一类二次系统极限环的分布

陈兰荪、王明淑解决了二次系统的Ⅱ类方程在δ=0时的极限环集中分布问题。我们解决了这类方程在δ≠0时的极限环集中分布问题。因此这一类二次系统极限环集中分布问题就完全被解决了。     

关于平面二次系统的极限环

在平面二次系统的系数构成的十二维参数空间中,我们找到一个六维流形(定理1)和一个五维流形(定理2),使对应的平面二次系统有至少四个极限环。顺便指出,算错了第三个常数的符号,它直接影响到一个极限环的存在性。正确的结果是     

具抛物线不变集的二次系统至多有一个极限环

本文证明以抛物线为不变集的平面二次系统至多存在一个极限环。从而证明了具有以二次代数曲线为不变集的平面二次系统至多存在一个极限环。再结合文献[1],彻底解决了系统(1)的极限环的分支问题。以二次代数曲线为不变集的平面二次系统,其极限环的存在性、不存在性及唯一性等问题已有了大量的结果。当二次曲线为椭圆,一条直线,二条(相交,平行或重合)直线,双曲线这四     

一类三次系统的中心条件和极限环分支

考虑平面三次系统(?)=y P_2(x,y) P_3(x,y),(?)=-x Q_2(x,y)十Q_3(x,y),(1)其中P_i,Q_i是次数为i的齐次多项式,在P_i,Q_i的系数扰动下原点为中心的条件或者原点作为细焦点的阶数,对Hilbert第16个问题的解决有重要意义.经典的Lyapunov方法和Poincare方法从理论上阐述了焦点量的计算,但若具体地手算,只能得到简单情形下的焦点量,于是建立一种适合计算机上使用的算法是很有必要的.Lyapunov经典方法是采用V函数形式级数法,作形式级数V(x,y)=1/2(x~2 y~2) sum from n=3 to ∞(V_n=1/2(x~2 y~2)) sum from n=3 to ∞×sum from i=0 to n(V_(n,i)(x~(n-i)y~i))其中V_n是x,y的n次齐次多项式,V_n中的系数待定,使之满足dV/dt(?)(1)≡0,如果该级数收敛,则奇点O就是中心 在V_n的递推计算中为适合计算机处理,应用吴方法思想,得到以下几个递推公式:     

一类二维映射产生混沌的一个充分条件

一、前言 考虑定义于R~2一正方形区域Q上的同胚如果φ以双边无穷序列之集合S上的移位自同构σ为其子系统,φ生成的离散动力系统就有类似于混沌的性质。     

以抛物线为特殊积分的二次系统的极限环

平面二次系统(E_2)以二次代数曲线(包括退化情形)为一条积分曲线时的极限环问题,已有不少人进行了研究。主要结果为:当二次曲线为椭圆、一条直线、二条直线(相交、平行或重合)、双曲线这四种情形之一时,分别证明了极限环的存在性、唯一性和不存在性。本文研究剩下的一种情形,即系统(E_2)以抛物线为一条积分曲线时极限环的存在性问题。先给     

Hamilton圈存在的一个充分条件

本文推广了范更华的一个结果(J.Coob.Theory(B),37(1984),221—227),得到如下的定理:令G=(V,E)是一个n(≥3)点的简单图,用d(u)表示点u的次。设     

“旋转向量场和一类平面二次系统极限环大范围性态”一文的注记

Perko在他的“旋转向量场和一类平面二次系统极限环大范围性态”一文中[见J.Diff.Equs, 18(1975), 63-86],研究了半完全族的性质。     

二次系统（Ⅲ）m=0极限环的唯一性

文献[1]§20研究了二次系统极限环(2,2)分布的不可能性,其中p.553脚注1)猜想:二次系统(Ⅲ)m=0 在条件 下,当1 ax=y交椭圆     

Liénard方程至少存在n个极限环的充分条件和构造方法

对Liénard方程或其等价方程组作变换 ,得到方程     

非线性定常系统极限环的存在与唯一性

1.设a,l、m、n、b为实数,对于非线性定常系统 dx/dt=ax-y+lx~2+mxy+ny~2 dy/dt=x+bxy (1) 得到定理1 若a=0,且l-b=0或m~2-4n(n+b)≥0,则系统(1)在整个平面上不可能有极限环。定理2 当真a≠0,但l=0或l-b=0时,系统(1)可分别在两奇点O(0,0)、N(0,1/n)外围出现极限环,但不能同时存在,如存在必唯一。定理3 若n=0或n+b=0成立,则当a≠0时,系统(1)可存在包含原点O的极限环,但最多一个。     

关于一类E_3的极限环

我们考虑平面自治系统在特殊情况,例如a=-8,p=8\3,q=r=s=0,系统(1)可得出van der Pol方程。系统(1)的有限部分的奇点(0,0),当-2相似文献   

