关于有限群的相关正规补子群

本文所论群均为有限群,π为素数之集合,π′为其余集,π(G)表示群G的阶的素因数集合。     

E_π~n-群的子群

设G是有限群,π是若干素数组成的集合.若G含有Hallπ-子群,则称G为E_π-群;若G是E_π-群,并且其所有Hallπ-子群均共轭,则称G为C_π-群;若G是C_π-群,并且G的任意π-子群均含在某Hall π-子群,则称G为D_π-群.此外,如果G含有幂零Hallπ-子群,称 G为E_π~n-群.有例子表明:E_π~n-群的子群不必为E_π~n-群,如G=PSL(2,31),π={3,5},这时G为E_π~n-群,但G含有同构于A_5的子群H,而H不是E_π~n-群.     

一类特殊的有限群

本文研究元的阶除1和一个数m外均为质数的有限群(简称为有限拟m质元群),得到如下结论: 定理1 设G为可解拟m质元群,则下述情形之一成立: Ⅰ.G是方次数为p或p~2的P群。     

有限单群的一个刻划

在文献[1]的基础上,仅用元的阶之集我们又刻划了一批有限单群,即证明了下述定理: 定理 设G是有限群,H为下述有限单群之一:A_(11);PSU(6,2);S_z(2~(2m+1)),m≥1;M_(12),J_3,HS,McL,Suz,Ru,O'N,Co_2和Co_3.则G同构于H当且仅当π(G)=π_e(H),其中π(G)表示G中元的     

元的阶给定的有限群

“元的阶”是群论中最基本的一个概念。从著名的Burnside问题可以看出:“元的阶”在群的结构中起着重要的作用。一些著名的群论专家如Neumann,Higman以及Suzuki等都曾研究过元的阶为特殊给定集的群,1981年在我们的硕士学位论文中,讨论了元的阶除单位元外均为素数的有限群。并由此得出可仅用元的阶刻划A_5的有趣结果。鉴于上述结果是用中文发表,又未被美国《数学评论》摘录,1989年《美国数学会会刊》发表了与我们的工作内容相同的论文。     

有限群极大子群的复合指数

有限群G的极大子群的性质和G的结构之间的关系已有许多作者进行了研究。在文献[1]中Deskins定义了有限群G的极大子群的复合指数,并获得有限群为可解群的一些结果。最近Mukherjee和Bhattacharya以及Deskins进一步研究了复合指数对群结构的影响,本文将讨论文献[3]中Deskins提出的一个猜想。文中所论群均为有限群,凡没有提及的概念都是标准的。设M是群G的一个极大子群,     

关于有限单群的若干结果

Ⅰ.关于有限单群的阶 定理 有限单群G的阶不为k(≥3)次幂。G的阶为平方的充要条件是,G为Lic型单群B_2(p),其中p为满足下式的素数:     

关于环上线性群正规子群的标准性

本文给出了以交换环、体直积环为其特殊情形的强右Ore环的定义,证明了这种环上线性群正规子群的标准性(n≥3),这扩大了Wilson(1972)的结果(他仅给出交换环n≥4的情形)。本文还指出Wilson方程组的可解性仅在强右Ore环上才能实现。     

有限交换2-DCI群和一类3-DCI群

设G是有限群。称G的非空子集H是Cayley子集,如果G的单位元e(?)H.对于G的每个Cayley子集H定义Cayley有向图x=x(G,H),这里V(x)=G,E(x)={(a,6)|a,b∈G,ba~(-1)∈H}。     

关于满足置换化条件的有限群

设G是任一有限群,H是G的一个子群。我们把P_G(H)=H=H>称为H在G中的置换化子。若对G的任何真子群H,有H(?)P_G(H),则称G为满足置换化条件的群,我们简称之为PC群。在文献[1]中对可解PC群已有了一些研究。例如,超可解群是PC群,奇阶PC群是超可解的等。但是容易验证,S_4即四个文字上的对称群是可解PC群,它不是超可解的。因此,一般地说,偶阶PC群不一定超可解。本文对PC群的性质进行了研究,给出了可解PC群为超可解的充分且必要的条件,即下面的定理1。     

