多复变数函数论的几个问题(一)——多个复变数的幂级数的收敛点集

用 C~n 表示 n 个独立的复变数 z_1,…,z_n 的空间。该空间的点记为 z=(z_1,…,z_n)。本文给出了多个复变数 z_1,…,z_n 的幂级数sum frum m_1,…,m_n=0 to ∞=0 am_1…m_n(z_1-z_1~((0))~m_1…(z_n-z_n~((0)))~m (A)的收敛点集的解析式。其中 z~((0))、z∈C~n,z~((n))是定点,z 是变点,am_1…m 不依赖于     

多复变数函数论的几个问题(三)—多个复变数的幂级数的收敛边界和奇流形

考虑多个复变数z_1,…,z_n的幂级数在1962年的书中载有对级数(A)的收敛区域的讨论。使用了“完全n圆域”(2n维)和“共轭收敛半径”等概念。但并末指出如何计算每个共轭收敛半径,只给出了联系着共轭收敛半径的式子,但却是不正确的[见《多复变数函数论的几个问题(一)》,第十三节,《华南工学院学报》,1978年,第1期.82—101.以下相应地简称问题(一)、问题(二)、问题(三)等等]。 1972年和指出级数(A)的收敛点集和绝对收敛点集是一致的[见1973,22,10 141,1972,185-195.].但这样的点集有多大?在《问题(一)》中我们不仅算出了它的大小,而且还顺便将“级数(A)的收敛点集和绝对收敛点集是一致的”这一结论作为推论[见附注6.1]. 在《问题(一)》中首先算出多个复变数的函数项单级数P_0(z_1,…,z_n)+P_1(z_1,…,z_n)+…+P_m(z_1,…,z_n)+…(B)的收敛且绝对收敛点集[见第三节],顺便推出计算一个复变数的幂级数的收敛半径的Cauchy—-Hadamard公式,而后引进模变换[见第一节],从而获得所需结果。其中使用收敛尺度、收敛点集和收敛界限等概念。在《问题(二)》[见《华南工学院学报》,1978年,第1期,102-120]中由级数(A)的收敛且绝对收敛点集构造了各种维数的收敛且绝对收敛区域[见定理1.8].其中使用收敛半径和收敛区城等概念。在《问题(三)》中,使用收敛边界这一概念,指出了在(2n-1)维收敛边界上至少存在一个至少(n-1)维奇流形,并给出了奇流形所满足的方程,举了二例,一例算出了唯一的(n-1)维奇流形;另一例算出了仅有的n个(2n-2)维奇流形[在前面所提到的的书中,在2n维完全n圆域的讨论中,仅指出了级数(A)在该区域的边界上至少存在一个奇点,而且也没有指出寻找该奇点的途径]。在《问题(四)》中讨论了一类更广泛的区域,我们称之为2n维准多圆柱,级数(A)的2n维收敛区域是它的特款[见定理4]。以上许多结论对于维数低于2n的各种区域亦成立,兹不赘述。     

多复变数典型域的Cauchy型积分(Ⅱ)

一个复变数的Cauchy型积分,不仅对于函数论本身,而且对于奇异积分方程以及边值问题,都是非常重要的。关于多个复变数Cauchy型积分的研究,至今还很少。作者之一曾对矩阵双曲空间的Cauchy型积分的研究发表过一个摘要。本文考虑多复变数z=(z_1,…,z_n)空间内的超球zz′<1上的Cauchy型积分。设φ(u)是在uu′=1上的连续函数,此处u=(u_1…u_n)。显然,Cauchy型积分     

多變數幂級數的單變數化變换系統的正常性

1.问题的说明一个形式上的m个複變數z_1,z_2,…,z_m的幂级数F=F(z_1z_2,…,z_m)=sum from i_1,i_2,…i_m=0 to ∝ a_(i_1,i_2,…,i_m) z_1~(i_1)z_2~(i_2)…z_m~(i_m)经过一个变数变换 T_α:z_i=α_it,α_i是複数,i=1,2,…,m以後可以表示做一个形式上的单个复变数t的幂级数 T_αF=F_α(t)=sum from n=1 to ∝t~n sum from i_1+i_2+…+i_m a_(i_1,i_2,…,i_m α_1~(i_2)α_2(i_1)…α_m(i_m)。T_α叫做一个单变数化变换。     

多复变数函数论的几个问题(五)——多个复变数的幂级数的一致收敛性及其他

在《问题五》中讨论了级数(A)、级数(B)和函数序列的一致收敛性以及多重数值级数和多重函数项级数的收敛性判别法。在《问题六》中讨论了一个复变数的幂级数的阿贝耳第二定理和托贝尔定理在多个复变数的幂级数中的推广。以上许多结论对于维数低于2n的各种区域亦成立。     

