一类递推数列中的素数

设D是非平方正整数,（u1,v1）是Pell方程u^2-Dv^2=1的最小解．设数列B={bn}n=1 ^∞,满足递推关系b1=v1,bn＋1=u1bn＋v1√Db^2n＋1,n≥1,本文利用Pell方程的性质证明了：当n〉1时,bn不是素数。     

关于Pell数列的Ribenboim问题

证明了 :第一类Pell数列仅有平方类 (1,16 9) ;第二类Pell数列没有平方类     

Pell方程x2-[(mn)2±4n]y2=1的最小解

运用计算连分数的方法,给出Pell方程x2-Dy2=1当D=(mn)2±4n(m,n)为正整数)时的最小解的计算公式.     

Pell方程x~2-Dy~2=±2的解的递推性质

在各类不定方程中,Pell方程x2-Dy2=N是一类基础而重要的Diophantine方程,其正整数解与实二次域的基本单位以及其它代数数论理论有密切联系,对解高次丢翻图方程以及有关递推数列问题有广泛且深入的应用.利用Pell方程的基本解的性质,对方程x2-Dy2=±2的通解进行了讨论,获得了该方程解的一个三阶递推性质,证明了文献(A.Tekcan.Irish.Math.Soc.Bulletin,2004,54(1):73-89.)提出的一个猜想.最后,提出了关于Pell方程x2-Dy2=-2可解性的一些待解决的问题.     

关于Pell方程x^2—6y^2=1和y^2—Dz^2=4的公解

本文证明了：当D为奇素数时,Pell方程x^2-6y^2=1和y^2-Dz^2=4仅有正整数解（D＝11）(x,y,z)=（49,20,6）。     

关于Pell方程Ax2-By2=±1(A,B∈Z+)

Pell方程Ax2-By2=±1(A,B∈Z+,AB不是完全平方数)可解性的判别是一个非常有意义的问题.运用Legendre符号和同余性质等初等方法给出了形如Ax2-By2=±1(A,B∈Z+,AB不是完全平方数)型Pen方程无正整数解的6个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D不是完全平方数)起了重要作用.     

关于不定方程x3-1=193y2

关于不定方程x³-1=Dy²(其中D为素数且D≡1(mod 6))的求解是数论中仍未解决的重要问题之一。利用同余式、Pell方程整数解的性质及递归数列等初等数论方法对D=193的情形进行了研究,得到了不定方程x³-1=193y²仅有整数解(x,y)=(1,0)。     

Pell方程组x2-56y2=1与y2-Dz2=4的公解

利用同余、递归序列、分解因子、奇偶分析等方法,再结合Pell方程解的性质,研究了当D=2P1,…,Pk(1≤k≤4),其中P1,…,Pk是互不相同的奇素数时,Pell方程组x2-56y2=1与y72-Dz2=4的公解.得到了如下结论:当D≠2×449时,该方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±15,±2,0);当D=2×449时,除了平凡解外,还有非平凡解(x,y,z)=(±13455,±1798,±60).     

关于Pell方程是px2-(pn±2)y2=±1(p=-1,±3(mod 8)素数)

Pell方程ax2-by2=±1(a,b∈Z+,ab不是完全平方数)可解性的判别是一个非常有意义的问题.运用Legendre符号和同余的性质给出了形如px2-(pn±2)y2=±1(p≡-1,±3(mod8)是素数)型Pell方程无正整数解的6个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.     

关于Pell数的Diophantine方程x2+Uyn=Vzn

设n是正奇数,Un=(αn+βn)/2.yn=(αn-βn)/2√2,其中α=1+√2,β=1-√2.运用Pell数的算术性质讨论了方程x2+Uyn=Vzn的正整数解(x,y,z).证明了当n≡±3(rood 8)时,该方程仅有正整数解(x.y,z)=(V2n-1.2,4).