有限特殊射影线性群的特征性质

在文献[1]中我们提出了下述猜想: 猜想1 设G是群,M是有限单群。则当且仅当 (a) π_c(G)=π_c(M),其中π_c(G)记为G中元的阶之集;     

有限群早期研究的开拓者——米勒

米勒是早期群论学家,也是当时美国少数几位享有国际盛誉的数学家之一。他凭借深邃的眼光和敏锐的洞察力,创造出大量具有独创性的研究成果。19世纪末,尽管数学这门古老的学科已历经了两个世纪的蓬勃发展,但在这场洪流中闻名遐迩的美国本土数学家并不多见,米勒(George.Abram Miller,1863—1951)是其中最引人注目者之一。米勒的聪明睿智、独立的判断力与高超的创造力,使他一生在11个国家的30多种杂志上发表论文820多篇,其中约450篇为群论学术论文,其他涉及教育、数学史等各个领域,有力推动了美国的数学发展。     

有限单群分类的三代证明

200年前,在拿破仑时代的法国,诞生了一位天才数学家--伽罗瓦((E).Galois,1811-1832年),虽然他不到21岁就英年早逝,却给数学留下了不朽的业绩:可以用两个概念来概括,一个是群,一个是域.而伽罗瓦的名字也因伽罗瓦理论而永远载人史册.     

有限单群的一种新刻划

在本世纪70,80年代,Kwok Marcel等和Adilson等人证明了PSL(2,2~m),G_2(q),J_1可由其特征标表唯一决定.本文将证明如下:主要定理 设G是有限群,M是单群,G和M有相同的特征标表,则G(?)M.我们的证明思路是这样:由文献[5]知,要证明主要定理只需证明B_n(q)和C_n(q),q为奇质数幂,不能有相同的特征标表.我们下面去证B_n(q)和C_n(q)的共轭类长度之集合不同.     

自同构群的阶为p_q~2的有限群

设n为正整数,我们用C_n表示n阶循环群,D_(λn)表示2n阶二面体群(Dihedral Group)〈a,b|a~n=1=b~2,b~(-1)ab=a~(-1)〉,DC_((4n))表示4n阶双循环(Dicyclic)群〈a,b|a~(2n)=1,b~2=a~n,b~(-1)ab=a~(-1)〉。若素数     

有限单群分类定理的万页证明

为了证明群论的一条基本定理,用了二百年时间.奇迹是它终于被证明了.     

有限典型群中含根子群的极大子群

在我的博士论文中,对有限典型单群中含根子群的极大子群作了分类,只有少数遗留情况还需要最后处理。分类的结果如下:     

关于具有给定西洛子群正规化子的有限群

近年来一系列工作用于研究具有给定西洛子群正规化子性质的有限群.文献[1]证明了,如果有限群G的任意非单位西洛子群的正规化子幂零,则G本身幂零.在文献[2]中指出,所有超可解有限群的群系U不具有这种性质.换句话说,如果有限群G的任意非单位西洛子群的正规化子超可解,那么G可能非超可解.有限幂零群的群系是继承的局部(?)-群系,而U不是(?)-群系.由此产生一个问题:哪些继承局部(?)-群系具有如上所指的性质?本文在可解群类中完全解决了这个问题.此问题由教授提供.     

关于域的K_2群的有限阶元素

1 引言对于一些重要的域(例如,整体域),其K_2群中的元素均为有限阶元。因此,确定域的K_2群中的有限阶元一直是代数K-理论中一个重要的研究课题。Tate在一篇著名论文中证明了:若整体域F包含n次本原单位根ξ_n(附注:这里假定域的特征不整除n,以下讨论时