图Cmk(P2,…,P2,Pl)的最大特征值

设圈C=v1 v2…vm v1,m≥3.在圈C的顶点vil,vi2,…,vik上分别悬挂k条路pn1,pn2,…,Pnk的图记为Ci1,i2….ik(Pn1,Pn2,…Pnk),其中1≤ij≤m,m,1 ≤j≤k.在顶点口vm上悬挂k条路Pn1,Pn2,…,pnk的图简记为Cmk(Pn1,Pn2,…,Pnk).利用图Cmk(P2,…,P2,P1)的特征多项式获得:λ1(Cmk+1(P2,…,P2,Pl-1))≥λ1(Cnk(P2,…,P2,Pl))≥2,其中,k,l ∈ N,l≥3.     

一类树关于能量的排序

图G的能量E(G)定义为图G的所有特征值绝对值的和.令Tn(n≥4)是由路Pn=v1v2…vn的顶点v2与一个悬挂点联结得到的图,Tn(vi)1是由路Pn=v1v2…vn的顶点v2与vi分别联结一个悬挂点得到的图.将Tn(vi)1简记为n(2,i)1,完全解决了树n(2,i)1依能量排序的问题,它可以按n模4同余区分为4种不同情形.文中给出结构类似的树n(2,i)k1k2依能量排序的一般规律与n(2,i)1的能量排序完全类似的猜想.     

图P_n~k的着色

设k是一个正整数,在含有n个顶点的路Pn=v1v2…vn上,当且仅当两点的距离为k(k≥2)时增加一条边,这样所得到的图叫做Pnk(v1,vn),有时Pkn(v1,vn)也简记为Pnk.论文研究图Pnk的点着色、边着色和点、边全着色,得到图Pnk的点色数、边色数和图Pnk满足点、边全着色猜想等结论.     

非连通图(P_1∨P_m)∪C_(4n)∪P_2的优美性

讨论非连通图(P1∨Pm)∪C4n∪P2的优美性.证明如下结论:设m、n为任意正整数,当m≥2,1≤n≤2m-2时,非连通图(P1∨Pm)∪C4n∪P2是优美图,其中Pn是n个顶点的路,G1∨G2是图G1与G2的联图,C4n是4n个顶点的圈.     

Kn—e图中的路因子

G是一个Kn-e图,e∈E（Ka）。设σ2（G）表示不相邻顶点度和的最小值．令｜V（G）｜=n=∑^ki=1 a,并且σ2（G）≥,n＋k-1．证明对于图G中任意的k个顶点v1,v2,…vk。存在点不相交的路P1,P2,…Pk,使得对于1≤i≤k,都有｜V（Pi）｜=ai．并且vi是Pi的一个端点．     

k-阶圈链Q(Cs1,P2,Cs2,…,P2,Csk)Hosoya指标最大值

图族k-阶圈链Q(C s 1 ,P 2,C s 2 ,…,P 2,C s k )是n个顶点的图,由k个圈C s 1 ,C s 2 ,…,C s k 通过使相邻两个圈C i和C i+1 (i=1,2,…,k 1)分别被路P 2的两个顶点点粘接而得到．通过对图族k-阶圈链Q(C s 1 ,P 2,C s 2 ,…,P 2,C s k )的 Hosoya 指标进行研究,刻画出该类图族的 Hosoya 指标取得最大值的图是Q(C 4,P 2,C 4,…,P 2,C n 4(k 1) )．     

二分图中含有经过给定点的大圈的2-因子的度条件

设G=(V1,V2;E)是一个二分图, 其顶点数目满足V1=V2=n≥sk,s和k是满足s≥3并且k≥2的两个正整数. 如果σ1,1≥2「(1-1/s)n」+k, 那么G对的任意k个顶点v1,v2,…,vk,G有一个包含k个点不交圈G1,G2,…的因子,使得vi∈V(ci)且Ci≥2s.     

