幂等矩阵相似于对角矩阵的一个简单证法

在高等代数中有这样一个性质:设A是秩为r的n阶幂等矩阵(A~2=A),则A相似于B。其中 (?)(I_r是r阶单位矩阵,0是n-r阶零矩阵),对这一性质的证明,一般都利用线性空间中线性变换在两个不同的基下所得的矩阵A,B,再找两个基之间的过渡矩阵T,从而得到T~(-1)AT=B (见北京大学数学力学系“高等代数”,人民教育出版社 (1978)~p2277定理4,PP29S-296例)。在这里,我们只利用向量组线性相关性、线性方程组及分块矩阵运算等知识来证明它。因为已知秩A=r,所以A中有r个列线性无关,记作a_1,…,a_r;又因为A~2=A,所以     

形如dx2/dt2+ax-n+b=0的微分方程解的研究

对于形如d2x/dt2+ax-n+b=0的二阶非线性微分方程,注意到当n=2时该方程的一个工程背景,以此工程背景为物理模型,指明在n=2时该微分方程的解X(t)是一个作周期振动的周期函数(但不是正弦函数).以经典力学理论为基础,求出了当n=2时函数X(t)的振幅的解析表达式,并求出了周期的积分表达式,求出了做简谐振动时的振幅和周期的近似表达式.对n为任意自然数时的情形进行了推广分析,认为方程的解仍然是周期振动函数.给出了部分数值仿真结果.     

用定积分计算曲线｛x=a0t^3＋a1t^2＋a2t＋a3,y=b0t^3＋b1t^2＋b …

给出了和定积分计算曲线｛ｘ＝ａ０ｔ３＋ａ２ｔ＾２＋ａ２ｔ＋ａ３,ｙ＝ｂ０ｔ＾３＋ｂ１ｔ＾２＋ｂ２ｔ＋ｂ３（ａ０,ｂ０不全为零）围成的平面图形的面积时,积分下、上限ｔ１、ｔ２应满足的一个一元次方程,从而使这类积分的积分限的确定,变得简便易行。     

对积分公式∫dx/a+bcosχ=2/a+b√a+b/a-barctan[√a-b/a+btanχ/2]+C(b2＜a2)的改进

对<高等数学>积分公式表中的一个三角函数有理分式函数的积分公式进行了研究,指出了公式中存在的缺陷,并将公式进行了改进,改进后的公式消除了原公式中的缺陷.     

半线性椭圆方程△u+λ√(u-b)2+ε=0的解

探讨半线性椭圆方程:{△u λ√(u-b)2 ε u=0 OΩ =0,Ω当λ∈(λ1,λe)时,解的确切个数.本文的目的就是使用一种间接方法,通过研究转向点的方向,来确定方程(1)正解的确切个数.     

|A-λB|=0的特征根联合分布的一个新证法

设A～W_m(n,I),B～W_m(k,I),n≥m,k≥m,A与B相互独立,本文利用外积运算给出了|A-λB|=0的特征根联合分布的一种新的简便证法。     

方程+2n+ω~2x+μx~3=0的正则摄动解法

这是具有非线性恢复力的单自由度系统阻尼振动微分方程,为解此方程,先将方程降阶。令X_1=X,则原方程等价于如下的二元一阶方程组:     

不定方程a4+b2=c2本原解组数的渐近阶

研究了不定方程 a4 b2 =c2 的整数解的组数 ,并得到它的一个渐近估计式 .     

X2+XY-Y2+k=0正整数解的条件

方程X2 XY-Y2 k=0具有Fibonacci数列的正整数解,并且方程X2 XY-Y2 k=0具有Fibonacci数列的正整数解时满足一定约束条件.Lucas数列实际上是一种广义Fibonacci数列.方程X2 X-1=0的正整数解也与Fibonacci数列有关.     

关于WACK([a，b]，λ)的一个注记

本文是VK([a，b]，λ)、ACK([a，b]，λ)系列研究的继续，给出了叙列空间上k级弱绝对连续函数一致收敛问题的若干等价条件。     

(integral from n=a to b(f(x)g(x)dx))~2≤integral from n=a to b(f~2(x)dx) integral from n=a to b(g~2(x)dx)的多种证法

本文介绍Cauchy-schwarz(柯西-施瓦茨)不等式的几种证法。     

二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)性质探讨

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)性质探讨。     

空间H_0~1(R_+~2×R_+~2)上的奇异积分

用函数分解的方法,证明了由R.Fefferman和E.M.Stein在[2]、[3]中引进的乘积空间上的奇异积分在空间H_0~1(R_+~2×R_+~2)上是有界的。用同样的方法可以证明单参数的奇异积分在Hardy空间H~1(R~2)上是有界的。     

关于方程sumk=0ton(b-2~rk)~l=sumk=1ton(b+2~rk)~l

本文证明了:设 l、n、b、r 为正整数,方程 (b-2~rk)~l= (b+2~rk)~l 仅有正整数解 l=1,b=2~rn(n+1)和1=2,b=2~(r+1)n(n+1).     

Diophantine方程x~2+axy-y~2=b的可解性

设a,b分别是给定的正整数和非零整数.运用非平方正整数平方根的简单连分数性质,证明了如果2|a且1|b|a/2,或2|a且4|b|a/4,则方程x~2+axy-y~2=b没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y).     

X2+XY-Y2+k=0存在正整数解的条件

若二元二次方程X2+XY-Y2+k=0存在正整数解,则其每组解必为广义Fibonacci数列相邻二项,并且方程X2+XY-Y2+k=0具有广义Fibonacci数列的正整数解时,满足一定约束条件.Lucas数列作为一种广义Fibonacci数列,其相邻二项是X2+XY-Y2±5=0的正整数解.     

关于y″+py''+qy=(a0+a1x)eλx的特解

利用待定系数法给出二阶常系数微分方程y″ py' qy=(a0 a1x)eλx的特解的一般公式.