ON THE DISCRETE APPROXIMATE SOLUTION AND ESTIMATION OF ITS ERROR OF THE NONLINEAR SINGULAR INTGRAL EQUATIONS

With the help of discrete singular operator S this paper deals with the discretization of the equationsWe divide interval [a , b] into 2N parts: [t_i, t_(i+1)], with i=1 ,2 ,… ,2N, where t_1 =a, t_(2N+1)=b,t_(i+1)-t_i=(b-a)/2N=h_N, i=1,2,…,2N.From [1], linear operator S(N): E_(2N-3)→E_(2v-3), for all Z=(z_3,z_4…,z_(2N-1))∈E_(2n-3),S~(N)Z=(S_2~(N)Z,S_4~(N)Z,…,S_((2N-1)~(N)) Z), there will be     

复变数对数函数一个性质的说明

针对复变函数教材中复变数对数函数的一个性质Lnz~(1/n)≠1/nLnz(n1)提出质疑,通过证明得到Lnz~(1/n)=1/nLnz(n≥1)的结论.     

多复变数函数论的几个问题(七)——一点注记

在文献中有如下定理.定理:二重幂级数sum(C_kl(w-a_l)~k(z-a_l)~l)from k,l=0 to ∞(1.42)的收敛点集或者归结为一点(级数的中心),或者构成这样一个(4维)星形区域,它可与通过级数的中心平行于坐标平面的平面上的2维收敛区域以及位于这个区域的边界上的收敛点相邻接.在其证明中说到"点(t_0c_1, t_0c_2)总是收敛点集的内点"本文的目的是指出这种论断是没有根据的.事实上,该定理的证明中所构造的仅是星形点集,还不是星形区域.     

多复变数函数论的几个问题(四)—准多圆柱

Consider the power series of several complex variables z_1m,…,z_nIn A. in 1962, the domain of the convergence of the series (A) was discussed and the concepts of "domains of the complete n-circular type" (the 2n-dimension) and "conjugate convergent radii" etc. were used. However, the author did not point out how to compute each conjugate radius, only the expression connecting each conjugate convergent radius was given and it is not correct [See《Some Problems of the Theory of Functions of Several Complex Variables (Ⅰ)》, The Convergent Set of the Power Series of Several Complex Variables, Section 13, 《Journal of South China Institutc of Technology》No.1, 1978, PP.82-101] and (Ⅵ) respectively.In 1972, C. pointed out that the convergent set of the series (A) is the same as its absolute convergent set [See 1973, 22, 10 141,1972, 185-195.]. But how large is such a point set? In Problem(I), not only its size had been computed, but also incidentally we obtained the conclusion that the convergent set of the series (A) is the same as its absolute conveagent set CSee remark 6.1].In Problem (Ⅰ), we first computed the convergent set which is also the absolute convergent set of the series of functions of several complex variablesp_0(z_1,…,z_n)+P_1)(z_1,…z_n)+…+P_m(z_1,…,z_n)+…(B)[See section 3], and incidentally we derived Cauchy-Hadamard formula for computing the convergent radius of the power series of a single complex variable. Secondly, we introduced the transformation of models [See section 1] thus the required results were obtained. The concepts of the convergent measure, convergent set and convergent limit etc. were used above.In Problem (Ⅱ)[The Convergent Domain of the Power Series of Several Complex Variables, See 《Journal of South Chiua Institute of Technology》No. 1; 1978, PP. 102- 120], we constructed the convergent domains whieh are also the absolute convergent domains of various dimensions by means of the convergent set which is also the absolute convergent set of the series (A) [See theory 1.8]. The concepts of the convergent radius and convergent domain were used here.In Problem (Ⅲ), the concept of the convergent bound was used, and we pointed out that there is at least one singular manifold and it is at least (n-1) -dimensional on the (2n-1)-dimensional convergent bound, and we gave the equation satisfied by singular manifolds; Two examples were given; in one of which the unique (n-1)—dimensional manifold was computed; and in the other, the only n number of (2n-2) - dimensional manifold were obtained [in the book of, A. cited above, in the discussion on the domain of the complete n-circular type (the 2n-dimension), it was only pointed out that the series (A) has at least one singular point on the bound of the domain, and the author did not point out the way to find the singular point].In Problem (IV), we discussed a wider kind of domains which were named the 2n-dimensional pseudomulticylinder, the 2n-dimensional convergent domain of the series (A) is its special case [See theory 4].A number of the above conclusions also hold for problems of various domains where the dimension number is less than 2n.     

