由一道三角函数证明题引起的思考

芜湖中专的一次数学统考中有一道证明题: 证明:(1+cos((3)/(2)π+x))/(1+cos((π)/(2)+x))=tan((π)/(4)+(x)/(2)) 通过试卷分析,发现学生中至少有十种不同的证法,现给出七种较典型的证法:     

关于一些Hermite-Fejer算子逼近度的注记

本文研究以Jacobi多项式的J_n(x)=sin(2n+1)/2θ/sinθ/2(x=cosθ,0≤θ≤π)的零点为基点的Hermite-Fejer插值过程H_(2n-1)(f,x).对于Lipα(0<α<1)类中函数,改进了[1]的结果:得到了H_(2n-1)(f,x)逼近有界变差函数的阶估计. 设函数f(x)∈C〔-1,1〕,x=cosθ(0≤θ≤π),J_n(x)是n阶Jacobi多项式,x_k=x_k~(n)=cosθk=cos(2kπ)/(2n+1)(k=1,2,…,n)是J_n(x)的零点,以{x_1,x_2,…,x_n}为基点的Hermite-Fejer插值算子是(见文〔1〕(4))     

三阶奇异周期边值问题的正解

用锥拉伸与锥压缩不动点定理讨论三阶微分方程周期边值问题u+ρ3u=f(t,u), 0＜t＜2π;u(i)(0)=u(i)(2π),i=0,1,2.正解的存在性,其中ρ∈0,(1)/(3)为常数,f在t=0,t=2π和u=0处有奇异性.     

槽型减摇水仓特性参数的理论估算和试验方法

国外有关研究认为:槽型减摇水舱由于缺乏足够的理论计算方法,因此减摇效果预报只能依靠试验。上海交大船池对槽型水舱进行了专门的试验研究。本文根据渡边惠弘、Goodrich、Lewison、Webster 等理论方法的特点,发展了槽型水舱的综合模型,求得了适用于各种尺度比例的周期公式,井初步建立了估算阻尼的理论方法:通过能量方程积分实现分布参数系统向集中参数系统的转换,从而确立阻尼系数和水舱几何尺度的数学关系。本文并力图给出完全的舱船系统简化横摇运动方程组(?)周期系数λ=(1 2r(s-b)(π/4 l/b)(π/B))~(1/2)阻尼系数W=(l r)/(2h_0)(π/(λcos(ω_0l)/(c_0))·(2r/B))~2[2(2.23b/r 1)1g(s/b 1/2)~2 1.5(s/b)~2]力矩系数M_t=2ρg(l r)[2rs(c_0)/(ω_0)(tg(ω_0l)/(c_0) yg(ω_0r)/(c_0)) b(Hh_0-(h_0~2)/2)cos(ω_0r)/(c_0)]为测定水舱特性参数,特别设计了强迫摇摆装置和动力衰减试验方法。试验结果和理论计算结果吻合。看来应用理论方法设计最佳槽型水舱并预报其减摇效果是完全可能的。     

用阿基米德滚刀加工渐开线齿形的原理误差计算

分析了阿基米德滚刀加工渐开线齿形的原理误差,推导出滚刀切削刃连续位置的包络线方程及齿形误差的计算式:θ=(nβ)/(Hcos αcos λ)r2sin2α+2r2ha+ha2-((ρnβ)/(Hcos αcos λ))2-1+cos-1((H)/(ρnβ)cos αcos λ)-α△fF=ρ{[(1)/(cos α)((nβ)/(Hcos λ)-(1)/(r2))r22sin2α+2r2ha+ha2]-[((ρnβ)/(Hcos αcos λ))2-1-((ρ)/(r2cos α))2-1]+[cos-1((H)/(ρnβ)cos αcos λ)-cos-1((r2cos α)/(ρ))]}所用的方法,也可用于其它齿形的范成法.     