二次系统二阶三阶细焦点外围极限环不存性的研究

具有二阶三阶细焦点的二次系统可化为 (1)其中,m(l+n)=a(b+2l),w_3=ma~2[2a~2+n(l+2n)][(l+n)~2(n+b)-a~2(b+2l+n)]≠0。由文献[2-4]我们仅需考虑n≠0情形,不失一般性,可设n-1,a>0。故我们可把方程(1)_(?)记为(1)_(1,0)。     

一类代数极限环个数的上界

对平面多项式系统,如果一极限环又是代数解的实闭分支,则称此极限环为代数极限环。这类极限环的个数问题迄今未有人研究过。本文应用代数几何的知识得到了下述初步结果: 定理对非退化的m次平面多项式系统,对应于只以通常二重点和尖点为其非光滑     

二次系统(Ⅲ)δ=-m的极限环(一)

考虑二次系统(Ⅲ)_(δ=-m,l=0)■不失一般性,其中巳取b=-1.本文假定n>1. 系统(1)最多存在四个奇点.当-2<δ<0时,O(0,0)为不稳定焦点,N(0,1/n)为鞍点.O与N均位于直线y=ax+1的下侧.当时(例如|δ|<<1),     

一类二次系统周期扰动的混沌性质

关于对周期受迫二维自治系统的解的混沌性质的研究,的方法是用分析方法作定量研究的少有的结果。近年来,Chow,Hale与Mallet-Paret,Keener分别用更替法与摄动法也导出了类似的结论。本文用上述方法讨论具有闭轨线的平面二次Hamilton系统。根据叶彦谦分类法,在两参数平面上将该系统归结为八种形式,我们给出无扰动系统的鞍点连线方程在鞍点是双曲的情形,计算函数,确定产生浑沌解的参数区域。     

一类平面二次系统的Poincaré分枝

如果二维单参数自治系统贵一P(一,,a,,一穿一。(x,,,·(l),当a~o时,存在一系充满某环域的周期环{尸},研究(1)。的Poincar还分枝,即由闭轨产生极限环的问题,归结为研究函数 A,(人)的零点个数及川砂(h)一手r*卜p一。。一。一。)二p(一!;(p·J十。、。)J!)1浮,的性质(见文献[1〕54).、了1、。、,非:。,卜/日。O尸二OQ、。、、、二,,、*、二八、。**。。**、,二二!kl/“日y几人之二,二月r口处全l七几协IJ只j二气沪一u尹”U,口习J、‘/乒戈川叫牟只夕J目U日习乃比,刁、J几二姆万力三云长岁纷. \ox oy/因此,即便对于二次微分系统,是否存在P…     

“以抛物线为特殊积分的二次系统的极限环”一文的注记

文献[1]研究了二次系统具有抛物线解时极限环的存在性问题,把所有有可能存在极限环时的此类系统分为以下两种形式(本文均按照原文记号),即     

一类平面E3的极限环

当p=q=r=s=0时,(1)式为文献[1]的二次微分系统的I类方程,并已证明:对于任意的a,l,n,I类方程至多有一个极限环;当l=m=n=0时,(1)式为文献[2]研究的平面三次系统,并利用二次型理论,Poincare-Bendixson定理,Levinson-Smith定理得出一系列结论.本文在更大的参数范围内得到(1)式存在极限环的充分条件.作地形系.当n~2 4s<0时,(3)式是一族包围原点的闭曲线;当n~2 4s≥0时,(3)式以P为分界线,当C>φ(k)时,λ(x,y)=c是一条围绕原点且包含Γ于其内部的闭曲线,当C<φ(k)时,λ(x.y)=c是由两个互不相交(可能重合)闭分枝组成,分别位于Γ内部.借助Poincar(?)-Bendixso定理和无穷远的方     

二次系统(Ⅲ)_(δ=-m)的极限环之唯一性问题

考虑二次系统(川)。二一一一y+占x(y一1)+l扩+n夕,夕~x(1+ax+by),(l)·X心f‘t其中0<,<1.不失一般性,取b一一1.注意到y~l为无切直线.令二~xl(l一yl),y~y:,dt~(l一y:)dt,,并仍以x、y、r记之,系统(1)化为分一一y+。y,+(l一y),[一占x+(l+1)犷+ax31-夕一(l一y),x(l+ax).(2) 定理1当a占(21一l))o时,系统(1)无环. 证取Dulae函数丑(,)~(1一y),‘一‘,对系统(z), (BpZ)二+(BQZ),一(1一y),‘+‘[一舀+a(l一21)x2],定理即可得证.1一zV不妨取.为研究系统(l)的极限环,仅需考虑“>0.不妨取a。,8>。,可作变换劣l~一苦,t:~一t.从而,不失一…