P_n~k和T_((k_1,k_2,…,k_n))的色多项式

本文研究了图Pnk和T(k1,k2,…,kn)的色多项式,得到P2n、P3n和T(k1,k2,…,kn)的色多项式递推公式,以及Pn2仅当n≤4时是色唯一图,T(k1,k2,…,kn)仅当n=1是色唯一图等结论.     

关于支配圈和支配路的存在性

圈C称为图G的支配圈,若对G中任一点v,至少有圈C上的一个顶点与之邻接.类似定义图G的支配路.本文讨论了图中支配圈和支配路的存在性,得到下列结果:(1)设G是有n个顶点,ε条边的k-连通图(k≥1),若ε>((n-k)/2)~2-(3n-k)/2+4,则G中存在支配圈.(2)设G是有n个顶点的k-连通图(k≥2),若对图G中任何有k个顶点的独立点集{v_0,v_1,…v_(k-1)},满足N(v_i)∩N(v~i)=φ(0≤i≠i≤k-1),有~(k-1)∑_(i=0)d(v_i)>n-2(k+2)成立,则G中存在支配路.     

由圈得到的一类优美图

刘瑞元在〔1〕中证明一个 n(n≥6)个顶点的圈增加两条弦所得图优美,本文证明圈增加若干弦所得图优美.定理具有4k+r 个顶点的圈 C(r=0,1,2,3),可增加 t(1≤t≤2k)条弦,使所得图 C′优美.定理的证明分4种情况:r=0,l,2,3.引理1 具有4k 个顶点的圈 C,可加上t(0≤t≤2k)条弦,使所得图 C′优美。引理2 具有4k+1个顶点的圈 C,可增加t(1≤t≤2k)条弦,使所得图 C′优美.引理3 具有4k+2个顶点的圈 C,可增加t(1≤t≤2k)条弦,使所得图 C′优美.引理4 具有4k+3个顶点的圈 C,可增加t(1≤t≤2k+1)条弦,使所得图 C′优美.     

有关图(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)和(P2∨n)∪Gn-1优美性研究

文章给出了非连通图(P1∨Pn)∪St(m)和(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)及(P2∨n)∪Gn-1,证明了对任意自然数n,设s=(n)/(2),则当n≥3,m≥s时,非连通图(P1∨Pn)∪St(m)是优美图;当n≥3时,非连通图(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)是s-优美图;当n≥2时,非连通图(P2∨n)∪Gn-1是优美图;其中,Pn是n个顶点的路,P1、P(1)1和P(2)1均是只有一个顶点的平凡图,G1∨G2是图G1与G2的联图,St(m)是m 1个顶点的星形树,Kn是n个顶点的完全图,n是Kn的补图,Gn-1是任意一个n-1条边的优美图.     

判断k-可序哈密顿-连通图的新条件

具有n个顶点的图G(n≥3)是k-可序哈密顿-连通的(k是整数,且2≤k≤n),如果对于G中每一个具有k个不同顶点的可序集合S={v1v2,…,vk},都存在G中的哈密顿路P包含S且不改变其中元素的次序.本文证明了:对于具有n个顶点的图G,u、v是G中任意两个不相邻的顶点,且d(u)+d(v)≥n+1.如果G是「k+1/2﹁-连通的k-可序图,k是整数且2≤k≤n/12,则G是k-可序哈密顿-连通图.     

