解析函数的单叶半径

对于单位圆|z|<1中的单叶函数f(z)=z+a_2z~2+…∈S,一个尚未解决的问题是:g(z)=1/2(zf(z))’在圆|z|<1/2中是否具有单叶性?目前最好的结果是1978年S.W.Barnsrd所得到的:当f(z)∈S时,2g(z)=(zf(z))’必在|z|≤0.49中是单叶的.对于星象函数,或者近于凸象函数,这个问题已经解决.对于后次对称的单叶函数f(z)=z+a_(k+1)~((k))Z~(k+1)+a_(2k+1)~((k))Z~(2k+1)+…,开始两项σ_2(z)=z+a_(k+1)~((k))Z~(k+1)及三项σ_3(Z)=σ_2(Z)+a_(2k+1)~((k))Z~(2k+1)在圆|Z|~k相似文献   

Bazilevi函数的一个性质

设S是单位圆盘E={Z:|Z|<1}内形如f(Z)=Z …的单叶解析函数f(Z)的全体构成的类。Bazilevic于1955年引进的一类函数——Bazilevi函数类,是目前所知的S的最大子类。对于一般的Bazilevi函数,人们至今还研究得很少,本文讨论这种函数类的如下两个子类: 1)B_n(α,β,ρ)(n为正整数,α>0,0≤β<1,0≤ρ<1):函数f(Z)=Z α_(n 1)Z~(n 1) …属于类B_n(α,β,ρ)当且仅当存在ρ级星象函数g(z)=z C_(n 1)     

多项式根的分布

本文以复变函数论中的 Rouche 定理为基础,给出了有关多项式根的分布规律。Rouche 定理:若 f(Z)与 g(Z)在封闭曲线 C 内及 C 上都解析,又在 C 上有|g(Z)|max{1,(|a_(n-1)| |a_(n-2| … |a_1| |a_0|)/|a_n|}令 f(Z)=a_nZ~n,g(Z)=a_(n-1)Z~(n-1) a_(n-2))Z~(n-2) … a_1Z a_0 由有关 R 的假设可得:|a_(n-1| |a_(n-2| … |a_1| |a_0|<|a_n|R 即(|a_(n-1)| |a_(n-2)| … |a_1| |a_0|)<|a_n|R~n由于 R>1及在 C 上|Z|=R,所以,|a_(n-1)Z~(n-1) a_(n-2)Z~(n-1) …… a_1Z a_0|<|a_nZ~n|也就是说,|g(Z)|<|f(Z)|,因此 f(Z)与 f(Z) g(Z)在 C 内(|Z|相似文献   

解析函数的星象半径

设f(z)=z+sum from v=1 to∞(a_vz~v)是单位圆|z|<1内的解析函数,用N记这种函数的全体.MacGregor研究了N中函数f(z)的单叶星象性,得到若干结果.本文推广了这些结果.1.概念与记号设f_p(z)=z+sum from k=1 to∞(a_(kp)+1~z~(kp+1))是|z|<1内的p次对称单叶解析函数,其全体记为S_P(P=1,2,…).特别简记S_1=S.如果f_(z)∈S_p,且有β∈[0,1)使得Re{zf′_p(z)/f_p(z)}>β(|z|相似文献   

单叶函数开始多项式的星形半径

若,f_p(Z)=Z+sum from v=1 to ∞a_(pv+1)~(p)Z~(Pv+1)∈S_p,S_p,_n(z)=Z+sum from v=1 to n a_(pv+1)~(p)Z~(Pv+1),则一切S_6,_n(Z)在|Z|相似文献   

典型实照函数的开始多项式

本文目的在于解决陈翰麟所提出的一个问题,即证明典型实照函数f(z)==z+sum from n=2 to ∞a_nz~n的所有开始多项式S_n(z)=z+a_2z~2+…+a_nz~n(n≥2)在|z|<1/4内是星象函数,且结果是最好可能的,半径1/4不能用更大的数代替。     

