集对分析中联系数的运算及其应用

联系数形式为μ=a bi cj,a,b,c∈R,i∈[-1,1]j=-1或μ=a bi，μ=a cj，μ=bi cj，是普通数的概念的推广，在解决不确定性问题中有很广泛的应用。定义了两个联系数相等的概念，给出了各种形式的联系数的加法、减法、乘法、除法及其运算规则。以加法为例，可以得到这样的结论：∑k=1^n μk=∑i=1^nak ∑k=1^nbki ∑k=1^nckj,∑k=1∞μk=limn→∞∑k=1^nμk=limn→∞∑k=1^nak limn→∞∑k=1^nbkj limn→∞∑k=1^nckj和同时对这些运算给出了简单的应用。     

第二类推广Stirling数的一个公式

L．Comtet对第二类Stirling数进行了推广，并已获得了相应的结果。对于第二类推广的Stirling数给出了一个指数型生成公式∑n=k^∞Sn(n,k)n!t^n=k∑i=0 eai /Пk(ai)，利用这个公式获得了几个相关的支持性结果。     

一类Lucas数方幂和

设Un，Vn是Lucas数，实数d≠0，使用发生函数方法给出下面形式方幂和计算公式：∑k=1^nUk^rd^k，及∑k=1^n（-1）^kUk^rd^k。     

函数Riemann和式的类Taylor级数展开式

如果一元解析函数f(x)无f限阶可导,其Taylor级数展开式f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)/2!x~2+…+f~((k))(0)/k!x~k+…=∞∑k=0f~((k))(0)/k!x~k.本文讨论将一元无限阶可导函数f(x)在区间[a,b]上的Riemann和式b-a/nn∑k=1f(a+k/n(b-a))展开成1/n的级数:b-a/nn∑k=1f(a+k/n(b-a))=A_0+A_1·1/n+A_2/2!·(1/n)~2+···+A_i/i!·(1/n)~i+···可以看到,这个展开式在形式上与函数的Taylor级数展开式非常相似.     

关于3x+1问题的一点注记

给出了3x 1问题的三个等价命题,其中构造数列{T^(k)(n)2∑^k-1i=0i^x(n)}k=1 ∞,证明它是一个单调递减下有界数列。     

Carleman不等式的新加强

运用一些分析技巧,对有限项Carleman不等式进行非严格化,给出了无限项Carleman不等式的2个新的加强式,得到了e∑nk=1kk+1αak-∑nk=1(∏ki=1ai)1/k≥Ane∑nk=11k-∑nk=1(k+1)α/k(k!)1/k;∑∞k=1(∏ki=1ai)1/k≤e∑∞k=1kk+1αak;∑∞k=1((k+1)α∏ki=1ai)1/k≤e∑∞k=1ak.其中,α=1ln 2-1≈0.442 695…,ak>0,k=1,2,…,An=min1≤k≤nkα+1(k+1)αak.     

关于概率多项式时间谱系的一些结果

研究概率多项式时间谱系的结构性质,证明了:(1)如果BP∑_(k+1)~pBP∑_k~P,则PH=BP∑∏_K~P;(2)如果BP∑_k~PBP∏_k~P,则;PH=BP∑_K~PP;(3)对任意n,k≥0,BP∑_K~P(BP∑_n~P)=BP∑_(n+k)~p,BP∑_n~P(BP△_(k+1)~P)=BP∑_(n+k)~n;(4)对任意n,k≥1,BP∑_n~P(BP∑_k~p∩BP∏_k~P)=BP∑_(n+k-1)~P这些结果说明概率多项式时间谱系与多项式时间谱系有相同的结构性盾,但也有差别.     

关于组合幂和式的渐近展开

利用发生函数方法给出了组合和式∑nk=0nkkl的精确公式,从而得到了与第二类Stirling数有关的恒等式,并且进一步研究了组合幂和式∑nk=0nkrkl和∑nk=1nkr1kl的渐近性.首先借助于分析学工具和渐近估计方法定出整个和式起决定性作用的部分∑k∈Ankkl(其中A={k:1/2-ε≤k/n≤1/2+ε}),然后通过Euler-Maclaurin求和公式估计和式∑k∈Ankkl,最后给出了组合幂和式的完全渐近展开式.     

关于Van der Corput不等式的进一步改进

对Van der Corput不等式进行了研究，并将其进一步改进如下：设αn≥0,Sk=∑m=1^k 1/m,则∑n=1^∞（∏k=1^nαk^1/2)^1/sn≤e^1 γ∑n=1^∞ e^-1/4n(n-1/3n logn)αn，其中γ为Euler常数。     

一类以Lucas数为系数的线性不定方程

设a ,b为整数 ,b≠ 0。广义的Lucas序列 {Vn}定义为v0 =2 ,υ1=α ,υn z=αvn 1bvn(n≥ 0 )。设a ,b ,c ,n ,k ,m ,r为整数 ,求解关于t1,… ,tm -r 的不定方程　　 ∑m -ri=1tieiυk(m 1-i) =c(k >0 ,m - 1>r≥ 0 ,c∈Z ,ei =± 1,i=1,… .m -r) .给出了在求解及构造F-L恒等式方面的应用例子。