Diophantus方程x2+2m=yn

设Z,N,Q分别是全体整数,正整数以及有理数的集合.数论和组合论中的很多问题都与指数型Diophantus方程x~2 2~m=y~n,x,y,m,n∈N,2(?)y,n>2的解(x,y,m,n)有关.近五十年来,Ljunggren,Nagell,Brown,Toyoizumi和Cohn等人都曾对此有过很多工作.1986年,文献[1]宣布已经找出了方程(1)的全部解,但是迄今没有见到该结果的证明.因此方程(1)的求解仍是个尚未解决的问题本文运用Baker方法证明了:定理 方程(1)没有适合2|m以及m>2的解(x,y m,n).由于文献[2]运用代数数论方法证明了:方程(1)仅有解(x,y,m,n)=(5,3,1,3)和(7,3,5,4)适合2(?)m;文献[3]用初等数论方法证明了:方程(1)仅有解(x,y,m,n)=(11,5,2,3)适合m=2.因此综合上述结果即可确定方程(1)的全部解.推论 方程(1)仅有解(x,y,m,n)=(5,3,1,3),(7,3,5,4)和(11,5,2,3).     

关于Diophantus方程Cx~2+2~mD=y~p

设C>0,D>0且D无>1的平方因子。本文在虚二次域中考虑Diophantus方程(C,2D)=1,ρ奇素数(1)的解.设h(—CD)是的理想类数,我们有 定理1 设CD(?)3(mod8),(?)     

关于丢番图方程xy+yz+zx=m(Ⅱ)

在广义黎曼猜测条件下证明了当ｍ大于４６２时丢番图方程ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝ｍ恒有解。     

实二次域的方程与半单和最小连分数

本文将利用半单(广义)连分数理论研究丢番图方程x~2-dy~2=c (1)给出简洁的可解判则及解集合.由这些结果可推出一系列实二次域类群的结构及改进著名的Cohen-Lenstra预测.最后讨论最小连分数.我们总设d为无平方因子正整数,c为整数.方程(1)的整数解问题与实二次域K=Q(d~(1/2)) 和d次分圆域的最大实子域的类数有很密切的关系,自Gauss始有不少人研究.但以往的结果多是对给定的c值,给出计算步骤判断是否有解及解出;对使方程有解的c值集合少有刻画.Ankeny,Chowla,Hasse,S.D.Lang,Takeuchi,Yokoi和Mollin等从1965年直到最近,对一些ERD型的d,给出可解的小范围的c值集(如当|C|≤2d~(1/2)等,并利用结果得出实二次域K和分圆域类数结果(见文献[1]中文献).文献[1]     

实二次域关联的丢番图方程的解

设m为无平方因子有理正整数,c为整数,方程x~2-my~2=c (1)的整数解问题,与实二次域Q(m~(1/2))及分圓域Q(ζ_m)的实子域的类数密切相关,文献[1—7]均由研究此方程得出了有关类数结果,且对特别的m和较小的c值,得出了方程(1)可解的     

P(n,4)与A(n,4)的简单统一显式

设P(n,k)为整数n分为k部的无序分析的个数,每个分部≥1.这个数已成为组合图论和数论里的重要数据,应用广泛,但却十分难于具体计算.为此,作者已给出P(n,k)的降部恒等式和快速计算的几个定理.但对每一k≥4而言,迄今无法求出简单统一的公式,目前只有 P(n,2)=[n/2]简单统一的公式,目前只有和p(n,3)=.又设A(n,k)为下述Diophantos方程sum from i=1 to k(ix_i)=n (1)的非负整数解的个数.尽管方程(1)看来很特殊,但求A(n,k)也是十分困难的.迄今只有 Hardy给出的 A(n,3)=<(n+3)~2/12>.人们至今无法给出简单统一的 A(n,4).本文所有记号与文献[1,2]相同,表示距实数x的最近整数,并记r=1-(-1)~n/2=0(当n为偶数),1(当n为奇数)(2)本文主要的结果是引理1(转换关系)     

方程6y~2=x(x+1)(2x+1)的解的初等证明

1875年,E.Lucas问丢番图方程6y~2=x(x 1)(2x 1) (1)是否仅有非平凡解x=24,y=70.1918年Watson给出了肯定的回答,他利用椭圆函数给了一个复杂的证明(Messenger of Math., 48(1918/1919),1—22).1952年Ljunggren对四次扩域上的基本单位进行了仔细的研究,利用二次扩域上的Pell方程给     