具第二类Chebyshev节点的拟和扩充Hermite-Fejer插值算子的逼近度

设U_n(x)=(sin(n 1)θ)/(sinθ)(x=cosθ)是第二类Chebyshev多项式,b_k=b_k~(n)=cos((kπ)/(n 1))(k=1,2,……n)是U_n(x)的零点,以{-1,b_1……,b_n,1}为基点的2n 1次拟Hermite-Fejer插值多项式是     

關於富理埃級數的陳建功教授收斂判別法

§1.設f(t)是以2π为週期,依Lebesgue的意義是可積的週期函數,其富理埃极数为 a_0/2+sum from n=1 to ∞(a_n cos nt+b_n sin nt),(1) 它的共軛級數为 sum from n=1 to ∞(b_n cos nt-a_n sin nt)。(2)     

勒襄特多项式的推广

1.我们知道勒襄特多项式的拉伯拉斯第一积分为 P_n(z)=1/πz+(z~2-1)~(1/2)cosφ}dφ,(1.1) 这里(z~2-1)~(1/2)可取其中任意一支。因此有 P_n(z)=1/2π〔{z+(z~2-1)~(1/2)cosφ}~n+{z-(z~2-1)~(1/2)cosφ}~n〕dφ.(1.2) 于是定义 P_n(z,ω)=1/2π〔{z+(z~2-1)~(1/2)cosφ}~n+{z-(z~2-1)~(1/2)cosφ}~n〕dφ,0≤ω≤π;(1.3)     

驻波中的能量转换及传输

众所周知,两列频率相同、振动方向相同、而传播方向相反的简谐波迭加成为一般驻波y=y_1 y_2=A_1 cos(ωt kx) A_2 cosS(ωt-kx). (1)其中 k=2π/λ.当 A_1=A_2=A 时,则成为纯驻波y=Acos(ωt kx) Acos(ωt-kx)=2Acoskxcosωt. (2)一般驻波可以视为一纯驻波和一行波的迭加.如(1)式中,若 A_2>A_1,则可以写成     

富理埃級數的共軛級數的一個收斂條件

設f(t)是以2π为週期的,依Lebesgue的意義是可積的週期函數,其富理埃級數的共軛級數为 sum from n=1 to ∞(b_n cos nt-a_n sin nt)。(1) 記φ(t)=f(x+t)-f(x-t),設積分 g(x)=1/2πintegral from n=0 to π(φ(t)cot(t/2)dt) 依Canchy的意義存在,陳建功教授證明:假使     

带通信号的一阶抽样和精确恢复

本文以简明的方式导出了带通信号的一阶抽样频率,说明了若抽样频率为f_s,则精确恢复原信号的理想带通矩形滤波器的带宽是f_s/2.设带通信号的谱分量限制在f_1≤|f|≤f_1+W内,抽样频率在(2f_2)/m≤f_s≤(2f_1)/(m-1)(m是不大于f_2/W的正整数)内选择,则理想带通恢复滤波器的冲激响应是h(t)=T_s/πt[sin2πf_οt-sin2π(f_α-f_s/2)t]这里f_α=(m/2)f_s.当f_s=(4f_ο)/(2m-1)时,该滤波器对称于中心频率f_ο。     

一种季节性生物种群消长模型

在逻辑斯谛方程的基础上 ,考虑生态因子对生物种群生长过程的影响 ,提出一种季节性生物种群消长模型 ,即N( t) =[K( 1 f( t) ) ] /( 1 ea- rt)其中 f( t) =∑ hi · cos(αi ωi· t) ,为各种生态因子对环境容纳量 K值总的影响函数 .同时采用非线性最小二乘数值拟合法 ,对沈信毅的关于棉蚜、稻田中华按蚊幼虫季节消长实验数据进行了拟合 ,结果分别为N ( t) ={4 2 5 0 [1 1.0 cos( 6.5 3 0 .2 5 5 t] }/( 1 e0 .9- 0 .9)和N( t) ={2 3 0 [1 0 .8cos( -0 .10 0 0 .3 0 0 t) ] }/( 1 e2 .4- 0 .6 )与实测数据吻合很好 ,并且相关系数大于 0 .990 ,从而证明了模型的实用性 .     

