A Geometric Approach to Global Stability for a Class of Predator—Prey Model

Ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｍｏｄｅｌｉｎｎｏｎｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｆｏｒｍａｓｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ,ｗｈｉｃｈｉｓｃｏｎｃｅｒｎｅｄｉｎ [1] ｘ =ｘ(1-ｘ) - ｐ(ｘ) ｙ+ｂ∫+∞0 ｆ(ｓ) ｙ(ｔ-ｓ)ｄｓ ｙ =ｙ(δ- βｙｘ)ｘ(0 ) >0 ,ｙ(0 ) >0　　Ｗｅａｐｐｌｙａｎｏｖｅｌｍｅｔｈｏｄｆｏｒｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅｇｌｏｂａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙ .ＬｅｔＸ→ ｆ(Ｘ) ∈ＲｎｂｅａＣ1ｆｕｎｃｔｉｏｎｆｏｒＸｉｎａｎｏｐｅｎｓｅｔＤ Ｒｎ.Ｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ Ｘ =ｆ(Ｘ) (1.1…     

关于乘积空间上的Marcinkiewicz积分

该文给出了如下定义乘积空间Ｒｎ×Ｒｍ上一类带粗糙核的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子μΩ，ｂ（ｆ）的Ｌ２（Ｒｎ×Ｒｍ）有界性：μΩ，ｂ（ｆ）（ｘ，ｙ）＝（∫∞０∫∞０｜Ｆｂ，ｔ，ｓ（ｘ，ｙ）｜２ｄｔｄｓｔ３ｓ３）１／２，这里，Ｆｂ，ｔ，ｓ（ｘ，ｙ）＝｜ｘ－ｕ｜≤ｔ｜ｙ－ｖ｜≤ｓΩ（ｘ－ｕ，ｙ－ｖ）ｂ（｜ｘ－ｕ｜，｜ｙ－ｖ｜）｜ｘ－ｕ｜ｎ－１｜ｙ－ｖ｜ｍ－１ｆ（ｕ，ｖ）ｄｕｄｖ，且Ω为原子Ｈａｒｄｙ空间Ｈ１ａ（Ｓｎ－１×Ｓｍ－１）中的函数，ｂ为空间ｌ∞（Ｌｑ（Ｒ＋×Ｒ＋）中的径向函数     

Constrained Linear Systems over Semisimple Rings

令Ｒ是半单环,Ｓ＝ＥＲｎ是Ｒｎ是子模,假设Ａ∈Ｒｎ×ｎ关于Ｅ的Γ逆存在,则线性约束系统Ａｘ＝ｂ,ｘ∈Ｓ若有解,就必定是ｘ＝Ａ（１）Ｅｂ＋（Ｉ－Ａ（１）ＥＡ）Ｅｙ,ｙ∈Ｒｎ,这里Ａ是正则的,且Ａ（１）Ｅ∈Ａ｛１｝满足Ａ（１）Ｅ＝ＥＡ（１）Ｅ＝Ａ（１）ＥＥ,Ｅ是与子模Ｓ相应的幂等阵．     

一类拟线性微分方程组边值问题的3个正解

针对在分析非线性现象时,得到的许多数学模型仅仅是对正解有意义的问题,讨论二阶拟线性微分方程组(φｐ(ｘ′))′+ａ(ｔ)ｆ(ｔ,ｘ,ｙ)=0,(φｑ(ｙ′))′+ｂ(ｔ)ｇ(ｔ,ｘ,ｙ)=0在非线性边值条件ｘ(0)-Ｂ0(ｘ′(0))=0,ｘ′(1)=0,ｙ(0)-Ｂ1(ｙ′(0))=0,ｙ′(1)=0及ｘ′(0)=0,ｘ(1)+Ｂ0(ｘ′(1))=0,ｙ′(0)=0,ｙ(1)+Ｂ1(ｙ′(1))=0下的边值问题,其中ｆ,ｇ是非负连续的函数。利用5个泛函的不动点定理,并且赋予ｆ和ｇ一些增长条件得到至少存在3个正确的判据。     

