(2+1)维KP方程的自相似解

对(2 1)维KP方程进行相似变换、Miura变换等将其化为具有Painlevé性质的非线性常微分方程.在此基础上,一是进一步将Painlevé性质的非线性常微分方程弱化为Airy方程;二是引入Boutroux变换,使转化后的方程具有椭圆函数解,在这两种情况下分别得到了该方程的渐近自相似解.     

一类非线性发展方程的相似约化

利用3种方法对一类非线性发展方程进行相似约化,使原来的偏微分方程约化为常微分方程,并得出其相似解.由于所得的常微分方程不是Painleve型的,可知这类方程不是可积的.     

一类高维非线性方程(组)自相似解的简易求法

对(2 1)维非线性偏微分方程进行相似变换后,根据相似变量不变性原理,提出了一个相似变量的复合变换,从而把(2 1)维偏微分方程最终化成常微分方程.将该方法用于KP方程、ZK方程、高维Burgers方程组,均得到了具有Palinlevé性质的常微分方程.通过进一步的分析求解得到KP方程和ZK方程的自相似渐进解,尤其是得到了高维耦合Burgers方程组的精确解.     

Gardner方程的自相似解

对Garndner方程通过变换先将其化为mKdV方程,再利用相似变换,化为具有Palinleve性质的常微分方程,最后利用Birkhoff Morgan方法求得Gardner方程的2种渐近自相似解.     

一类微分方程的约化及其约化方程的Painlevé分析

对一类非线性偏微分方程组进行行波约化和相似约化,使原来的偏微分方程约化为常微分方程,并对此常微分方程进行Painleve分析,进一步给出此类非线性偏微分方程约化后的常微分方程组只有“弱”Painleve性质,还给出微分方程具有“弱”Painleve性质的一个例证。     

KdV和KdV-Burgers方程的直接解法

利用文献中引入的变换,将非线性偏微分方程化为非线性常微分方程,再直接求解该常微分方程,从而简洁地求得了KdV方程和KdV-Burgers方程的若干显式精确解析解,包括孤波解、奇异行波解等.     

一类四阶偏微分方程的李对称分析、B(a)cklund变换及其精确解

利用齐次平衡法获得了一类四阶偏微分方程的B?cklund变换,进而得到方程的几组精确解;然后运用李对称分析方法,获得该方程的向量场,利用相似变换,把难于求解的非线性偏微分方程转化为易于求解的常微分方程,并通过求解所得到的约化方程,结合幂级数展开法,得到原方程的一系列精确解.     

非线性长波方程新的复合型精确解

在齐次平衡法和辅助方程法的基础上,引入两种函数变换,把二阶线性偏微分方程转化为二阶常系数线性常微分方程,并通过讨论常微分方程的解来构造一些非线性发展方程的精确解.借助符号计算系统Math-ematica,构造了非线性长波方程新的复合型精确解,验证了方法的有效性.     

变系数KdV方程的精确类孤子解

利用一种函数变换将变系数KdV方程约化为非线性常微分方程(NLODE),并由此NLODE出发获得变系效KdV方程的若干精确类孤子解.可见,用这种方法还可以求解一大类变系数非线性演化方程.     

非可积（3＋1）维KdV型方程的一类多孤子解

根据Painleve奇异分析或直接双线性方法或齐交平衡方法可得到一个非线性变换，能使复杂的（3＋1）维KdV型方程转化为简单的线性偏微分方程和双线性偏微分方程，然后从这些简单的线性偏微分方程和双线性偏微分方程出发，通过设定形式解构造出（3＋1）维KdV型方程的一类多孤子解。由于某些行参量选择的任意性，使得（3＋1）维KdV型方程的孤子解具有丰富的形式结构。