不等式恒成立问题的求解策略

本文给出主要的四类不等式恒成立问题的求解策略，并用四个较典型的例题予以说明。     

关于Hadamard-like不等式（英文）

给出了由林明华提出的Hadamard-like不等式问题的部分证明,用直接的方法证明了该不等式当n=2,3时不成立,当n=4时成立以及对于特殊的三对角矩阵,该不等式当n≥3时恒成立.最后,文中给出了一种新的Hadamard-like不等式,此种不等式对于任意的Hermitian矩阵当n≥2成立.     

不等式恒成立中的问题

1问题的提出 问题1：（2006上海高考第12题）三个同学对问题“关于x的不等式x^2＋25＋｜x^3-5x^2｜≥ax在[1，12]上恒成立，求实数口的取值范围”提出各自的解题思路．     

中学数学中不等式恒成立时参数范围的确定

在中学数学中，含有参数的数学问题比较多，这种问题能够训练学生的抽象思维能力、分类讨论的能力，对学生的数学能力的提高很有好处。其中一类问题就是确定其中参数的取值范围，寻求题目成立的条件，以便将题目的结论加以推广，使学生能够举一反三，思维更加灵活。现就不等式恒成立时参数范围的求解问题作一总结，仅供参考。     

不尽方要的一个有理逼近系数

有理数去逼近代数数中如何确定常数使逼近效果较好是研究此类问题的关键之一。本文讨论特殊２的二次代数数ζ的常数ｃ＝ｃ（ζ），主要结果为：对任意的整数对（ｐ，ｑ），不等式／ζ－ｐ／ｑ／≥ｃ（ζ）１／ｑ＾２恒成立，并且给出了等号成立的条件。     

导数在解决函数问题的工具作用

导数是研究函数的单调性、极值、最值等函数问题的强有力工具。作为高中数学的新增内容之一，运用导数研究函数的恒成立、最值、方程、不等式的证明等问题是近几年高考的热点。也将是命题的新增长点。如果给定函数解析式次数高于二次、形式复杂时，常考虑用导数解决函数问题。     

利用新增知识解决不等式与最值问题的探讨

高三复习过程中对不等式的证明更具有灵活性，而利用新增知识：导数，向量，线性规划，概率等为工具，探讨解决不等式的问题。     

高中数学里的恒成立问题

高中数学中的恒成立问题,是近年来高考中的热点问题.本文将恒成立问题分成四个类型,并在此基础上整理了恒成立问题的几种常见的解法.     

求参数取值范围的几种方法

关于含参数的问题、题型多样、知识面广、综合性强，是中学教学教学的一大难点。本文试对这类问题给出几种解法。1判别式法如果问题为恒有解的含参数方程及可能转化为合参数的一元二次方程（或不等式），则一般可用判别式法求出参数范围。初三：已知A＝1（。，g）lx＝t，u＝me＋11，B二I（。，u）lx二l＋a。6，u＝ig6，对任意实数m，AnBf却成立，求a的取植范围。欲使对于任意实数二，上式恒成立，则必须：切2：设人。）是定义在区间（－OO，OO）上以2为周期的函数，对k6Z用儿表示区间（Zk－l，Zk＋11，已知当x6b时，f（）＝。‘（！）…     

恒成立问题与变量分离

在高中数学中,我们主要会接触到两种类型的恒成立问题:一类是在R上恒成立,一类是在给定区间上恒成立。     

高中数学中恒成立问题的解析

笔者结合教学实践，对恒成立问题的类型和求解方法作一小结，如“一次型”函数恒成立问题，利用函数单调性；“二次型”函数恒成立问题，数彤结合理解；可以分离参数的，转化为函数最值求解；确定主元，利用函数单调性求解；数形结合，直观求解，以期对学生的学习有所帮助。     

关于矩阵迹的不等式

对矩阵迹不等式：提出了更一般的问题，对任意自然数ｎ，不等式成立，井给出了证明．     

关于半正定矩阵迹的几何—算术平均不等式

本文首先证明了关于Hermite矩阵迹的一个不等式,在此基础上,得出了关于半正定矩阵迹的几何-算术平均不等式,特别地,该不等式对实对称半正定阵也是成立的,这就给出了文〔1〕中,R.Bellman所提问题的一个回答。     

Hardy不等式的一个推广

本文对Ｈａｒｄｙ不等式的有限和形式给出了一个推广，使该不等式的有限和形式在更广泛的条件下成立。     

关于Neumann不等式的两点注记

本文指出了文献［１］中Ｎｅｕｍａｎｎ不等式等号成立的充要条件中的错误，给出了一个充要条件，将［３］中关于正迹类算子的Ｎｅｕｍａｎｎ不等式作了进一步推广．     

一类积分不等式

本文给出康托洛维奇型积分不等式的一般形式及某一种初等的证明和一种加强形式，特别地，我们还得到了使严格不等式成立的一个新的充分条件。     

一个含参数的强三点积分不等式

利用一种Gruss型不等式去推出一个新的含参数的强三点积分不等式，精确地给出使不等式中等式成立的函数，由此统一处理并且改进了由M Marie、X L Cheng、N Ujevic、C E M Pearce等人提出的改进的Taylorc、Ostrowski-Gruss及中点的一些积分不等式。     

一个双参数二元不等式的推广

二元不等式aars--bbrs≥rsa 2bs-r成立或反向成立的充分条件是被学者广泛关注的问题。通过变换a=bx将该不等式转化为一元不等式,并结合简单的分析手段较大地扩展了参数r,s的取值范围。     

能量不等式和抛物单调不等式成立的一个充分条件

讨论了含有底阶项铁磁链系统的Ｌａｎｄａｕ－Ｌｉｆｓｈｉｔｚ方程即非齐次调和映射流方程的Ｃａｕｃｈｙ问题．该问题弱解的能量不等式和抛物单调不等式在证明弱解的正则性时起关键作用．文中定义了该问题弱解满足的驻条件，给出了驻条件成立的充分条件，并且在驻条件下证明了弱解满足能量不等式和抛物单调不等式．     

不等式X~x+Y~y≥X~y+Y~x的证明

本文证明了当x>0,y>0时不等式x~x+y~y≥x~y+y~x成立,并且等号成立当且仅当x=y。一九八七年,George Washington大学的Falk博士来华讲学,特地提了一个问题:不等式x~x+y~y≥x~y+y~x(x>0,y>0)是否成立?并说此问题被研究过一段不短的时间,迄今未解决。