关于凸像函数和星像函数的偏差定理和系数

§1.引言 设w=f(z)=z+a_2z~2+……这个函数在单位圆|z|<1中是正则单叶的,它把单位圆照相成一个凸区域,那末函数f(z)叫做凸像函数。这种函数显然要满足条件 设w=f(z)=z+a_2z~2+……这个函数在单位圆|z|<1中是正则单叶的,对于任何rε(0,1),它把圆|z|=r照相成这样一个闭曲线,它包含点w=0,并且与每一条通过点w=0的直线相交成一个线段,那末函数f(z)叫做星像函数,这种函数显然要满足条件     

数学名题比伯巴赫(Bieberbach)猜想已解决

1916年,比伯巴赫猜想:单位圆盘|z|<1内的正则单叶函数f(z)=z+sum from n=2 to ∞a_nz~(?)必有|a(?)|≤n。这一猜想经过了将近70年的漫长岁月,比伯巴赫本人只证明了|a_2|≤2,娄威纳(Loewner)于1923年建立了参数表示法,证明了|a_3|≤3。1955年格拉伯定(Garabedian)及什菲尔(Schiffer)证明了|a_4|≤4,1968年皮迭逊(Pedrson)证明了|a_6|≤6。上述证明中除去|a_2|≤2的情形外,其余的证明都较复杂。对于     

一族对称单叶函数的极值估计

本文研究在单位圆盘|z|<1内正则、具有幂级数展式f(z)=z+()a_(np)+1~z~(np+1)(p 为一自然数)且适合条件()(np+1-a)|a_(np+1)|≤1-a(0≤a<1)的单叶函数族及其某些相关函数族的映照性质,获得系数、旋转、偏差、覆盖的一些准确估计。     

关于单叶函数邻域的注记

记单位圆盘E={z||z|<1)中满足条件f(0)=0和f~(?)(0)=1的解析函数f(z)组成的类为A。设f(z)=z+sum from k=2 to ∞ a_kz~k∈A,δ≥0,St.Ruscheweyh在[1]中定义邻域N_s(f)如下: N_δ(f)={g(z)=2+sum from k=2 to ∞ b_kz~k|sum from k=2 to ∞ k|a_k-b_k|≤δ}。[1],[2]研究了使得N_δ(f)中所有函数g(z)含于E中某单叶函数类的条件。本文的目     

凸函数的FEKETE—SZEG问题(英文)

设S为单位园盘内的正规单叶函数类。若f(z)=z+a_2z~2+a_3z~3+…∈S则当λ∈[0,1]时,Fekete和Szeg(?)证明了著名的结果(?)|a_3-λa_2~2|=1+2exp(-(2λ/(1-λ))) 本文考虑了S的一个子类凸函数类C,证明了不等式和-1/2≤|a_3|-|a_2|≤1/3对f∈C成立。     

在第三项系数限制下单叶函数的比勃巴赫猜想

1.设S是由在|z|<1内单叶且解析的函数 f(z)=z+a_2z~2+a_3z~3+…的全体所成的函数族。1916年,Bmberbach猜想:若f∈S,则|a_n|≤n对一切n=2,3,…成立,对所有n等号仅当Koebe函数K(z)=z/(1-z)~2及其旋转成立。我们已经知道,当n≤6时,Bieberbach猜想是成立的。1974年G.Ehrig证明:     

一类单叶函数的从属结果

设函数f(z)=z+a_2z~2+a_3z~3+…属于K类(单位圆盘D内凸象函数)或S类(D内单叶函数)。对于全体实数λ,μ和ν,本文讨论D内函数类(λz)/(1-μa_2z-νa_3z~2)。给出单叶条件及其象区域。并对K中所有函数f(z),绐出z/2(?)(λz)/(1-μa_2z-νa_3z~2)(?)f(z)的必要条件和(λz)/(1-μa_2z-νa_3z~2)(?)f(z)的充分条件。对S中所有函数f(z),给出z/4(?)(λz)/(1-μa_2z-νa_3z~2)(?)f(z)的必要条件及(λz)/(1-μa_2z-νa_3z~2)(?)f(z)的充分条件。     

