数列{sinn}的聚点充满闭区间[—1,1]

在数学分析课程的教学中,经常要遇到证明数列{sinn}的极限不存在的问题。例如在求极限(?)((n~2)~(1/3)sinn)/(n 1)时,有的学生按以下方法去做: 教师应当指出,这种做法是错误的。因为{sinn}的极限不存在,所以不能运用极限的四则运算法则。但是如何证明{sinn}的极限不存在呢?这个问题看起来比证明函数sinx当x→ ∞时的极限不存在要困难,事实也是如此,学生对此往往感到束手无策。这里,我们先给出两种在教学上可行的证明。     

关于数e/第二重要极限的几种证明方法

极限存在的两个准则以及由它们所推导出的两个重要极限,在求解极限问题中都占有很重要的地位。但是,我们往往注重的仅仅是它们在求极限过程当中的运用,而忽略了它们本身的证明,尤其是由准则Ⅱ所推导出的重要极限limn→∞(1 1n)n=e。针对这一现象,也为了拓展学生们在数学学习中的思维,本文主要给出重要极限limn→∞(1 n1)n=e的几种证明方法。最后,给出数e是无理数的证明。     

数列{(1+1/n)n}收敛性的几种证法

对数列极限中的重要极限limn→∞(1+1n)n的存在性,分别用二项式展开定理、贝努利不等式、平均值不等式、构造不等式等方法,给出了不同的证明.     

2个e数列双边不等式的改进

证明了由e数列E(n)=1+1nn与S(n)=1+1n{n+1}所产生的算术平均数列A(n)=1+12n\5E(n)及反对数平均数列L{-1}(n)=1+1n(ln E(n))E(n)是单调递减数列;然后,利用其结果对2个e数列的双边不等式作了实质性的改进.     

判定数列单调性的几个方法

单调有界原理是我们判定数列是否存在极限的一个准则。本文针对学生运用这个准则判定数列是否有极限时不知怎样判定数列的单调性问题,介绍了几种常用的判定方法。     

lim(n→∞) (1+1/n)~n存在性的一个新证明

本文从一个简单的不等式出发,给出了极限lim (1+(1/n))~n 存在性的一个新的证明,同时给出了数列{(1+(1/n))~n}上界的一种很有意义的简单估计。     

重要极限limu→∞(1+1/u)u=e的两种新证法

高等教学教材中对重要极限limu→∞(1 1/u)u=e的证明,给读者的理解造成一定的困难.作者在文中给出了该极限两种新的证明方法,能较容易理解这种极限的存在性和极限值.     

重要极限lim from (u→∞)((1 (1/u))~u)=e的两种新证法

高等数学教材中对重要极限lim from (u→∞)((1 (1/u))~u)=e的证明,给读者的理解造成一定的困难。作者在文中给出了该极限两种新的证明方法,能较容易理解这种极限的存在性和极限值.     

Fibonacci数列与黄金分割数

记{Fn}为Fibonacci数列.一个已知的事实是:比值数列{Fn/Fn+1}是收敛的,而且其极限恰为黄金分割数.文章给出这一基本结论的一个新的、内蕴的证明.同时,由此得到黄金分割数的连分数表达.     

广义Liénard方程极限环存在性定理及其应用

关于极限环论的研究,过去只研究了极限环内含奇点的情况:讨论极限环的存在性,唯一性,稳定性以及如何产生,如何消失,本文提出一个新的数学模型如下 x-αx+βx~3+g(x)=0其中 ω_0~2(x-e) x>e g(x)= 0 -e≤x≤e ω_0~2(x+e) x<-e这个方程不满足通常的极限环存在性与稳定性定理,因为有一个奇线段,所以我们称为广义的Liénard方程,本文给出了这个方程存在与稳定性的证明。 然后给出这个方程的数值解,表明极限环是存在与稳定的,并且得到一些有兴趣的性质:表明奇线段的影响,这些结果应用到轧钢机打滑时考虑间隙激起的自激振动是有实际意义的。     

关于Bethe树图上二值马氏链场渐近均分割性

本文的目的是要研究Bethe树图上二值马氏链场的渐近均分割性 为此先证明Bethe树图上二值马氏链场的若干强大数定律 ,并由此证明其具有a .e .收敛性的渐近均分割性 文中用一种研究概率论极限定理的新方法来证明其结果     

关于Bethe树图上二值马氏链场渐近均分割性

本文的目的是要研究Bethe树图上二值马氏链场的渐近均分割性。为此先证明Bethe树图上二值马氏链场的若干强大数定律，并由此证明其具有a.e.收敛性的渐近均分割性，文中用一种研究概率论极限定理的新方法来证明其结果。     

数列极限唯一性证明的研究

通过对数列极限唯一性证明的探究,说明了数列极限唯一性证明中取2b a的原因,并且给出了还可以取其它值,希望对初学者学习数列极限唯一性证明有所帮助。     

试用反向对应重合数轴法证明哥德巴赫猜想

利用反向对应重合数轴法 ,通过求证重合数列中 ,素重合数的比率大于零 ,在这个重合数列中就必定有素重合数存在 ,从而证明哥德巴赫猜想是正确的     

迭代数列的收敛性研究

为了判断迭代数列是否收敛,并求解收敛数列的极限,首先,将迭代数列转化为迭代方程;接着,利用压缩映射原理判断迭代方程是否存在不动点;最后,给出在完备及紧的距离空间上,函数存在唯一不动点的条件,从而判断迭代数列是否收敛,得到了判断迭代数列敛散性的若干定理.通过例子,说明了定理在判断迭代数列敛散性方面的有效性,且运用2种证明方法证明了著名的开普勒方程解的存在性和唯一性.     

试用反向对应重合数轴法证明哥德巴赫猜想

利用反向对应重合数轴法,通过求证重合数列中,素重合数的比率大于零,在这个重合数列中就必定有素重合数存在,从而证明哥德巴赫猜想是正确的.     

位置平均数公式的推导

一般平均数 (静态平均数 )按照取得的方法不同分为两类 :计算平均数和位置平均数。计算平均数是就各变量综合而平均的数 ,其主要有算术平均数、调和平均数、几何平均数 ;位置平均数是通过在分配数列中所处的位置特征而确定的 ,其主要有中位数和众数。因为计算平均数值要受每一个变量值大小的影响 ,所以当某些社会经济现象特征表现为品质标志型时 ,无法用计算平均数来计算 ;变量值存在极端值时 ,容易对平均数产生影响 ,降低平均数的代表性 ,无法用计算平均数来计算 ;有些社会经济现象特征虽然是数量标志型 ,即使可以取得与之相应的计算平均数…     

序列(1 1/n)~(n α)的单调性

在数学分析中,我们都知道序列(1 1/n)~n单调递增地趋向于一个重要的极限e,而序列(1 1/n)~(n 1)却是单调递减地趋向于e的。一般地,当α是任一实数时,很容易看出序列     

数项级数敛散性的判别法

本文利用数列极限与函数极限的关系，给出了数项级数敛散性的新判别法。     

平均数构造的数列性质

对任意给出的m个正实数,通过连续计算其去掉一个实数后所得数组的算术平均数,得到新的m个无穷数列。讨论了这m个无穷数列的性质,得出这m个无穷数列都收敛于初始数组的算术平均数,并将结论拓展到了通过计算几何平均数、调和平均数、平方平均数所得到的数列的情形。得出结论:对任意一个数组,连续计算去掉一个数据后所得数组的平均数,其数字特征不会发生变化,并且如果从每次计算平均数所得的数组中任取一个数据构成无穷子数列,必定收敛于相应的数字特征。