三角范畴的Recollement与Abel化

首先给出了加法范畴的Abel化与幂等完备化的关系,证明了加法范畴的幂等完备化范畴是其Abel化范畴的投射子范畴;在此基础上,证明了三角范畴recollement的Abel化是Abel范畴的右recollement。     

范畴的广义局部化

通过范畴的两个乘法系定义了右分式的一个等价关系,由此引入以原范畴对象为对象,右分式等价类为态射的范畴的广义局部化概念.最后证明加法范畴的广义局部化范畴仍然是加法范畴.     

拟Abel环

设R是一个环,M是双R-模.若对每个e∈E(R),有eR(1-e)Me=eM(1-e)Re=0,则称M为拟Abel模,这里E(R)表示R的幂等元集合.若R-双模R是拟Abel的,则称R为拟Abel环.证明了如下结果:①R为拟Abel环当且仅当对任意的a∈N(R),e∈E(R),ea=0蕴涵eRae=0,这里N(R)表示R的幂零元集合;②R为Abel环当且仅当R为幂零自反环和拟Abel环;③设σ为环R的环自同态映射且满足条件: e∈E(R),σ(e)=e,则R为拟Abel环当且仅当R(σ)为拟Abel模.     

Abel范畴的一种构造

利用一般范畴D构造了新范畴ID和PD,证明了若D是Abel范畴,则存在范畴ID到IopD的忠实函子,且ID也是Abel范畴.     

右正合范畴及其局部化范畴

引入右正合范畴的概念,并证明了右正合范畴的局部化范畴仍然是右正合范畴.同时证明了两类态射范畴是右正合范畴.     

关于模范畴的商范畴与局部化

通过构造范畴等价函子,证明了由正向极限定义的模范畴的商范畴与用分式等价类构成的局部化范畴是等价的.应用该方法,证明了Abel范畴与三角范畴中的相关结论.     

Abel范畴中的态射方程

讨论了以下问题：１）方程αχβ＝γ在其有解时的性质；２）方程组｛αχβ＝γ，σχτ＝ρ有解的充要条件及通解表达式；３）方程αψβ＋σψτ＝γ有解的充要条件及通解表达式。     

k上G-分次范畴的局部化

讨论k范畴,k上G-范畴,k上G-分次范畴在局部化下相应范畴的保持问题,考虑k上G-分次范畴的冲积范畴与局部化的关系,证明了[S-1]#G≌(#G)[S-1].     

导出等价与三角范畴的Abel化的一点注记

利用三角范畴的Abel化,引入有限维代数的Abel化等价以及二次导出等价的概念,证明了这2种新的等价与代数的导出等价是一致的.     

广义Comma范畴的局部化

借由两个函子诱导出广义Comma范畴,并找到该范畴中的局部类,从而建立局部化范畴.在此基础上,根据局部化范畴所对应标准函子的泛性得到的两个函子可诱导出另一个广义Comma范畴.最后证明该范畴与前面所建立的局部化范畴是等价的.     

加法范畴的推出范畴的幂等完备化

考虑加法范畴的推出范畴的幂等完备化与加法范畴幂等完备化的推出范畴的关系,进一步证明了Abel范畴的推出范畴的幂等完备化与Abel范畴幂等完备化的推出范畴等价。     

关于Abelian三角范畴的一个注记

主要证明如下结论:如果(C,T,Δ)是三角范畴,则C是Abelian范畴的充分且必要条件是C中三角是由同构于如下形式的态射图构成:U⊕V(00/01)→W⊕V(00/10)→T(U)⊕W(10/00)T(U)⊕T(V).由此得到:如果C是一个Abelian范畴,T是C上的可逆加法自函子,则有且仅有一种方式使(C,T)构成三角范畴.另外,还通过Abelian范畴C上的Serre类,研究局部化范畴C[S-1]是Abelian三角范畴的条件.     

加法范畴的极限范畴是加法范畴

讨论以范畴C中的极限为对象,极限态射为态射构成的极限范畴Cl.研究极限范畴的上积,并证明加法范畴的极限范畴仍为加法范畴.     

分块态射的广义逆

讨论了分块态射的Moore-Penrose逆,用不同与文[1]的方法给出了分块态射f=（u v）的Moore-Penrose逆表达式．这个表达式与Petr Peska（2000）给出的等价．     

弱加法范畴

以可换么半群范畴心和半模范畴sM为背景建立了弱加法范畴的概念,讨论了弱加法范畴中有限个对象上积的性质,给出了保持有限对象上积的函子的等价刻划,进而定义了弱加法范畴的理想和同余关系,以此建立了弱加法范畴的商和同态基本定理及第一、二同构定理,并讨论了同余的格和亚直积等,以上概念和结果是对加法范畴的实质性拓广,为探讨弱加法范畴的结构奠定了必要的基础．     

范畴的推出范畴与平凡扩张

研究Abel范畴的推出范畴与Abel范畴的平凡扩张的关系,证明了Abel范畴推出范畴的平凡扩张与Abel范畴平凡扩张的推出范畴同构.     

半群范畴

给出了半群范畴的概念,证明了半群范畴中积是存在的,并且半群范畴是具体范畴。