完全三部图K(n-k,n-v,n)的色唯一性

设P(G,λ)是图G的色多项式,如果任意与图G的色多项式相等(P(G,λ)=P(H,λ))的图H都与图G同构(GH),则称图G是色唯一图.文献[Lau G C,Peng Y H.Chromatic uniqueness ofcertain complete tripartite graphs.Acta Mathematica Sinica,English Series,2011,27(5):919-926]中提出一个猜想(若k≥v≥2,n≥k2/4+v+1,则完全三部图K(n-k,n-v,n)是色唯一的),并证明了若2≤v≤4,k≥v≥2,n≥k2/4+v+1,则K(n-k,n-v,n)是色唯一的.通过比较三角形子图和无弦四边形子图的个数,证明了若v≥4,k≥2v2+4,n≥(k+2)2/8+3,则K(n-k,n-v,n)是色唯一图。     

图P2mUPm＋k的优美性探讨

该文讨论了P_(2m)UP_(m+k)型图的优美性.证明了当k=2.3.4时.P_(2m)UP_(m+k)是优美图,我们还指出,当k>4,1≤m≤2k-5时,P_(2m)UP_(m+k)的优美性等价于猜想:对于l≥5,0相似文献   

关于2G与路的并的优美标号

设G是有q条边的优美二部图,优美标号为θ,pm是有m条边的简单路,C=k 0〈k〈q,k≠θ（v）,v∈V（G{）},a=maxC,b=minC,h=min q-a＋2,b{}＋2.图G∪G∪Pm是两个图G与一条简单通路的不交并.证明了：当m=1或m≥h时,图G∪G∪Pm是优美的.应用此结论,得到：对所有的s≥2,t≥2,当m=1或m≥3时,图Ks,t∪Ks,t∪Pm是优美的.     

图Pkn的着色

设k是一个正整数,在含有 n个顶点的路Pn=v1v2…vn上,当且仅当两点的距离为 k(k≥2)时增加一条边,这样所得到的图叫做Pkn(v1,vn),有时Pkn(v1,vn)也简记为Pkn.论文研究图Pkn的点着色、边着色和点、边全着色,得到图Pkn的点色数、边色数和图Pkn满足点、边全着色猜想等结论.     

两类平面图的关联色数

轮 Wr 1(r≥3)是一个r阶圈加上一个新的顶点,再把圈上每个顶点与新顶点连上边所得到的图.新顶点与圈上顶点之间的边称为辐边,圈上的边称为边缘边.所谓花图Fr,m,n(r≥3,m≥1,n≥2m 1),是在轮Wr 1中的在每条辐边上分别嵌入m-1个新点,在每条边缘边上分别嵌入n-2m-1个新点所得到的图.所谓棱柱Qn(n≥3),是指Qn=(V,E),y={u1,u2,…,un}U{v1,V2,…,vn},E={uiui 1,vivi 1,uivi,u1vi 1|i=1,2,…,n},其中un 1=u1,vn 1=v1.通过给出花图Fr,m,n>(r≥3,m≥1,n≥2m 1)和棱柱Qn(n≥3)的一种关联着色方法,确定了它们的关联色数.     

圈长为3的k圈图laplacian矩阵谱的界

设G为n阶的连通k(k≥3)圈图,λ1(G)是图G的laplacian矩阵的最大特征值.本文讨论了圈长为3的k圈图的最大特征值与其顶点数及各顶点的悬挂边个数之间的关系.     

无爪图中具有指定长度的路因子

在无爪图G中,设σ2(G)表示不相邻顶点度和的最小值. 令|V(G)|=n=∑ki=1ai,ai6,1ik,并且σ2(G)n+k-1,证明了对于图G中任意的k个顶点v1,v2,…vk, 都存在点不相交的路P1,P2,…Pk，使得对于1ik，都有|V(Pi)|=ai并且vi是路Pi的一个端点.     

局部外竞赛图上的二次外邻

文章将Seymour二次邻域猜想限制在局部外竞赛图上进行研究，证明了局部外竞赛图D上总存在一个顶点v∈V（D），使得d⁺⁺（v）≥λd⁺（v），这里λ=0.689 897…是方程5x²-2x-1=0的唯一正实根。进一步利用局部外竞赛图的结构性质，证明了若局部外竞赛图的终止强分支上无3-圈，则存在一个顶点v∈V（D），使得d⁺⁺（v）≥λd⁺（v），这里λ=0.695 860…。