完备黎曼流形上的Jacobi场

证明了在具非负曲率完备黎曼流形上，沿无共轭点测地线的正常平行向量场必为Ｊａ－ｃｏｂｉ场．     

关于Grassmann流形G2（n＋2）上测地线的一些性质

本文首先针对一类Ｇｒａｓｓｍａｎｎ流形Ｇ２（ｎ＋２），给出它的一种几何实现Ｇ１（ｓｎ＋１），即单位球面Ｓｎ＋１Ｒｎ＋２上的全体大圆所构成的流形．证明了它们之间是等距微分同胚的．同时利用Ｙ．Ｃ．Ｗａｎｇ关于一般Ｇｒａｓｓｍａｎｎ流形上微分几何的研究结果，在Ｇ１（Ｓｎ＋１）上证明了测地线的一些更具体的性质．这些结果都具有非常直观的几何意义．     

关于黎曼几何若干问题

总结了完备黎曼流形上完备的无共轭点测地线所隐含的几何性质、完备非紧具非负曲率黎曼流形的几何结构、完备非紧具非负Ricci曲率黎曼流形的几何拓扑性质以及完备非紧黎曼流形上的Busemann函数所隐含的几何拓扑性质,并提出了一些未解决的问题．     

局部对称空间上的闭测地线

讨论了曲率定号的完备黎曼流形上的平行向量场与Jacobi场之间的关系；证明了紧致的偶数维具非负曲率的非单连通局部对称空间上存在无穷多条长度一样的闭测地线．     

曲面F（x，y，z）=O的若干公式

导出了由隐式方程F(x，y，z)=0确定的曲面上的渐近曲线，曲率线和测地线的微分方程及曲面的几种曲率公式．     

特殊曲面上测地线的几何特征

文章具体刻画了柱面、锥面、旋转曲面上测地线的几何特征,所得结果一方面匡正了某些文献关于锥面上测地线的错误断言,一方面推广了现有文献关于旋转曲面上测地线几何性质的描述。     

完备黎曼流形的几何性质

利用Ｊａｃｏｂｉ场，Ｒａｕｃｈ比较定理，核心等概念和定理讨论了完备黎曼流形的若干几何性质。     

李群上Jacobi场的讨论

本文对具有黎曼度量的李群，证明了其上的等距映射诱导的光滑向量场沿测地线是Jacobi场，并对此Jacobi场的性质进行了讨论。     

正定Hermite矩阵流形上代数Lyapunov方程的信息几何算法

对于正定Hermite矩阵流形上的代数Lyapunov方程 A H X + XA + P =0, 基于流形的黎曼几何结构, 作者以矩阵- A H X + XA 和 P 之间的测地距离为目标函数, 提出了代数Lyapunov方程数值解的信息几何算法. 最后,给出了正定Hermite矩阵流形上的代数Lyapunov方程的数值模拟结果.      

信息几何研究进展

随着人工智能的不断深入,基于欧氏框架的数学理论无法有效地解决信息领域中的一些非线性和随机性问题,而信息几何是解决非线性和随机性问题的有效工具。基于黎曼几何的信息几何由于其在统计推断、信号处理、图像处理、神经网络、机器学习等领域的广泛应用,受到了人们的关注,成为热门的研究领域。经过几十年的发展,信息几何已经从最初鲜为人知的领域发展成为研究非线性、随机性复杂信息的重要工具。将对信息几何研究进展做一个综述。首先介绍信息几何的理论框架,包括对偶联络、流形上的测地距离、以及黎曼梯度等,然后简要介绍信息几何在统计推断、神经网络、控制系统领域、信号处理、机器学习等领域的应用,最后介绍信息几何的展望,期望对信息几何感兴趣的学者有所帮助。通过该综述,读者可以了解到信息几何的基本理论框架,了解到信息几何的重要应用场景,为解决信息领域中的瓶颈问题提供一定的启发。     

第一类超Cartan域上的几何性质

给出了第一类超Cartan域上在Bergman度量下的Ricci曲率和纯量曲率及其边界性质.     

曲面的基本方程的作用

考虑曲面的基本方程的应用问题.指出了曲面的基本方程在推导面积极小曲面的性质、推导测地曲率计算公式、推导测地线方程、推导测地挠率计算公式所起到的统一的方法作用.     

Riccati方程的几何求解方法

本文首先介绍线性系统的最优控制概念,引入经典的Riccati方程.之后,在4种不同的黎曼度量下给出正定矩阵流形上的测地距离.最后,利用几何方法求出对应的黎曼梯度,给出了关于测地距离的求解Riccati方程的迭代公式.     

高斯—波涅公式的应用

考虑曲面上高斯—波涅公式的应用问题,对有关结果给予直接的证明,并列举了一些实例.     

深度神经网络内部迁移的信息几何度量分析

使用深度神经网络处理计算机视觉问题时,在新任务数据量较少情况下,往往会采用已在大数据集上训练好的模型权值作为新任务的初始权值进行训练,这种训练方式最终得到的模型泛化能力更好.对此现象,传统解释大多只是基于直觉分析而缺少合理的数学推导.本文将深度神经网络这种网络结构不变下层间的学习转为深度神经网络内部的迁移能力,并将学习过程变化形式化到数学表达式.考虑数据集对训练过程带来的影响,利用信息几何分析方法,确定不同数据集流形之上的度量和联络,实现不同数据集之间的嵌入映射,同时将参数空间的变化也放入流形空间,探究其对学习过程的共同影响,最终实现对这种内部迁移现象的数学解释.经过分析和实验验证可得内部迁移过程其实是一种能使网络可以在更广空间进行最优搜索的变化,有利于模型可以在学习过程中获得相对的更优解.     

既有空间结构位形推算的随机偏差方法

根据未测节点空间位置的不确定性和随机分布特性,提出了结构位形推算的随机偏差方法.结合空间结构特点,给出随机偏差方法的抽样测点选取原则和最小样本容量确定方法.基于概率论及数理统计理论,给出随机偏差方法的偏差分布推断方法.引入先验信息概念,基于贝叶斯统计理论,给出有先验信息条件下的参数推断方法.对实际网壳结构采用该随机偏差方法推算结构实际位形,并进行整体稳定性分析,结果表明基于随机偏差方法的鉴定分析结果更符合实际.     

球面子流形的球面定理

研究单位球面 Sn+k中紧致可定向子流形 Mn 同胚于球面 Sn 的充分条件,一是在子流形维数n 为偶数维的情形下给出一个有关 Ricci 曲率与平均曲率向量模长之间的不等式;另一个是 Mn 在为极小子流形时给出一个有关 Ricci 曲率和数量曲率的下界.并说明了该文结论的意义.     

Jacobi椭圆函数新的展开法对非线性耦合标量场方程双周期解的求解

推广了Jacobj椭圆函数展开方法，引入Jacobi椭圆函数的负幂次展开，研究了非线性耦合标量场方程组的求解问题，得到了新的非线性耦合标量场方程组的双周期解。