限区间上的时间分数阶电报方程的解析解

考虑一类时间分数阶电报方程,它是由传统的电报方程推广而来,即时间一阶、二阶导数分别用 $\alpha\in(\frac{1}{2},1], 2\alpha\in(1,2]$阶Caputo导数代替. 利用空间有限的sine或cosine变换及时间Laplace变换,给出了该方程有限区间上带Dirichlet和Neumann边界条件的两类初边值问题的解析解. 该解由Mittag-Leffler函数的级数形式给出.     

分数阶扩散-波动方程数值求解

针对Caputo分数阶导数意义下的时间分数阶扩散-波动方程进行数值研究.利用Caputo分数阶导数与Grunwald-Letnikov分数阶导数的关系对时间分数阶导数进行时间离散化处理,再利用二阶中心差商离散方程中的二阶空间导数,并结合边值条件的离散化,把离散化方程的求解转化为一个线性方程组的求解.利用Matlab编程...     

基于时间分数阶扩散方程导数参数反演问题

研究时间分数阶扩散方程中分数导数阶的估计问题.首先,定义了一个带自然对数核的Caputo分数阶导数算子,推导出了时间分数阶扩散方程的分数阶导数所满足的方程,称之为时间分数阶扩散的伴随方程.其次,我们分别对两个方程进行时间离散构造有限差分格式和弱形式,再对弱形式中的半离散解进行Legendre多项式逼近得到全离散格式.然...     

基于Caputo导数的分数阶广义Birkhoff系统的Noether定理

研究基于Caputo导数的分数阶广义Birkhoff系统的Noether定理.首先,建立分数阶广义Pfaff-Birkhoff原理,导出分数阶广义Birkhoff方程.其次,研究时间不变的特殊无限小变换下的分数阶Noether对称性与分数阶守恒量,建立分数阶广义Birkhoff系统的Noether定理.再次,研究时间变化的一般无限小变换下的分数阶Noether对称性与分数阶守恒量,建立分数阶广义Birkhoff系统的Noether定理,并利用时间重参数方法给出其证明.最后,给出了一个算例以说明其应用.     

一类变时间分数阶含源项非定常奇异摄动对流扩散方程的数值分析

考虑了变时间分数阶含源项非定常奇异摄动对流扩散方程的数值逼近问题.首先采用分段线性插值法,结合对一阶时间导数的一个二阶近似离散Coimbra变时间分数阶导数,然后用中心差分离散一阶空间分数阶导数和二阶空间分数阶导数,最后用数值例子验证了提出的数值方法,说明了数值方法的有效性.     

时间分数阶扩散方程的高阶Diethelm方法

针对时间分数阶扩散方程,提出了一种新的隐式差分方法,其中空间导数采用中心差分方法离散.对于时间分数阶导数,将Caputo分数阶导数转化为Riemman-Liouville分数阶导数后,写成Hadamard有限部分积分,再用分段二次多项式对该有限积分部分逼近,由此推导出Caputo分数阶导数的3-α阶离散方法,从而得到无条件稳定的和收敛的分数阶扩散方程的隐式差分格式.数值实验验证该隐式差分格式的有效性.     

一类分数阶对流扩散方程差分格式的理论分析

考虑一般的对流扩散方程,将一阶的时间导数用Caputo分数阶导数替换,二阶的空间导数用Riemann-Liouville分数阶导数替换,得到了一个Riemann-Liouville-Caputo分数阶对流扩散方程.给出了这个方程的一种计算有效的隐式差分格式,并证明了该差分格式是无条件稳定、无条件收敛的,其收敛阶为O(l+h).最后给出了数值例子.     