H-空间中一类广义拟-似变分不等式解的存在性定理

在Ｈ 空间中研究的变分不等式为 φ( ｘ , ｗ , ｙ ,ｘ)≥ 0 ,它包含了以下的变分不等式作为其特殊情形 :吴[1～ 3] 介绍和研究的一类变分不等式 :φ( ｘ , ｙ ,ｘ) ≥ 0 ,,丁和罗[4 ] 研究的变分不等式 :〈 ｗ - ｙ ,ｇ(ｘ) -ｇ( ｘ)〉 +ｂ(ｘ , ｘ) -ｂ( ｘ , ｘ) ≥ 0 ,张[5] 介绍的 η 映象的变分不等式 :〈Ｍ( ｗ , ｙ) ,η(ｘ , ｘ)〉 ≥ 0和Ｎｏｏｒ[6 ,7] 介绍和研究的变分不等式 :〈Ｍ( ｗ , ｙ) ,ｘ- ｘ〉+ｂ(ｘ) -ｂ( ｘ) ≥ 0 .对本文中研究的变分不等式 ,作者利用ＫＫＭ技巧 ,通过作连续选择 ,证明了其解的存在性定理 .1　预…     

连续函数零点存在定理的新证明

传统的教科书中,在证明连续函数的零点存在定理时,都是采用区间套的方法,在此我们用确界的定义,直接证明零点存在定理,方法简单明快.零点存在定理:若ｆ(ｘ)∈Ｃ[ａ,ｂ],且ｆ(ａ)ｆ(ｂ)<0,则存在ｘ0∈(ａ,ｂ),使得ｆ(ｘ0)=0.　　证明　不妨设ｆ(ａ)>0,ｆ(ｂ)<0令β=ｓｕｐ{ｘ:ａ≤ｔ≤ｘ且ｆ(ｔ)>0},显然ａ≤β≤ｂ.因为若ｆ(ｘ)∈Ｃ[ａ,ｂ],且ｆ(ａ)>0,则ａ<β≤ｂ,且对任意的ｘ∈[α,β),ｆ(ｘ)>0,所以ｆ(β)=ｆ(β-0)≥0,又ｆ(ｂ)<0,所以ａ<β<ｂ,我们有ｆ(β)=0.事实上,若ｆ(β)>0,由于ｆ(ｘ)在β点连续,所以存在δ>0,对任意的ｘ∈(β-δ…     

不可微规划的二阶最优性条件

研究了一类复合不可微规划：ｍｉｎｘ∈ＲｎＦ（ｘ）,其中Ｆ∶＝ｈｆ,ｈ：Ｒｍ→Ｒ是凸函数,ｆ：Ｒｎ→Ｒｍ是Ｃ１,１函数．给出了其二阶最优性条件：（ｉ）若Ｆ在ｚ处取局部极小,则对ｄ∈Ｋ（ｚ）,有ｍａｘｙ＊∈Ｍ（ｚ）｛ｄＴＡｄ｜Ａ∈２ｘｘＬ（ｚ,ｙ＊）｝≥０;（ｉ）若Ｍ（ｚ）≠,且对ｄ∈Ｄ（ｚ）,ｍａｘｙ＊∈Ｍ（ｚ）｛ｄＴＡｄ｜Ａ∈２ｘｘＬ（ｚ,ｙ＊）｝＞０,则ｚ是Ｆ（ｘ）的孤立局部最优解     

一类非线性差分方程解的极限问题

研究了形如Ｅｘ（ｋ）＝Ａｘ（ｋ）＋ｆ（ｋ，Ｘ（ｋ））的非线性差分方程解的极限性质．Ｅｘ（ｋ）＝ｘ（ｋ＋１）．Ａ是ｎ×ｎ（ｎ≥２）阶常数矩阵．ｘ（ｋ）∈Ｒｎ．ｆ：Ｊ×Ｇ→Ｒｎ，Ｊ＝｛ｊ０＋ｋ｜ｋ＝１，２，…．ｊ０∈Ｒ｝，Ｇ．Ｒｎ．ｆ满足对任一紧集中的ｘ（ｋ）一致有ｆ（ｋ，ｘ（ｋ））→０，当ｋ→∞．利用差分不等式及比较原理得到：当Ａ的谱半径小于１时，方程的有界解均趋于零解．当Ａ的话半径大于１时，方程有无界解．并研究了所有解均趋于零解的充分条件．     

一类函数方程的不连续解

定义　若 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的非零连续函数 ,且满足ｆ(ｘ +ｙ) =ｆ(ｘ) ｆ( ｙ) ,( 1 )则称 ｆ(ｘ)是指数函数 .可知 ｆ(ｘ)有惟一形式 ｆ(ｘ) =Ｑｘ.现在若 ｆ(ｘ)不连续 ,是否有满足条件 ( 1 )的函数存在 ?本文给出一个肯定回答 .对任意ｘ ,ｙ∈Ｒ ,若ｘ -ｙ∈Ｑ ,则称ｘ与 ｙ有关系 .易知此关系为等价关系 .实数域按此关系分类 ,记为 Ｒ ={[ｘ] |ｘ Ｒ}.下面的命题指出分类的意义 .命题 1　 Ｒ在有理数域或向量空间 ,且有 [ｘ] +[ｙ] =[ｘ +ｙ] , ａ∈Ｑ ,ａ[ｘ] =[ａｘ] . Ｒ有基Ｂ ={[ｘ] |[ｘ]∈ Ｒ},那么对基Ｂ中每一类 [ｘ] ,均…     

