Reade的结果可改进。     

具P（x）—增长条件的2m阶椭圆型方程弱解的存在性

利用广义Orlicz空间L^p(x)和W^m,p(x)(Ω）的基本理论,给出了具有非标准p(x)-增长条件的2m阶椭圆方程{∑1≤│α│≤m(-1)^│α│D^αAα（x,u,Du) g(x,u,Du)=f(x),x∈Ω,D^βu=0,x∈ρΩ,任意│β│≤m-1弱解在存在性。为证明本文的主要结论,还给出了形如W^j m,p(x)(Ω）→W^j,q(x)(Ω）的紧嵌入定理。     

方程—Δu=f(x,u,Du)在W~(2, P)(Ω)中的可解性

本文在一定的条件下证明了DiriChlet问题■在W~(2,p)(Ω)中的可解性,其中p>1当N=1或2;P≥2N/(N+2)当N≥3,而不象以前关于这方面的工作要限制p>N。     

椭园边值问题的L~p可解性

当B_j是m_j阶微分算子,并且在Γ上关于P满足Lopatinski-Shapiro条件时,S.Agmon等人利用基本解的方法对问题(I)作出了边界临近的L~p估计.J.L.Lions和E.Magenes利用Green公式和迹定理以及插值理论,在室间建立了问题(I)的边界估计,并且证明了若f∈W~s_p(Ω),g_j∈W~(s m-m_j-1/p(Γ)问题(I)存在解u∈W~(m s-e)_p(Ω)。     

(PS)条件的证明

1 预备知识 定义1 记W0k,p(x)(Ω)的共轭空间为W-k,p'(x)(Ω),定义W-k,p'(x)(Ω)的范数如下: ‖ G ‖-k,p'=sup(|G(f)|)/(‖f‖k,p):f∈W0k,p(x)(Ω).     

关于空间H_0~1(Ω)和W_0~(1,p)(Ω)的对偶空间表示的注记

通过研究H_0~1(Ω)的对偶空间H~(-1)(Ω),发现H~(-1)(Ω)的Riesz表示唯一,但在(L2(Ω))N+1中的表示不唯一.同样地,对于W_0~(1,p)(Ω)的对偶空间W-1,p'(Ω),在W_0~(1,p)(Ω)有唯一表示,但在(Lp'(Ω))N+1中的表示不唯一.     

p(x)-Laplacian Dirichlet问题无穷多解的存在性

在变指数Lebesgue空间L~(p(x))(Ω)和变指数Sobolev空间W~(k,p(x))(Ω)理论框架下,研究了下面的p(x)-Laplacian Dirichlet问题:{-div[(d+|▽u|~2)~(p(x)/2-1)▽u]=f(x,u),x∈Ω:u=0,x∈Ω其中ΩR~N是有界区域,p(x)1,p(x)∈C(Ω),d0为常数.利用p(x)-Laplace算子-div[(d+|▽u|~2)~(p(x)/2-1)▽u]的性质及喷泉定理证明了这个问题无穷多个弱解的存在性.     

一类障碍问题解的内部正则性

本文研究了下述障碍问题这里,(?)_φ~ ={v∈C(G)∩W~(1,p)(G),v—φ∈W~(1,p)(G),且v≥φ},G是R~n中有界区域。在p∈(1,2)的情形,我们证实了Lindqvist的一个猜想,即如果障碍函数φ的梯度局部H(?)lder连续,则障碍问题的解梯度也是局部H(?)lder连续。     

一类p(x)-Laplacian问题弱解的存在性

在变指数Lebesgue空间Lp(x)(Ω)和变指数Sobolev空间Wk.p(x)(Ω)基本理论体系上,研究了下面的p(x)-Laplacian问题:{-div[ (d+ ▽|u|2)p(x)/2-1▽u]=-λ|u|p(x)-2u+f(x,u),x∈Ωu=0,x∈(δ)Ω其中Ω是(R)N中的具有光滑边界的有界区域,...     

广义L_p-仿射表面积和Shephard型问题

对于p≥1,引入了Rn中凸体K的i-型Lp-仿射表面积Ω(i)p(K)(i=0,1,…,n-1)的概念,使得Lp-仿射表面积Ωp(K)是其i=0的特殊类;运用Lp-Brunn-Minkowski理论和余弦变换方法,成功地解决了Lp-混合投影体∏p,iK∏p,iL是否一定蕴含Ω(i)p(K)≤Ω(i)p(L)的Shephard型问题.     

带有粗糙核的分数次积分算子的交换子的Lipschitz估计

主要讨论带有粗糙核的分数次积分算子的交换子[b,TΩ,α](f)(x)=p.v.∫Rn[b(x)-b(y)]Ω(x-y)|x-y|n-αf(y)dy及相应的多线性算子TΩA,α(f)(x)=p.v∫.RnPm(A;x,y)|Ωx(-x-y|y)n-αf(y)dy在某些Hardy空间上的有界性问题.     

两个新的数论函数的混合均值

对任意正整数n,定义数论函数Ω(n)为Ω(1)=0,当n>1,n=pα11pα22…pαss为n的标准分解式,Ω(n)=α1p1+α2p2+…+αsps,其中(pi为素数,1≤i≤s)。数论函数Sk(n)定义为Sk(n)=m in{m:m∈N,nk|m!},即最小正整数m,使得nk|m!。运用初等方法研究数论函数Ω(n)与Sk(n)的混合均值问题,并得到一个有趣的渐近公式。     

关于平面上二阶椭圆型方程解的Hlder估计

本文讨论了平面有界区域上,散度形式的二阶椭圆型方程的Dirichlet问题:■的弱解的全局Hlder估计。其中,α~(if)(x)是Ω上的有界可测函数,且满足■对一切x∈Ω,ξ=(ζ1,ξ2)∈R~2成立;λ_1>0,λ=λ_1/λ_2。本文证明了(1)、(2)的解u∈W~(1.2)(Ω)∩C°■在φ∈C~β(■Ω)和边界满足适当条件时,可以有βrπ/2(2π-α)(r<1/2(1 λ)λ~(1/2),0≤α≤π)的全局Hlder连续性,比K. O. Widman 1969年两种情况的结果都好。     

退缩椭圆型方程的Ritz方法及广义解的局部估计

本文在R~m(m≥2)的有界凸区域Ω上考虑退缩椭圆型方程其中α_lj(x)=αjl(x)∈c(Ω)且对x∈Ω及ξ=(ξ_1,…,ξ_m)∈R~m\{0}有αlj(x)ξ_1ξ_1≥λ(x)|ξ|~2≥0,λ~(-1)(x)∈L_s(Ω)(s>m)。设Ω的边界∑∈A~(2)(意义见[1]γ,     

带变量核的分数次积分交换子在变指数Herz-Morrey空间上的有界性

证明了带变量核的分数次积分算子T_(Ω,μ)与Lipschitz函数b生成的高阶交换子[b~m,T_(Ω,μ)]在变指数Herz-Morrey空间MK_(q,p)~(α,λ)(·)(R~n)上的有界性.