求解一类多项四阶时间分数阶慢扩散系统的有限差分格式

介绍求解多项四阶时间分数阶慢扩散方程的有限差分方法.利用L1公式逼近时间分数阶导数,用降阶法处理空间四阶导数项,再借助离散能量方法证明差分格式是无条件稳定的且在无穷范数下其收敛阶为O(τ2-β+h2),其中τ和h分别为时间方向和空间方向的步长,β是时间分数导数的最大阶.最后用数值实验验证所提出差分格式的精度和有效性.     

求解一类多项四阶时间分数阶慢扩散系统的有限差分格式

介绍求解多项四阶时间分数阶慢扩散方程的有限差分方法.利用L1公式逼近时间分数阶导数,用降阶法处理空间四阶导数项,再借助离散能量方法证明差分格式是无条件稳定的且在无穷范数下其收敛阶为O(t^(2-B)+h^2),其中t和h分别为时间方向和空间方向的步长,B是时间分数导数的最大阶.最后用数值实验验证所提出差分格式的精度和有效性.     

分数阶导数和积分的奇偶性及周期性

介绍了分数阶微积分的历史、分数阶导数和积分的定义,给出了分数阶导数、积分的运算性质以及三角函数的分数阶导数、积分的结果.研究了奇偶函数以及周期函数的分数阶导数、积分的性质.     

带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程正解的存在性

讨论了一类带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程■其中,D■是Rimann-Liouvile分数阶导数,η■_i(0,1),0<η₁<η₂<…<η_m-2<1,β■_i[0,∞)。文中给出其格林函数及相关性质,运用凸泛函上的不动点指数定理来计算不动点指数,从而得到了上述边值问题至少存在一个正解的结论。最后通过一个例子说明定理的具体应用。     

一类解析函数子类的Fekete-Szeg\"{o}不等式

定义了解析函数类~$\mathcal{M}_\alpha(\phi)\, (\alpha1)$, 得到了它精确的~Fekete-Szeg\{o}不等式. 作为~Fekete-Szeg\{o}不等式的应用, 得到了通过分式微分定义的函数类的~Fekete-Szeg\{o}不等式.     

Banach空间上相容算子方程的最小范数解的扰动分析

设~$X, Y$~是~Banach~空间, ~$T$~是\ $\mathcal{D}(T)\subset X$~%到\ $Y$~的稠定闭线性算子而且它的值域在\ $Y$~闭.~设相容算子方程~$Tx=b$~的非相容 扰动为\ $ \|(T+\delta T)x-\barb\|=\min\limits_{z\in\mathcal{D}(T)}\|(T+\delta T)z-\bar b\|,$~%这里\ $\delta T$~是\ $X\to Y$~的有界线性算子. ~在某些条件下\ (比如\$X, \, Y$~是自反的), ~设上述方程的最小范数 解为\ $\bar x_m$, 并 设\$Tx=b$~的解集\ $S(T, b)$~中的最小范数解为\ $x_m$. ~本文给出了当\$\delta(\Ker T, \Ker(T+\delta T))$~较小时, $\dfrac{\dist(\bar x_m,S(T, b))}{\|x_m\|}$~的上界估计式.     

一类一阶周期边值问题多个正解的存在性

本文研究了一阶周期边值问题■多个正解的存在性,其中λ>0是一个参数,a∈C（R,[0,∞）)是一个T-周期函数且∫^T₀a（t）dt>0,f∈C（[0,∞）,（0,∞）)且单调递增.在■的条件下,本文证明存在一个λ^*>0,使当0<λ<λ^*时问题不存在正解;当λ=λ^*时问题至少存在一个正解;当λ>λ^*时问题至少存在两个正解.主要结果的证明基于上下解方法和Leray-Schauder度.     

一类含有二次项的三阶有理差分方程的全局行为

本文给出方程\,$x_{n+1}=-\frac{x_n x_{n-1}}{ ax_n+bx_{n-2}}$\,的奇点集, 并讨论该方程解的全局行为. 我们证明了收敛解要么是一个4周期解, 要么收敛到一个4周期解或固定值; 不收敛解在一定条件下是无界的.     