近于凸函数相邻系数的一点注记

成立的最佳值A,B是很有趣的,此问题与著名的Littlewood问题紧密相连,有很多数学家进行过研究,目前最好结果为胡克教授所得-2.793<|a_(n+1)|-|a_n|<3.26对于f(z)∈Sc,Hamilton已得||a_(n+1)-|a_n||<3,并且对f∈Sc,在解决Robertson猜测的同时,他也提出了似乎有||a_(n+1)|-|a_n||≤1成立,Koepf得到||a_3|-|a_2||≤1成立.本文对f(z)∈Sc∩S(a)时,得到||a_(n+1)|-|a_n|≤1 设函数f(z)在单位圆△:|z|<1内解析单叶,且有展开式     

二阶非线性变系数微分方程组的全局稳定性

考虑系统 x=-a_1(t)f(x)+a_2(t)ф(y) y=a_3(t)x-a_4(t)y,f(0)=0,ф(0)=0 (1)定理1 假设成立条件(假定本文所考虑的函数均连续可微): 1)x·f(x)>0,(x≠0),且|f(x)|≥|x|; 2)对于一切t≥t_0,有a_1(t)≥a_1(>0);a_2(t)≤a_2(>0),a_3(t)≤a_3(0),a_4(t)≥a_4(0),(a_2+a_3)/(a_1~(1/2)·a_4~(1/4))<2 3)|φ(y)|≤|y|; 4)lim |x|→integral from n=0 to x (f(x)dx=+∞)则非线性系统(1)的零解是全局渐近稳定的。     

开拓戈鲁辛和夏尔绳斯基的几个定理

1.S表示|z|<1中正則且單葉的函數f(z)=z+a_2z~2+…的全體所成之族。∑表示在區域|ζ|>1中半純且單葉的函數F(ζ)=ζ+α_0+(a_1/ζ)+…的全體所成之族。 設f(z)/f＇(0)∈S,且當|z|<1時|f(z)|<1。當f＇(0)≥T,(01上是正則,單葉的,     

关于解析函数的单叶半径

设f(z)=z+sun(a_νz~(ν))fromν=2to∞是单位圆|z|<1中的解析函数,记这种函数的全体为 N.MacGregor 研究了 N 中函数 f(z) 的单叶性,得到下述结果:只要有|z|<1中的单叶函数 g(2)∈N(即 g(z)∈S),使得 Re{f(z)/g(z)}>0,那末f(z)必在|z|≤1/5中是单叶的.本文就 g(z) 属于S的一个子族,把上述结果加以改善.我们约定:     

关于Sakaguchi函数的一点注记

在文[1]中,作者对于Sakaguchi函数f(z),即适合条件 Re zf＇(z)/f(z)-f(-z)>0,(|z|<1) (1)的在单位|z|<1内的解析函数,提出如下的问题:是否具有性质 Re f(z)/z>1/2 ? (|z|<1) (2) 最近,S.Owa教授在访问同济大学时,提出一个反例:多项式 f(z)=z+3/5z~2+1/15z~3在|z|<1内满足(1),但f并不具有性质(2)。事实上,在点z=-0.99处,     

单叶函数系数模之差的估计

§1.引言设 f_k(z)=z+sum from n=1 to ∞ a_(nk+1)~((k))z~(nk+1)为在单位圆|z|<1内正则且单叶的函数,用 S_k 表示该函数族,特别记 S_1=S.对于 f_1(z)∈S;f_2(z)∈S_2的相邻系数模的差,戈鲁金曾有如下之估计:[1](1) ||a_n+1|-|a_n||≤C_(1)n~(1/4)log n,(2) ||a_(2n+1)~((2))|-|a_(2n-1)~((2))||≤C_2n~(-1/4)log n.其中的 C_1,C_2以及以后的 C_3,C_4,……都是绝对常数。对于映射单位圆|z|<1为关于原点为星形领域的函数 f(z)戈鲁金亦有估计:[1],[2]     

从属于指数函数的星像函数子类的四阶Toeplitz行列式

设S*_l表示单位圆盘D={z: |z|<1}内解析函数f(z)的全体, 且满足f(0)=f′(0)-1=0. 研究该函数类S*_l的四阶Toeplitz行列式T₄(2), 并给出其上界估计.