浅谈数学分析中的构造性方法

构造性方法是数学分析中常用的一种方法.常见的有构造点列、子列法;构造闭区间套法;构造开覆盖法;构造辅助函数法;构造集合法;构造反例法等.以下就数学分析中的某些定理及习题如何使用构造方法进行证明谈一点初浅的看法.     

基于变限积分函数的Cauchy-schwards不等式的证明

提出一种以变上限积分函数为工具构造辅助函数证明Cauchy-schwards不等式的新方法.与高等数学常见的两种证明方法相比,该方法充分利用了变上限积分函数的导数之符号对其单调性的昭示作用,对于学生熟悉变上限积分函数的函数角色、构造辅助函数的思维训练以及综合利用导数和积分知识有一定的积极作用.     

利用实积分证明Cauchy积分公式

本文利用实变函数积分中值定理,结合Cauchy积分定理在复围线推广形式,用实变函数积分的方法证明了复变函数论中的Cauchy积分公式。证明过程简单易懂。     

Cantor集在构造反例中的应用

Cantor集C是实变函数中的一类重要的集合，其特殊的构造过程和算术结构使它有许多奇特的性质。这些可以巧妙地用于构造反例．说明实变函数中的问题。本文主要介绍三分Cantor集的构造及重要性质，着重讨论它在构造反例中的运用。     

一类Bent函数的再证明和新构造

Bent函数作为非线性最优的布尔函数在对称密码系统的设计中有着诸多应用.利用组合布尔函数方法给出了一类间接构造的Bent函数的新证明,所给方法证明过程较为简便、计算量小.其次,利用新的构造方法得到了具有n+m+2个变元的Bent函数,并在特殊取值下分析了所得构造与已有间接构造之间的关系.     

中值定理证明中辅助函数的构造

在中值定理的证明中构造辅助函数是关键,怎样构造出辅助函数是中值定理证明中的难点.本文通过对定理条件和结论的分析,给出了构造辅助函数的规律和方法.     

粗糙核Marcinkiewicz积分在Morrey-Adams空间上的有界性

借助Lebesgue空间上的有界性,利用函数分解方法和实变技巧,证明粗糙核Marcinkiewicz积分在Morrey-Adams空间上的有界性,并给出Lipschitz函数和BMO函数交换子的相应结果.     

略论作为微积分原理的完善的实变函数

针对实变函数的相关问题,本文以通俗而简明的方式列举了实变函数理论中存在的循环论证等几处误解,从而证明实变函数理论作为现行微积分原理已完善的论据是不充分的。     

与中值定理相关的辅助函数的一个构造法

与中值定理相关命题的证明关键点和难点是构造合适的辅助函数.目前存在大量的构造方法,但适用性较低,在具体实践时没有一个通用性好的构造法.分析现有的一些构造方法的内在联系;通过分析构造法的本质,引入守恒量构造法;通过多个例子,证明守恒量构造法适用性强、使用范围较广、构造简单,是一个有效的构造方法.     

无小参数非线性振动方程的近似方法

本文提出了一种求解非线性方程的迭代算法 ,它不依赖于小参数 ,是先给方程一个带待定函数的试函数作为初始近似解 ,然后用拉氏乘子法构造一个迭代公式 (校正泛函 ) .试函数中的待定函数可用变分直接方法确定 ,而校正泛函中的拉氏乘子可用变分理论最佳确定 .应用这种方法不会出现长期项 ,其结果表明这种新方法是比较有效的 .     

著名的Cantor函数及其应用实例

Cantor函数是由Cantor集经过巧妙的方式构造出来的，Cantor集的奇特性质赋予了Cantor函数的独特性。本从Cantor函数的构造出发，着重讨论了利用它的单调连续性来说明实变函数中的一些问题的应用实例。     

扩展乘数法与无界函数的多项式逼近(Ⅱ)

§1.引言这是同名论文的继续.在中我们曾系统地研究了“扩展乘数法”的基本原理及若干具体应用.在这个工作中,我们将进一步应用扩展乘数法原理来研究一类新的多项式算子关于多元实变函数的逼近性质.在这里实变函数的定义域假定是整个空间.     

边界层函数法在微分不等式中的应用

针对一类常微分方程奇摄动边值问题, 介绍了用Vasil’eva\,边界层函数法来构造Nagumo定理中的上下解, 并用微分不等式证明了解的存在性和进行了余项估计. 用边界层函数法来构造上下解更具有普遍性, 且使用方便.     

应用导数方法证明不等式

不等式的证明在高等数学中起着重要作用,它没有固定的模式,方法灵活多变,因题而异,且技巧性强,是高等数学中比较困难的问题之一。常见的不等式有三种:函数不等式、数值不等式和中值不等式,有些数值不等式的证明可以通过构造辅助函数化为函数不等式来证明。本文仅通过典型例子来具体说明导数方法在证明不等式中的应用。     

广义Riemann引理的新证明及应用

本文所证定理出自于文献［１］，这是数学分析中的黎曼引理在平面区域上的推广。本文利用实变函数的知识，给了此引理的一个新证明，它比已有的证法简捷得多。     

分析学原理在求解实变函数问题中的应用

将数学分析中的有关原理(双射原理和区间套原理)引入到实变函数相关问题的求解中,巧妙地解决此类问题,使得实变函数的复杂问题能够通过数学分析的途径找到有效的解决方法.     

例谈微分中值定理中辅助函数的构造方法

函数是进行科学研究和解决实际问题的必要工具之一,在数学证明中,尤其在微分中值定理中的证明及应用中,经常要构造辅助函数.作为一种解题的技巧,用辅助函数解决问题是常用的方法.本文归纳总结了微分中值定理中构造辅助函数的几种基本方法.     

三类方程在微积分中若干典型应用

讨论以代数方程、微分方程、函数方法、差分方程为工具,解决微积分中的各类常见问题的典型方法,内容包括极限、定积分、重积分、变限积分、级数的展开与求和,辅助函数的构造等各方面的常见题型。在[1]中我们讨论了代数方程,微分方程的应用,在此我们将着重讨论函数方程,差分方程及微分方程在更广泛的问题中的典型应用。     

Cantor集的几个性质及其证明

Cantor集是集合论中的名例子，是实变函数及其后续课程中的重要集合，本给出了Cantor集的几个性质及其证明．     

一般化凸空间上KKM型定理对变分不等式解的存在性问题的应用

利用拓扑空间X的积空间X×X的实值函数构造出一个一般化凸空间,并根据已知的KKM型定理在该空间上讨论变分不等式解的存在性问题.