混水平饱和正交设计在广义离散偏差下的均匀性

针对二、三混水平饱和正交设计d,在适当的划分下d=(D:),给出设计d的广义离散偏差与子设计D()的广义字长型及均匀性模式的解析关系.同时,给出这类因子设计的广义离散偏差的下界.最后,通过例子来验证其结论.     

有限域上四次对角方程ax^4+by^4=c解的存在性

设Fq是特征为p的有限域,d为正整数.对任意的a,b∈F*q,c∈Fq方程.axd+byd=c在Fq上是否恒有解这一问题长期吸引着大量研究者的关注.当d=2时,Cauchy给出了肯定结论.当d=3时,Skolem证明,对任意的素数p≠7,方程.ax3+by3=c在Fq上恒有解;Singh证明,对任意的素数方幂q≠4,方程.ax3+by3=c在Fq上恒有解.本文研究d=4的情形,给出了该方程解的存在性,即当q≠5,9,13,17,25,29时,对任意的a,b∈F*q,c∈Fq,方程.ax4+by4=c在Fq上恒有解.     

关于单位分数的 Lazar 问题

设 $n$ 为任意正整数. 著名 Erd\H{o}s-Straus 猜想是指当 $n\ge 2$ 时, Diophantine 方程 $\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ 总有正整数解 $(x,y,z)$. 虽然有许多作者研究这个猜想, 但是至今它还未被解决. 设 $p\ge 5$ 为任意素数. 最近, Lazar 证明 Diophantine 方程 $ \frac{4}{p}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ 在区域 $xy<\sqrt{z/2}$ 内没有 $x$ 与 $y$ 互素的正整数解 $(x,y,z)$. 同时, Lazar 提出问题: 在上述方程中以 $5/p$ 替换 $4/p$, 是否有类似结果? 这也是 Sierpinski 提出的一个猜想. 在本文中, 我们证明 Diophantine 方程 $\frac{a}{p}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ 没有满足\ $x, y$ 互素且\ $xy<\sqrt{z/2}$ 的正整数解 $(x,y,z)$, 其中 $a$ 为满足\ $a<7\le p$ 的正整数. 这回答了上述 Lazar 问题, 并推广了 Lazar 的结果. 我们的证明方法和工具主要是利用有理数\ $\frac{a}{p}$ 的连分数表示.     

J(o)rgens-Calabi-Pogorelov定理的一个推广

本文证明了满足方程 $\det\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial \xi_{i}\partial \xi_{j}}\right) = \exp \left\{-\sum d_i \frac{\partial u}{\partial \xi_{i}} - d_0\right\}$ ( 其中 $d_0$, $d_1$,...,$d_n$ 是常数) 的任何光滑严格凸的整体解 $u$ 一定是二次多项式. 我们推广了著名的 J\"{o}rgens-Calabi-Pogorelov 定理.     

关于不定方程x2+4n =y9的整数解

该文首先应用代数数论的方法证明了不定方程~$x{^2}+4{^n}=y{^9}$~在~$x\equiv 1 \pmod{2}$ 时无整数解, 再证明不定方程~$x{^2}+4{^n}=y{^9}$~在~$n \in\{6, 7, 8\}$~ 时均无整数解, 进而证明不定方程~$x{^2}+4{^n}=y{^9}$~仅当~$n\equiv 0 \pmod{9}$~和~$n\equiv 4 \pmod{9}$ 时有整数解, 且当~$n=9m$~时, 其整数解为~$(x,y)=(0,4{^m})$; 当~$n=9m+4$~时, 其整数解为~$(x,y)=(\pm16\times2{^{9m}},2\times4{^m}),$~ 这里的~$m$~为非负整数. 进一步, 根据~$k=5,9$ 的结论, 文章提出了一个关于不定方程~$x{^2}+4{^n}=y{^k}$ $(k$ 为奇数$)$ 的整数解的猜想, 以供后续研究.