多复变数中的一个猜测

本文给出了多复变数空间中的第三类典型域在偶数情况止的特殊性质，并在此基础上提出了一个猜测。     

典型域内部解析映照的一个定理——献给我最亲爱的朋友

§1.设是n个复变数z=(z_1,…,z_n)空间的一有界单叶域,命L~2()代表所有在解析的其绝对值平方在可积的函数所成的集合,已知(见Bergmann在L~2()中存在一组完整的正交就范函数系数φ_0(z),φ_1(z),φ_2(z),…,φ_v(z),…,并且级数     

用单叶双曲螺旋管实现两个轴异面管道的光滑拼接

讨论了用单叶双曲螺旋管实现两轴异面圆管道之间光滑拼接的问题,给出了光滑拼接所满足的条件:两轴异面管道的轴线与单叶双曲螺旋管的轴线在拼接点处满足位置连续:r(t_1)=M_1(x_1,y_1,z_1),r(t_2)=M_2(x_2,y_2,z_2),斜率连续:d_1=ε·r′(t_1),d_2=δ·r′(t_2)(ε,δ0)及管道半径相同,同时得到了拼接曲面单叶双曲螺旋管的参数方程形式。并举出具体实例,以Maple数学软件为工具,给出拼接效果图。本研究对工业产品的外形设计具有重要的理论意义和实际的应用价值。     

一类Markov-Gauss过程非线性滤波问题的显式解

本文针对一类非线性滤波问题,研究其级数展开形式的解.展开式中的每一项都是多重Wiener积分,且被积函数m_n(x,t_1,…t_n,t)是x,t_1,…t_n,t)的显式表达式.     

多复变数函数的内插问题

一、绪言 关地多复变数函数的内插法问题,从1932年开始,W.Wintinger,S.Bergman,W.T.Martin,George Springer等人已做了一些研究并取得一些成果,——有兴趣的同志请看有关参考文献。 1940年W.T.Martin应用Bergman的区域核函数理论解决了这样的一个问题:设L~2(B)为在勒贝格意义下平方可积的函数类,φ(Z,Z)∈L~2(B),要在L~2(B)中求出一解析函数     

多复变数的线性奇异积分方程

利用算子解法证明了闭光滑流形上具有 Bochner-Martinelli核和全纯系数的多复变数的正则型线性奇异积分方程在H类中存在唯一的算子解和线性算子的若干性质。     

一阶多点边值问题多个解的存在性

运用上下解方法和拓扑度理论研究了一阶常微分方程多点边值问题{u'(t)=f(t,u(t)),t∈[0,T],u(0)+Σm k=1a_ku(t_k)=c多个解的存在性,其中c∈R,t_k(k=1,2,3,…,m)满足0t_1t_2…t_mT,a_k0均为给定常数,并且满足1+Σm k=1a_k0,f∈C([0,T]×R,R)。实例说明了结果的正确性。     

多复变数Cauchy型积分在角点处的极限值

多复变数空间C~n中有界域的光滑边界上的Bochner-Martinelli型积分,陆启铿、钟同德和孙继广等已进行过系统的研究。本文讨论B-M型积分在角点(由边界的锥形曲面所围成的角锥顶点)处的极限值,得到了Co-Plemelj公式,置换     

Bochner-Martinelli积分表示的一些应用

C~n空间中有以下著名的Bochner-Martinelli积分表示: 定理1.1 设D是复变数z_1,…,z_n空间C~n的有界域,其边界D是C~2类2n-1维光滑可定向流形,设f(z)是在区域D全纯在D连续的函数(记为f(z)∈A(D)),那末     

圆型域中解析函数的积分表示

设域■为n个复变数z=(z_1,z_2,…,z_n)空间中包有原点的圆型有界单连通域,并且对原点而言是星状的;又设?的特征流形是圆型、紧致的。本文证明了,凡?内的解析函数f(z),如果属于Hardy族H_1,则必可表为Cauchy 积分和Schwarz 积分,而且f(z)属于H_1是f(z)可表为poisson 积分的充分必要条件。本文同时给出了这些结果在正规族方面的某些应用。     

几种收敛速率较高的迭代求解程序

为求解方程f(x)=0,我们提出了下列二种迭代程序:x_n~(1)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_(n-1)~(m)),x_n~(2)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_m~(1)),x_n~(3)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_n~(2),x_n~(m)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_n~((m-1))),(?)n∈N_0和z_(n 1)=ω(x_n,y_n,x_n),y_(n 1)=ω(x_n,z_(n 1),z_(n 1)),x_(n 1)=ω(x_n,z_(n 1),y_(n 1)),其中ω(x,y,z)=z-f(z)/f(x,y),f(x,y)=f(x)-f(y)/(x-y),它们的收敛阶分别为m (m~2 4)~(1/2)/2和2 3~(1/2)。本文分别建立了程序(I_m)和程序(Ⅱ)的收敛性定理,并就两个定理作了六点注记。文中还给出了一个数值例子