反函数的导数定理的注记

给出反函数的导数定理的改进形式；若ｆ（ｘ），ｘ∈（ａ，ｂ）与ψ（ｙ），ｙ∈（Ａ，Ｂ）互为反函数，ｘ０∈（ａ，ｂ），ｙｐ＝（ｆ９ｘ０），ψ（ｙ）点ｙ０处可导且ψ（ｙ０）≠０，ｆ（ｘ）在点ｘ０处可导，且ｆ’（ｘ０）＝１／ψ（ｙ０），并说明，ｆ（ｘ）在点ｘ０处连续一条件不可去掉。     

广义Calderón-Zygmund算子的一个权模不等式

本文证明了如下的广义Ｃａｌｄｅｒóｎ－Ｚｙｇｍｕｎｄ算子的一个权模不等式∫Ｒｎ｜Ｔｆ（ｘ）｜ｐｗ（ｘ）ｄｘ≤Ｃ∫Ｒｎ｜ｆ（ｘ）｜ｐＭ［ｐ］＋１ｗ（ｘ）ｄｘ其中Ｔ是θ（ｔ）型Ｃａｌｄｅｒóｎ－Ｚｙｇｍｕｎｄ算子,Ｍｋ是取ｋ次Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｌｅｗｏｏｄ极大算子,［ｐ］是ｐ的整数部分,１＜ｐ＜＋∞．同时也证明了如下的结果：ｗ（｛ｘ∈Ｒｎ∶｜Ｔｆ（ｘ）｜＞λ｝）≤Ｃλ∫Ｒｎ｜ｆ（ｘ）｜Ｍ２ｗ（ｘ）ｄｘ     

对微分中值定理的进一步思考

Ｌａｇｒａｎｇｅ定理容易从Ｒｏｌｌｅ定理进行推广 ,而由Ｌａｇｒａｎｇｅ定理推广到Ｃａｕｃｈｙ中值定理除了文献〔1〕中的方法外还有许多不同的思路 .首先 ,我们可以利用反函数与复合函数 ,将Ｌａｇｒａｎｇｅ定理推广到Ｃａｕｃｈｙ中值定理 .为方便起见 ,先证明如下引理 :引理　若函数ｆ(ｘ)在 (ａ ,ｂ)内可导 ,且 ｘ∈ (ａ ,ｂ) ,ｆ′(ｘ)≠ 0 ,则ｆ′(ｘ)在 (ａ ,ｂ)内同号 .证明　若不然 ,则存在ｘ1 ,ｘ2 ∈ (ａ ,ｂ) ,且ｆ′(ｘ1 )·ｆ′(ｘ2 ) <0 ,不妨设ｘ1 <ｘ2 ,ｆ′(ｘ1 ) >0 ,ｆ′(ｘ2 ) <0 .∵ｌｉｍｘ→ｘ1ｆ(ｘ) -ｆ(…     

LaSalle矩阵不等式的加强

设Ａ是ｎｘｎ 非奇异矩阵,Ｂ是ｎｘｎ 对称矩阵,且Ｇ＝ － （ＡＴＢ＋ ＢＡ） 正定,那么对任意ｘ,ｙ ∈Ｒｎ,且ｘ ≠０,有（Ｂｘ ＋ ｙ）ＴＧ－ １（Ｂｘ ＋ ｙ） ≥〔ｘＴ（ＡＴ）－ １（Ｂｘ ＋ ｙ）〕２ｘＴ（ＡＴ）－ １ＧＡ－ １ｘ ≥－ ２ｙＴＡＴｘ     

Positive Singular Solutions for Quasilinear Elliptic Equations With Supercritical Growth

Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｐｏｓｉｔｉｖｅｓｉｎｇｕｌａｒｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｄｉｖ(｜ ｕ｜ｐ- 2 ｕ) +ｆ(ｕ) =0　　ｉｎ　Ω \{ 0 } (1)ｌｉｍｘ→ 0 ｕ(ｘ) =∞ . (2 )Ｗｈｅｒｅ 1<ｐ <Ｎ ,Ω =ＢＲ ={ｘ∈ＲＮ:｜ｘ｜<Ｒ}ｉｓａｆｉｎｉｔｅｂａｌｌｏｒΩ=Ｂ∞ =ＲＮ,Ｎ 3.Ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｕｎｃｔｉｏｎｆ∈Ｃ1(Ｒ) (ｏｒｆｉｓｉｎｇｅｎｅｒａｌｌｏｃａｌｌｙＬｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ)ｓａｔｉｓｆｉｅｓ…     

矩形域上Bernstein多项式的Lipschitz常数

设ｆ（ｘ，ｙ）是定义在矩形域Ｂ：＝｛（Ｘ，ｙ）｜０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝上的任一实值函数，Ｂｍｎ（ｆ；ｘ，ｙ）是与之相应的（ｍ，ｎ）次Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式．本文证明了：若ｆ（ｘ，ｙ）是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的，即ｆ（ｘ，ｙ）∈ＬｉＰＡａ，那么对所有正整数ｍ，ｎ都有Ｂｍｎ（ｆ；ｘ，ｙ）∈ＬｉｐＢａ．这里Ｂ＝Ａ且在一定意义下，常数Ｂ是最好的．上述结果被推广到了高维区域的情形．     

一个解线性不等式组的新方法

对于线性不等式系统（１）：ＡＴｘ≥ｂ，Ａ∈Ｒｎ×ｍ，ｂ∈Ｒｍ，ｍ≤ｎ，ｒａｎｋ（Ａ）＝ｍ给出了一个解系统（１）的迭代算法，并详细地研究了算法的基本性质。     

无穷区间上函数的傅里叶级数

设非周期函数ｙ(ｘ)在所讨论的区间上连续或仅有有限个第一类间断点 ,且至多只有有限个极值点。因ｙ(ｘ)在有限区间上展开成傅里叶级数问题已经解决 ,而对于定义于无穷区间上的函数ｙ(ｘ) ,若能通过变量代换将其化为定义于有限区间上的函数ｆ(ｔ) ,则问题不难解决。以下仅给出相关变量代换式 :1°设ｙ =ｙ(ｘ)的定义区间为 ( 0 ,+∞ )。令ｔ=π 1 -1 / (ｘ+1ｘ) ｘ ,若设这时ｙ =ｆ(ｔ)。因当 0 <ｘ<∞时 ,ｘ +1ｘ=(ｘ -1ｘ) 2 +2≥ 2 ,易知 :0 <1 / (ｘ +1ｘ) ｘ<1。又 :ｌｉｍｘ→ 0 1 / (ｘ +1ｘ) ｘ=1 ,ｌｉｍｘ→∞1 / (ｘ +1ｘ) ｘ=0 …     

一类具有高阶奇性问题正解的不存在性

1　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｉｎｇｕａｌｒｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ :ｘ″=ｆ(ｔ,ｘ ,ｘ′) ,0 <ｔ<1,ｘ( 0 ) =ｘ′( 0 ) =0 , ( 1.1)ａｎｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｉｎｇｕｌａｒｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ :ｘ″+ｆ(ｔ,ｘ ,ｘ′) =0 ,0 <ｔ<1,ｘ( 0 ) =ｘ′( 1) =0 . ( 1.2 )ｆ(ｔ,ｘ ,ｙ)ｍａｙｂｅｓｉｎｇｕｌａｒａｔｔ=0 ,1,ｘ =0ａｎｄｙ=0 .Ａｂｏｕｔｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉ…     

一个解线性不等式组的新方法

对于线性不等式系统（１）：Ａ＾ｒｘ≥ｂ，Ａ∈Ｒｎ×ｍ，ｂ∈Ｒ＾ｍ，ｍ≤ｎ，ｒａｎｋ（Ａ）＝ｍ，给出了一个解系统（１）的迭代算法，并详细地研究了算法的基本性质。     

关于算术－几何不等式在非线性规划中的应用

考虑非线性规划以及这里Ａ为ｍ×ｎ阶矩阵，ｃｉ，ｄ，ｘ∈Ｒｎ，ｂ∈Ｒｍ，ｒ＞０．我们假定ｘ∈Ｄ（（ＮＬＰⅠ）的可行域）有ｃ＇ｉｘ＞０，ｉ＝１，．．．，ｈ．利用算术－几何平均值不等式将（ＮＬＰⅠ）转化为参数线性规划，证明参数只须取一些特定的值，并且它的最优解在Ｄ的顶点处实现，对于（ＮＬＰⅡ）也将得到类似结果．