关于代数数cosπ/m的次数问题

不算出cos(π/m)的值,直接根据整数m去计算cos(π/m)的次数是本文讨论的问题。我们将cos(π/m)的次数简记为R(π/m),如cos(π/6)=3~(1/3)/2是2次代数数,记为R(π/6)=2等     

车灯线光源的优化模型

设线光源的长度为2h,旋转抛物面的反射为全反射,反射光按扩展光源处理,即对可以反射到测试屏上B或C点的线光源区域按一定步长划分为有限个小点光源,再按点光源的反射照度公式计算B或C点的照度E i=(△I)/(r 2 i)cosα i(其中△I为点光源的功率,r i为投射距离,α i为投射光线对被照面法线的倾斜角),然后求和可得该线光源对B或C点的光照度E=∑niE i.根据题意可建立如下数学模型min h s.t. E c(h)=∑ni=1(△I)/(r 2 c i)cos α i E 0(h 1.56mm) E B(h)=∑ni=1(△I)/(r 2 b i)cos β i 2E 0(h 0.78mm)其中E 0为某一额定光照度 ,I =kh ( k 为比例常数), r b i,r c i ,α i,β i 均为h的函数.在假设E B(h)=2E c(h) 的条件下,用搜索法算出了模型的最优解2h min=3.84mm .最后对h min应用Matlab软件得出了测试屏反射光的亮区图.     

R1+3中球形非线性脉冲的聚焦分析

讨论了非线性波动方程((e)2t-Δx)uε+F((e)tuε|P-1(e)tuε)=0,(t,x)∈(0,∞)×R3,uε|t=0=εU0=εU0r,(r-r0)/(ε),(e)tuε|t=0=U1r,(r-r0)/(ε)在次临界情形下(即1＜p＜2时)所描述的球形脉冲波的解的误差分析,其中在F上是一致Lipschitiz的.在小初值情形下讨论了主轮廓(leading profiles)的局部存在性及解在焦点附近的渐近性态.     

对积分公式∫(1)/(a+bsinx)dx=(1)/(√b2-a2)ln|(atan(x)/(2)+b-(√b2-a2))/(atan(x)/(2)+b+(√b2-a2))|+C (b2＞a2)的改进

对《高等数学》积分公式表中的一个三角函数有理分式函数的积分公式进行了研究,指出了公式中存在的缺陷,并将公式改进为:∫(1)/(a bsinx)dx=(1)/(√b2-a2)ln|((√(b2-a2)-b a)cos(x)/(2) ((√b2-a2) b-a)sin(x)/(2)/((√b2-a2) b-a)cos(x)/(2) ((√b2-a2)-b a)sin(x)/(2)| C (b2＞a2).     

A. J. Penico积分的上下界

本文指出积分Φ(x,y)=1/2πintegral from 0 to 2π‖x cos t +y sin t ‖~2 dt在一些特殊的赋范线性空间的单位球面上可达到其上下确界,而在一致凸的Banach空间中的单位球面上却不能达到如[1]中所指出的上下界。     

李代数sl(2,(C))的仿射李代数的顶点算子表示和顶点代数模

根据 untwisted 和 twisted顶点算子张成的极大局部子空间能够定义顶点代数结构,考虑李代数s l(2,C)的仿射李代数的顶点算子表示V_Q, V_P,V_(P±(1)/(6)α1),发现 V_P,V_(P-(1)/(6)α1),V_(P+(1)/(6)α1)构成这些顶点代数的模,而这种顶点代数模结构可能在二维共形场论中有重要应用.     

抽象二级囿变函数的逼近性质

本文讨论抽象二级周期囿变函数的逼近性质。得到有抽象系数的三角多项式的Beinstein不等式。证明x(t)∈V_(2π)~(2)依多项式的逼近阶并且证明x∈V_(2π)~(2)的一个充分必要条件。     

改进的Hückel分子轨道方法——(Ⅲ)直链交替烯烃的MHMO计算

本文针对直链交替烯烃提出了一种改进的Huckel分子轨道方法。假定双键的共轭积分为β,单键的共轭积分为β’,其它Huckel假定不变。对于β’/β=η,提出了两个计算直链交链交替链烯的η的公式: η_1=0.7cosπ/(n_c+1)=0.7cosπ/(2n+1) η_2=0.75(n_c+7)/(n_c+9)=0.75(n+3.5)/(n+4.5) 利用两种η值,对n_c=4-50的直链交替烯烃进行了MHMO计算。予示了直链交替烯烃的最大吸收波长(或波数),与实验结果符合较好。与FEMO和HMO比较有非常明显的改进。考查了直链交替烯烃某些键的键级随碳原子数的变化,估计了直链交替烯烃的有关键长。