平稳时间序列AR(P)模型的判别

在资料〔1〕中,曾经讨论过已给一组有序的历史统计资料: (?)(1)如何判断它是平稳时间序列的一个现实的问题。但实际作时间序列统计预报时,常常用P阶自回归模型〔以下简称AR(p)模型〕来预报,即满足下面的随机差分方程的零均值的平稳时间序列:X(n)-sum from j=1 to p(b_j X(n-j)=N(n)) (2)其中N(n),n=0,±1,…为平稳白噪声,E|N(n)|~2(?)0,bj,j=1,2,…,p 为实数且6_p(?)0,p为正整数 (以下均假定有上述条件)。     

关于高阶ARMA模型的平稳可逆域

在实际问题中,时间序列的平稳域和可逆域是很重要的问题。然而,在资料〔1〕中仅对二阶模型给出了实参数的不等式形式的平稳可逆域。例如对AR(2)的平稳域,当 x_n-b_1x_(n-1)-b_2x_(n-2)=N_n其中N为平稳白噪声,且E|N|~2≠0时,其平稳域为: |b_2|<1,b_1 b_2<1,b_1-b_2<1。 (1)而对更高阶,〔1〕中未给出此种不等式形式,只指出其特征方程(?)     

关于平稳时间序列预报方法的两点注记

在应用平稳随机时间序列预报方法中,为检验实际序列是否满足平稳性,需要验明相关矩阵的正定性.本文就判定一个矩阵的正定性提供一个简明的充分条件,它便于实际应用.当所得时间序列不满足平稳性时,本文通过讨论得出;宜于用自相关拟合函数,而不宜对序列加以通常的处理后再用平稳法.平稳随机时间序列预报方法是气象和水文等预报中的一种常用方法.但实际出现的时间序列是否满足平稳性是需要事先进行检验的,否则预报结果可能与实际情况有较大的出入.检验实际序列是否满足平稳性,需要验证相关矩阵的正定性.本文就判定一个矩阵的正定性提供一个简明的充分条件,它在实际中便于使用.当所得时间序列不满足平稳性时,通常采取先除去长期趋势,再除去周期而把余项作为平稳时间序列处理.本文通过讨论得出;这几种处理方法的最终结果是自相关的特例,就计算量看,与直接用自相关求预报方程的计算量差不多,因此这时宜于用自相关拟合线性函数,而不宜对序列加以处理后再用平稳法.     

任意区间上连续函数的最大(小)值的一个充要条件

在《数学分析》中关于一元函数的最大(小)值问题,对闭区间上的连续函数有一个较简单的算法,但对开区间区的连续函数仅谈了一个开区间的可导函数在具有唯一驻点时判别它是否是取得最大(小)值点的一个方法(见参考文献[1],[2],[3],[4])。这个方法通常被称为“单峰,单谷定理”,本文以明确形式归纳为推论1。本文定理一将其推广到较为一般的形式。在此基础上本文定理二给出了“开区间上的连续函数在具有唯一极值备选点时,具有最大(小)值的充分必要条件”。这是本文的主要结果。设 f(x)在(a,b)内连续,而在(a,b)\{c},a0这个定理给出了任意区间的连续函数在具有唯一极值备选点时求函数最大或最小值的一个相当简单的算法(推论2)(如文中例题所示)。     

判断函数组线性无关的一个充要条件

在常微分方程的高阶方程求解过程中,为判断一解能否为其通解,常需讨论一组解函数的线性相关性.函数组的线性相关性是这样定义的:定义:设函数x_1(t),x_2(t),…x_n(t)是定义在区间〔a,b〕上,如果存在不全为零的常数λ_1,λ_2,…λ_n,使得(?)t∈〔a,b〕有:λ_1x_1(t) λ_2x_2(t) … λ_nx_n(t)=0则称x_1(t),x_2(t),…x_(t)在区间〔a,b〕上线性相关;否则,就称它们在〔a,b〕上线性无关.     

限定取正整数的定和最大积问题

我们知道,在“极大极小”问题中有一个重要定理,就是 n个正数x_1,x_2,…,x_n,其和 sum from i=1 to n(x_i)=L是一个定值,则当x_1=x_2=…=x_n=L/n时,其积multiply from i=1 to n(x_i)最大。如果限定x_1,x_2,…,x_n取正整数,结果怎样呢?就是说,n个正整数其和一定,什么时候它们的乘积最大?本文就介绍这个问题。先介绍二个符号。符号〔x〕表示不超过x的最大整数部份。例如,〔π〕=3,〔16/3〕=5,〔-2~(1/2)=-2,〔4〕=4。符号{x}表示不小于x的最小整数部份。例如,{π}=4,     