具有时滞的Duffing型方程+g(x(t—τ))=p(t)的2π周期解

关于微分方程x(?) g(x)=p(t)=p(t 2π),(1)讨论其周期解的文献已经很多,在g(x)满足强非线性,亚线性以及避开共振点条件下均已讨论过其周期解的存在性问题(参见丁同仁及葛渭高教授等近几年发表的论文),相对来说,对于时滞Duffing型方程这方面的研究还比较少.1981年,文献[2]在类似避开共振点条件下,证明了如下具有时滞的Duffing方程     

关于Duphantus方程(ax~m-1)/(abx-1)=by~2

设a,b均是任给的正整数，本文用Pell方程的初等方法给出丢番图方程(ax~m-1)/(abx-1)=by~2,2|m>1的一个完全自给的解答。所得结果是对Ljunggren(a=b=1)和孙琦等(b=1)的结果的推广。值得注意,Ljunggren和孙琦等的结果的证明,均不是自给的。     

模糊关系方程(A~)°(X~)=(B~)的解

本文指出文[1]中关于Fuzzy关系方程(A~)°(X~)=(B~)的解的一个推论不成立.同时给出了反例以及相应的结论.     

关于丢番图方程x~(2n)—Dy~2=1

关于丢番图方程x~(2n)—Dy~2=1,D>0且不是平方数,n>2,(1)本文证明了定理1 设Pell方程u~2—Dv~2=—1有整数解,则丢番图方程(1)除开n=5,D=122有解x=3,y=22外,无其他正整数解。     

关于sum from i=1 to n(x_i/d_i)≡0(mod 1)的最小值

设p是一个奇素数,q=p~l,l≥1,F_q是一个q元有限域,c_i(i=1,2,…,n)是F_q的非零元。设d_1,…,d_n是给定的n个大于1的正整数,d_i|q-1,i=1,2,…,n,N代表F_q上对角方程的解的个数,即N=|H_f(F_q)|,H_f(F_q)={a∈A~n(F_q)|f(a)=0}是由f=c_1x_1~(d_1)+…+c_nx_n~(d_n)在A~n(F_q)中所定义的超曲面,A~n(F_q)表有限域F_q上的n维仿射空间。熟知这里I(d_1,…,d_n)代表方程     

关于迭代方程sum from i=1 to n(λ_if~i(x))=F(x)解存在性的讨论

一、引言本文讨论迭代方程λ_1f(x)+λ_2f~2(x)+…+λ_nf~n(x)=F(x),其中:f~o(x)=x,f~k(x)=fof~(k-1)(x),λ_i∈R~1。关于方程(1)的讨论直接源引于迭代根问题:求适当连续函数f:[a,b]→[a,b]。使     

关于广播函数B(2~k—2)和B(2~k—1)的值

广播是通讯网络中信息传递的过程,在广播中,一个源结点的信息传递给网络中所有别的结点,这个概念在分布系统的控制中有着广泛的应用,广播是通过在网络的通讯连线上置一系列的呼唤(信息传递)来实现的。本文考虑的广播具有如下的约束条件:(1)每次呼唤仅包括两个结点;(2)每次呼唤需要一个单位时间;(3)在一个单位时间里,任一个结点至多参与一     

微分方程dx/dt=h(y)-F(x),dy/dt=-g(x)存在极限环的一个充分条件

对于微分方程dx/dt=h(y)-F(x),dy/dt=-g(x) (1)极限环的存在性,近来有一些结果,但一般均假定k(y)单调,我们取消了h(y)单调的条件,得到下面的定理。     

关于—类丢番图方程x~3±(3~k)~3=Dy~2

关于丢番图方程x~3 1=Dy~2,D>2,D无平方因子且不能被3或6l 1型素数整除(1)x~3-1=Dy~2,D同(1)式,(1’)Liunggren证明了最多只有一组正整数解.柯召与孙椅证明了(1)与(1’)均无非平凡整数解.笔者得到了一类丢番图方程x~3 (3~k)~3=Dy~2,D≥1,D无平方因子且不能被6l 1型素数整除,k≥1(2)x~3-(3~k)~3=Dy~2,D,k同(2)式(2’)