KdV方程与Burgers方程的精确解

利用试探函数法,将非线性偏微分方程转化为一个易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,简洁地求得了一类非线性偏微分方程的精确解,并将此方法应用到KdV方程和Burgers方程.     

利用试探函数法求耦合KdV方程组的精确解

通过引入一个变换和选择准确的试探函数,可以将非线性偏微分方程组化为一组易于求解的代数方程组,然后用待定系数法确定相应的系数,从而得到其精确解.将谢元喜(湖南理工学院学报:自然科学版,2011,24(4):12-15.)提出的试探函数进行改进,利用两种不同的试探函数,并把它用于求解非线性数学物理中一个非常著名的非线性偏微分方程组——耦合KdV方程组,从而得到了耦合KdV方程组的新显式精确解,其中包括一般形式的指数函数解、sech2型钟状正则孤波解和csch2型奇异行波解,此方法也可用于求其他非线性偏微分方程组的精确解.     

Burgers方程的直接解法（简报）

寻求非线性偏微分方程的精确解一直是一个重要的研究课题.目前虽然已经提出了许多方法, 但依然还有很多工作要做. 作为一种有益的探索，文献［9］基于Hopf-Cole变换法和试探函数法的基本思想求得了一类非线性偏微分方程的精确解.文献［10］利用文献［9］中所引入的一个变换给出了Burgers方程的一种直接求解方法. 本文在文献［10］的基础上，继续求解该文中所导出的一个非线性常微分方程，进一步求出Burgers方程的许多精确解.     

一种变换型试探函数法的扩展与组合Kdv方程新的显示精确解

将文已有的求解非线性偏微分方程的试探函数法进行了一定的扩展,并将此方法应用于组合Kdv方程,简洁地求得了组合Kdv方程多个新的显示精确解,其中包括一般形式的行波解、奇异行波解、孤波解、有理函数解和三角函数解.     

非线性圆杆波导波动方程的显式精确解

对计入横向惯性效应后的非线性弹性圆杆波导纵向波动方程进行了分析。 通过引入试探函数, 把难于求解的非线性偏微分方程化为易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,从而简洁地求得了方程的精确解。     

简洁地求一类非线性偏微分方程的特解

巧妙地引入一个变换，并将其中的试探函数表示为双曲正、余弦函数的形式，只需进行简单的求偏导数运算，就可将难于求解的非线性偏微分方程化为易于求解的代数方程，然后用待定系数法确定相应的常数，最后得到了一类非线性偏微分方程的某些特解，所得结果与已有结果完全吻合．不难看出，这种方法特别简洁．本方法可望进一步推广用于求解其他非线性偏微分方程．     

一类非线性反应一扩散方程丰富的显式精确解

借助于作者最近开发的求解非线性偏微分方程精确解的符号计算软件包——PDEsolver,获得了一类非线性反应一扩散方程丰富的显式精确解．WAZWAZ获得的所有解为本文一些解的特例．另外还获得了许多其他新的显式精确解．结果表明,扩展双曲函数方法是WAZWAZ所提扩展双曲正切方法的改进和推广．扩展双曲函数方法提供了精确求解非线性偏微分方程的有效方法．     

简洁地求一类非线性偏微分方程的特解

通过巧妙地引入一个变换,并将其中的试探函数表示为双曲正、余弦函数的形式,只需进行简单的求偏导数运算,就可将难于求解的非线性偏微分方程化为易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,最后得到了一类非线性偏微分方程的某些特解,所得结果与已有结果完全吻合。不难看出,这种方法特别简洁。本方法可望进一步推广用于求解其它非线性偏微分方程。     

高阶广义变系数KdV方程的精确解

通过引入一个变换和选准试探函数,将非线性变系数偏微分方程转化为代数方程,然后用待定系数法确定相应的系数,从而得到方程的精确解。本文研究第二类变系数KdV方程,并求出它们的精确解,在物理和工程方面都有一定的应用,并且间接证明了精确解的存在。显然这种方法也还适合求解其他变系数非线性偏微分方程的解。     

两类变系数KdV方程的新精确孤波解

通过试探方法得到辅助常微分方程的一些新的孤波解.利用该方程及其解,采用改进的tanh函数展开法研究了第1类和第2类变系数KdV方程,获得了在一定条件下的若干新精确孤波解.该方法也适合求解其他变系数非线性偏微分方程的孤波解.     

积分微分KP层次方程的精确行波解

对KP层次方程进行积分变换和行波变换得到常微分方程,利用扩展试验方程法把求解常微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题,根据不同情况得到了KP层次方程的钟状解、三角函数解、双曲函数解和椭圆函数解的精确表达式,这些解的显示表达式是首次求出的.这种方法对于求解非线性偏微分方程十分有效并且能够得到许多新的精确解.     

非线性长波方程新的复合型精确解

在齐次平衡法和辅助方程法的基础上,引入两种函数变换,把二阶线性偏微分方程转化为二阶常系数线性常微分方程,并通过讨论常微分方程的解来构造一些非线性发展方程的精确解.借助符号计算系统Math-ematica,构造了非线性长波方程新的复合型精确解,验证了方法的有效性.     

非线性时滞积分不等式的推广

欧阳型不等式在常微分方程、偏微分方程及差分方程的定性、稳定性理论的研究中是一个强有力的工具.许多学者对欧阳不等式进行了各种形式的推广和改进.文章利用辅助函数法,在已有的非线性时滞积分不等式的基础上添加非常数的系数,且将原来的单变元推广到n个无关变元,建立了带有时滞的关于n个无关变元的欧阳型非线性积分不等式,此结果在本质上推广了已有的相关结果,在研究微分方程定性理论中起着重要作用.     

环形薄圆板的非线性振动分析

为研究环形薄圆板非线性振动特性，用伽辽金法消除动态卡门偏微分方程的残值，推导出了环形薄圆板的受迫振动控制方程，即硬弹簧型达芬方程；用KBM法求解达芬方程，定性地探讨了边界条件、阻尼比、外激振力和内外半径比对环形薄圆板振动的影响，得到了4种边界条件下共振时激起的振幅均随半径比或阻尼比的增大而减少的结论；取外激振力作为控制参数，进行理论分析和数值仿真，发现随着外激振力的增大，动力系统从围绕1个焦点的周期运动转变成围绕2个焦点的周期运动．结果表明非齐次项(即外激振力项)不会导致动力系统不稳定．     

正交异性极扁薄壳的几何非线性分析

本文用最小二乘配置法求解正交异性极扁薄壳承受横向载荷作用下几何非线性弯曲问题。由于所设之应力函数和位移函数均能满足边界条件,且具有正交性,故而使大挠度极扁薄壳的控制方程组化为一组包含待定常数的非线性代数方程组,通过逐步接近的方法,求出待定常数,从而求得壳体的挠度、中曲面的应力、力矩等值。其代表点挠度与实验结果基本吻合。     

螺旋槽干气密封稳态微尺度流动场的动压计算

从N-S方程出发,推导了螺旋槽内稳态微尺度流动场的非线性雷诺方程.应用PH线性化方法,将非线性偏微分方程转化为线性偏微分方程,引入复函数将复常数偏微分方程变为两个线性实常数微分方程组,并采用小参数迭代法进行求解,近似求得了螺旋槽内气体动压分布的解析解.与相应的实验数据对比,计算结果和实验结果基本符合,为有类似几何参数的干气密封的优化设计提供了参考.