实对称矩阵正交相似对角化的教学研究

在实对称矩阵正交相似对角化过程中,如果特征方程有重根,需要通过施密特正交化方法求出正交的特征向量组.施密特正交化是学生较难掌握的知识点,针对三阶方阵与四阶方阵,利用向量积和行列式的展开定理等理论,提出了求解特征子空间正交基的一种简便方法.     

关于正规矩阵的判定

对角矩阵、Hermite矩阵、反Hermite矩阵、酉矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵都是正规矩阵,所以正规矩阵作为一个更为广泛的矩阵类,有必要对它的判定条件进一步研究.由正规矩阵的定义、矩阵对角化、特征值与特征向量、矩阵实部和虚部、矩阵分解、谱分解等方面给出了正规矩阵的一些判定条件.     

二次型矩阵的特征值与单位正交特征向量组的几何意义

二次型的规范形是唯一的,这是由二次型本身的表达式所决定,而二次型的表达式取决于二次型系数所对应的实对称矩阵,主要探讨和解决了二次型矩阵的特征值与单位正交特征向量组的几何意义问题.     

亚正定矩阵行列式的几个不等式

本文给出了几个矩阵行列式的不等式,其中有正定矩阵行列式的上界,两个正定（实对称）阵Kronecker积的行列式的上界,正定矩阵和亚半正定矩阵和的行列式的下界,两个亚正定矩阵和的行列式的下界等．     

三对角矩阵约束四元数Lyapunov方程问题研究

利用四元数矩阵实表示和三对角矩阵的特征结构,借助Kronecker积,将约束四元数Lyapunov方程A~*X+XA=C转化为实域上无约束方程,得到该方程具有三对角和自共轭三对角矩阵解的充要条件及其通解表达式。在相关解集合中,获得与预先给定的三对角四元数矩阵有极小Frobenius范数的最佳逼近解。     

关于一类矩阵特征值的扰动

讨论可对角化矩阵和可对称化矩阵特征值的扰动,推广了参考文献[6]中某个结果并改进了参考文献[2～5]中的相应结果.     

非对称箭状矩阵特征问题的求解

本文给出一种求解非对称箭状矩阵特征问题的数值方法,它推广了D．P．O’Leary和G W .Stewart关于对称箭状矩阵的结果．同时本文还考虑了求此类矩阵全部特征值以及相应的特征向量的一种计算公式．舍入误差分析表明本文的方法是向后稳定的     

二阶动力学系统部分特征结构配置设计的完全参数化方法

考虑了一类二阶动力学系统的部分特征结构配置问题,其目的是设计比例加微分状态反馈律,该控制律只配置开环系统的部分特征值及其特征向量,而保持其余特征值及其特征向量不变.在可控条件下,给出了状态反馈增益阵和闭环系统部分特征向量矩阵的一种简单、完全参数化表达式,其所含自由参数向量和待配置的特征值均可看作该方法提供的设计自由度.该参数化方法直接基于原系统矩阵,故其简单性为系统设计提供了便利.数值例子表明了所提部分特征结构配置参数化方法的有效性.     

利用n次单位根解决循环矩阵问题

利用n次单位根,结合基本循环矩阵,研究了循环矩阵的特征值、特征向量求解、对角化以及逆矩阵求解问题,进一步丰富了循环矩阵的相关理论.     

实对称矩阵正定性的判定

正定矩阵是一类重要的矩阵,正定矩阵的判定又是正定矩阵讨论的重要内容,文中给出了五种判断实对称矩阵正定的方法.     

关于实对称矩阵惯性定理的新证明

由实对称矩阵与实二次型的联系,巧妙地选取两组等价向量代入实二次型。依据结果及向量组的性质给出惯性定理的证明,简明清晰。     

对称矩阵空间上秩1非增长的加法映射

刻划了特征不为2及3的域上所有从一个第二对称积空间到另一个的保形如λu·u(u是向量且λ是纯量)的可分解元素的加法映射.     

实幂等阵成为对称阵的广义逆条件

利用M-P逆得到了实幂等阵成为对称阵的几个等价条件,所得结果对于进一步研究M-P逆和对称阵是方便的.对于代数的深入教学有一定的意义.     

惯性张量矩阵表示方法的讨论

本通过无限小变换，把向量叉乘转换为矩阵运算，在引入向量的相伴距阵表示的基础上，给出二重向量叉乘的转换式，最后得到惯性张量的矩阵表达式。     

矩阵空间上秩加性的加法保持

设IF是域,V是或者域IF上所有m×n矩阵的空间或者是特征不为2及3的域IF上所有n×n对称矩阵的空间.对于每个被固定的正整数s≥2,Qs定义V×V中满足rank(A+B)=rank(A)+rank(B)≤s的所有矩阵对(A,B)的集合.刻划了V上满足ψ(Qs)(∈)Qs的加法映射ψ.当charIF≠2时,也描述了IF上从n×n矩阵空间到p×q矩阵空间保秩加性的线性算子的结构.     

U-亚次正交矩阵的若干性质

在亚次正交矩阵定义的基础上,对U-亚次正交矩阵的性质进行了研究,得到了关于U-亚次正交矩阵特征值、迹、乘积、可交换等一些新的结果.     

特征值在高等代数中的作用

以高等代数中的定义、定理和例题为依据,论述了特征值具有化繁为简的作用,它还是实对称矩阵和二次型的本质所在.特别地,它是解决许多代数问题的重要工具.     

带Wilkinson位移的QL方法的总体收敛性的新证明

很多实际问题,如求结构振动的固有频率,动力系统稳定性的临界值等常常归结为计算对称矩阵的特征值,而首选的计算方法是先把该矩阵正交相似变换成一个对称三对角矩阵,再对这个对称三对角矩阵用带位移的QR(QL)方法.1968年J.H.Wilkinson给出对称三对角矩阵带位移的QR方法的第一个总体收敛定理,他证明了带Wilkinson位移的QR方法的总体收敛性,这是QR(QL)方法的理论基础,但他的证明太复杂.1978年W.Hoffman和B.N.Parlett又给出一个新证明,这是一个很精彩的证明,但也不是很简单.在此给出一简单而初等的证明,很适宜放在教材中.