一个复合泊松逼近定理的证明

设{x_(n_i):i=1,2,…,n}是独立的随机变量序列,Y是恰当选择的复合泊松随机变量。Y.H.wang在文〔1〕中利用概率论中的连续性定理,在宽松的条件下证明了。笔者在文〔1〕的条件下,用一个直观的方法证明了Wang的结果。通过证明过程可以清楚地看到,当{x_(n_i)}从贝努里随机变量扩展到非负整值随机变量时,的极限分布是怎样从泊松分布扩展到复合泊松分布。     

关于交换映射的几个公共不动点定理

文〔1〕对于交换映射给出了一些较一般的公共不动点定理,本文的目的是将〔1〕中的主要结果加以推广,从而使得〔2—3〕中的许多重要结果得到进一步的统一和推广。在本文中,N,ω和R_ 分别表示自然数集,非负整数集和非负实数集,并将沿用〔11〕中关于L—空间(X,→)的某些术语。特别,映射f:(X,→)→(X′,→′)称为是连续的,是指序列{x_n}_(n∈)(?)X,x_n→x∈X 蕴涵对{(x_n}_(nω)的某一子序列{x_(n_1)}_(iω)有f(x_(n_i))→′f(x)。对于连续     

关于周期外推法

用“周期外推法”制作预报在水文、气象等方面有着广泛的应用,资料[1]、[2]介绍了用方差分析观点建立的“周期外推法”,它较好地解决了决定时间序列 X:x_1,x_2,…,x_n (1)的“单周期”的长度及振幅问题。但是对于“双周期”或”多周期”仍用方差分析的观点便难于推广。文[2]把多周期当成若干个单周期来对待,这在理论上是不能令人满意的。由于这个缺点导致文[2]在建新列时没有注意到新列(余波)的自由度已有变化,仍沿原时间序列的自由度而产生错误。在该文所举实例中对九十三年资料引入了长度为2,22,23,35,43,47等六个周期。由于引入的周期过多过长,这个预报的实际自由度变为负(详见本文(二)2,及(三),5)。自由变≤0的预报是没有意义的,就如同对九十三年资料拟合一个时间t的92     

关于相关数列极限的注记

设 k 为某一自然数,数列{x}、{y}当n>k 时满足y_n=C_0x_n+C_1x_(n-1)+…+C(?),则称{y_n}为{x_n}的相关数列.设 g_1(t),g_2(t),…,g(t)在 u(t_0)内严格单调且连续,g(t_0)=x_0,i=1,2,…,k.g_i(t)的反函数为 g~(-1)(x),它在 u(x_0)内严格单调且连续,g~(-1)(x_0)=t_0,i=1,2,…,k设F(t)=C_1f〔g_1(t)〕+C_2f〔g_2(t)〕+…+Cf〔g(t)〕,且存在 l,1≤l≤k,使|C_1|>(?)|C_i|.     

环境温度影响下基于频率协整的在线损伤识别

频率作为结构损伤特征参数,在实际工程中容易测得且具有较高的测量精度,但同时也常常受到外界环境和运营条件变化的影响,导致在时间序列上的非平稳,给实际工程的健康监测和损伤判别带来了干扰.为解决此问题,引入计量经济学的协整概念,通过非平稳序列的线性组合得到平稳序列,将因环境因素变化导致的结构特征参数非平稳问题转化为平稳问题.首先,详细介绍了ADF(augmented Dickey-Fuller)检验和EG(Engle-Granger)两步法检验,检验结构特征参数的非平稳阶数并计算协整系数;然后,以一个简支梁为例验证了结构频率序列之间的协整关系,给出了环境温度影响下基于频率协整的在线损伤识别步骤;最后,用预应力钢筋混凝土梁与钢桁架简支桥的算例验证了所提方法的有效性和鲁棒性.     

Jensen不等式及其应用

在[1]中介绍了“逆向归纳法”,并用它证明了算术平均值与几何平均值不等式.本文还利用它来证明 Jensen 不等式,并给出一些应用.定理如果对任何两个 x_1,x_2∈〔a_1b〕,有     

平稳时间序列线性预报的开立方改造问题

我们知道,当平稳时间序列服从正态分布时,线性预报模式是所有可能预报模式中最优的。为了使序列服从正态分布,常用数据变换方法。在用平稳时间序列方法开展气象、水文,地震预报中,资料[1], [2]中部曾对原始数据开立方处理,再按通常平稳时间序列方法计算,并将结果三次方后预报。这种处理的目的,若从改善序列的正态分布性质来说,本文将在(一)中举出反例,说明开立方后,在 x~2一分布检验下并不一定改善正态分布。同时在(二)中证明开立方后的平稳时间序列预报的误差一般反而较大。最后在(三)中计算出使数据变换后为正态分布时,原数据的数学期望和方差。     

函数空间L〔0,∞)中的概率测度序列的紧性

在(1)中,P.Billingsley给出了C〔0,1〕和D〔0,1〕中的概率测度序列的紧性准则。W.Whitt(2)将C〔0,1〕的某些结果推广到了C〔0,∞),得到了相应结论。这里考虑L〔0,∞)中的概率测度序列的紧性条件,以及子空间M〔0,∞)中概率测度的弱收敛。     

建筑物沉降的时间序列分析与预报

首先对建筑物沉降数据序列进行了平稳化处理,然后研究了平稳化序列的建模和预报方法,最后结合建筑物沉降监测的具体实例进行了时间序列的分析与预报.结果表明:将时间序列分析方法应用于建筑物沉降监测,具有建模容易、计算简单、预报快速的特点;时间序列分析方法对建筑物沉降具有较高的模型拟合及预报精度,尤其是短期预报,效果更佳;应尽量避免使用时间序列进行中长期预报,要根据实测数据对所建模型进行实时更新.     

有限Fuzzy集的熵的另一种定义

本文普遍设K={x_1,x_2,…,x_(?)}为有限集,(X)是X 上全体Fuzzy 子集的集合族,即(X)=〔0,1〕~(?)。又记R~ 为非负实数集。熵在信息论中是用来描述试验结果的不确定性的大小。这里,Fuzzy 集f 的熵是Fuzzy 子集f:X→〔0,1〕的Fuzzy 程度在数量上的一种表示,也即Fuzzy 集的“不确定性”在整体上的一种度量。这种“不确定性”与经典数学中随机事件的不确定性,在意义上是不同的。     

关于全微分方程

对于三个自变量的全微分方程,文〔1〕曾从场论的观点进行了讨论.本文对 n(n≥2)个自变量的全微分方程作了进一步的讨论,得到了全微分方程判别的充要条件,并给出了求解公式.设Ω是 R 中的单连通区域,且函数 p_i(x_1,x_2,…,x),(i=1,2,…,n)在Ω上具有一阶连续偏导数.若存在Ω上具有直到二阶连续偏导数的函数u(x_1,…,x)使得其全微分为 du=p_1dx_1+p_2dx_2+…+pdx,则称方程p_1dx_1+lp_2dx_2+…+p dx=0 (1)为Ω上的全微分方程.     

局部凸空间中非线性压缩半群的收敛性

<正> Trotter〔1〕曾研究了线性算子半群数列的收敛问题。后来T.kato把Trotter的一个定理扩充到局部凸的拓扑线性空间(见〔2〕,P.269),另一些作者对局部凸空间中线性算子半群叙列的收敛问题也有过研究(参看〔3〕,〔4〕),Brezis-pazy〔6〕研究了Hilbert空间中非线性压缩半群叙列的收敛问题(见〔6〕,定理3.3及推论3.1),其处理方法仅限于使用在Hilbert空间的场合,本文考虑了局部凸空间中非线性压缩半群叙列的收敛问题,文中的主要结果是§2中的定理1、2、3。定理1把Trotter-Kato定理(见〔2〕,P.269)扩充到非线性的情形,同时也把〔6〕、〔7〕和〔9〕中的某些结果扩充到局部凸的拓扑线性空间;而定理2和定理3则是把Trotter的另一定理(见〔1〕,定理5.2)扩充到局部凸空间非线性的情形。     

Hamilton群环

每一个子群(子圈)都是正规子群(子圈)的(不可换)群(圈)叫做Hami lton群(圈),记作H-群(圈),它们的结构分别在〔3〕、〔4〕中解决了.每一子代数都是理想(左理想)的代数叫做H(左H)一代数.刘绍学教授在〔1〕、〔2〕中完全刻化了H-Joran代数,H(左H)-交错代数的结构.每一个子环都是理想的环叫做Hamilton环记作H-环,它的结构已讨论的较多了(参看:谢帮杰:“抽象代数”书后参考文献〔35〕-〔39〕).本文,研究Hamilton群环.设R是有1的结合环.G是群,用R(G)表示R,G的群环.     

压缩映象原理对求极限的应用

在数学分析中,常常给出序列如:x_1,x_2,…,x_n,x_(n 1)~-… (1)并且存在一个函数(?)(x),使x_(n 1)~-=(?)(x_n)=1,2,… (2)[或 x_n=(?)(x_(n 1~-) n=1,2,… (2’)]成立.要求序列(1)的极限.形如这样的问题,一般数学分析中介绍了许多方法,本文试图利用压缩映象原理来求这一类极限.