关于一个微分方程的解的定性研究

一、问题的提出早在150年以前人们就发现,一个常微分方程,即使是最简单的导数已解出的一阶方程,也可能没有初等解(可以表示为初等函数或初等函数的有限次积分的解),这一发现是微分方程定性理论产生的直接根源.因此,寻找一些形式很简单但却没有初等解的方程,并对它的解作定性的研究,对于常微分方程的教学来说,是十分必要的.1987年,法国的 A.Tissier 在《美国数学月刊》(The American MathmaticaI Monthly)     

粘弹性多孔介质渗流方程严格解的数值分析及应用

1976年Brutsaert和Corapcioglu[1][2]提出了粘弹性多孔介质渗流积微分方程的边值问题,并给出了近似解.在1980年至1981年凌镛镛,吴林高和吴林高分别依据线性常系数偏微分方程的基本解理论给出了方程的严格解。由于该严格解是不能用初等函数经有限步计算来表示的,所以难以用于生产实际。本文对严格解采用数值积分方法,得到了可用于生产实践的粘弹性多孔介质水位降深和地面沉降量的两个计算式,并用ALGOL语言编制了计算机程序.另外,本文还给出求参数的方法和计算实例。从实例可以看出;Brutsaert-Corapcioglu[3]近似解计算的水位曲线偏离实测水位曲线较大,而根据本文的理论公式计算的水位曲线与实测水位曲线基本一致。     

Banach空间积分—微分方程初值问题的解集

文[1]给出了 Banach 空间积分—微分方程初值问题解的存在性定理和解的存在、唯一性定理.本文在[1]的工作基础上,探讨了积分—微分方程初值问题解集的结构,证明了在一定条件下解集是一闭联集.     

c~n空间中多面体域上外微分式的积分表示

作者继文[1]和[2]给出多面体域上全纯函数的积分表示式,及此种域上可微函数的积分表示(即Leray-Stokes公式)之后,进而给出多面体域上外微分式的积分表示式。 本文采用文[1]中所有约定和记号。多面体域的定义也见文[1]。     

关于一阶常微分方程新的可积类型

本文给出二类一阶常微分方程初等可积的充分条件及其通积分。由这二类方程及其通积分可以推得许多新的可积型和古典可积的一阶常微分方程及其通积分,把[1]中所有一阶方程和[2]中黎卡提型方程都作为其特例。     

非自治微分方程的稳定性

本文应用两个函数研究非自治微分方程解的稳定性,推广了在文[1]中和在文[2]中的若干定理。用本文方法研究三阶非自治微分方程解的稳定性时,得到较文[4]、[5]更好的结果。     

非线性Volterra积分方程组及积分微分方程组的扰动定理

关于非线性 Volterra 积分方程和积分微分方程组的解在干扰作用下的渐近性质,近来已有了一些结果,如[1]、[2]。本文利用所建立的二个非线性的积分不等式来讨论这类问题,得到了与[1]、[2]不同的一些结果。§1.记号及引理在本文中,f(u)∈C[S、N]表示 f 是在集 S 上有定义且值域属于集 N 的连续实函数;f(u)∈C[S]表示 f 是在集 S 上有定义的连续实函数,f(a)∈X[I,R ]表示 f∈C[I,     

采场模糊渗流定解问题的可表示性

采空区气体模糊渗流问题由模糊偏微分方程所描述，模糊微分方程是未知函数及其导数与已知模糊函数或者模糊常数的条件等式。方程解的模糊性是由已知模糊函数或模糊常数所引起的。当已知函数或常数为区间值函数或区间数时，相应的方程为区间微分方程，由于模糊函数或模糊数的截集为区间值函数或区间数，通常，模糊微分方程的解是利用模糊函数或模糊数截集所对应的区间微分方程解通过表现定理给出。由于模糊微分方程的解必须是模糊函数，如果通过表现定理给出的模糊微分方程方程的解是模糊函数，则称方程的解是可表示的，本文在给出模糊微分方程解的可表示定义同时给出了解的可表示判定条件，并且证明了有采空区气体模糊渗流定解问题的可表示性。     

Fresnel积分∫0^＋∞sinx^2dx和∫0^＋∞cosx^2dx的计算

在一般的《高等数学》[4]教材中对于Fresnel积分的计算少有涉及,而在实际问题中,例如在研究光的衍射时,就会遇到Fresnel积分。因其被积函数的原函数不是初等函数,不能用牛顿-莱布尼茨公式来计算其积分值,但我们仍然能够通过其它途径来求其值。本文将给出几种求解Fresnel积分方法。     

Fresnel积分∫+∞0sinx2dx和∫+∞0cosx2dx的计算

在一般的<高等数学>[4]教材中对于Fresnel积分的计算少有涉及,而在实际问题中,例如在研究光的衍射时,就会遇到Fresnel积分.因其被积函数的原函数不是初等函数,不能用牛顿-莱布尼茨公式来计算其积分值,但我们仍然能够通过其它途径来求其值.本文将给出几种求解Fresnel积分方法.     

积分因子的一个性质的应用

本文通过引述一阶常微分方程关于积分因子的一个性质,用统一的方法验证基本初等函数的加法定理,并指出:对一些常见的互逆初等函数的对应性质一般可以用一个一阶方程统一起来。 考察一阶常微分方程     

一类特殊类型的Riccati方程的求解

Riccati方程在常微分方程中占有重要的位置。然而,对于一般形式的里卡蒂方程通解的求解一般没有初等解法,其解无法用初等函数或其积分表示。本文讨论了一类特殊类型的里卡蒂方程解的求解方法,并得出了其通解的公式,最后举例说明求这类方程的通解。     

Banach空间中的一阶脉冲积微分方程无穷边值问题

通过建立一个新的比较定理,利用上下解方法及单调迭代技术给出了抽象空间中一类具有无穷个间断点的一阶脉冲积分一微分方程无穷边值问题的最小最大解存在的充分条件,所获结论推广了文[6]的主要结果.     

沃尔什级数求解线性偏微分方程和积分方程的新方法

本文提出了用沃尔什级数求解高阶线性偏微分方程的一种新方法。先将偏微分方程化成积分方程,再用逐步逼近法来确定方程的沃尔什级数形式的近似解。本方法的特点是:①可以确定较高阶微分方程的近似解,②沃尔什函数具有取值的简单性,从而简化了计算的编程工作。本文先将偏微分方程化成积分方程,讨论了解的存在唯一性,提出对偏微分方程求解的方法,最后给出了实例。     

线性微分方程的解法

尽管由于计算数学和计算技术的迅猛发展,通过电子计算机可以迅速而且比较准确地处理有关常微分方程的求解问题。但是,正如人们所公认的,常微分方程的初等解法仍然是很重要的。对于一个常微分方程,不论从理论研究的角度,或从实际应用的角度,若果能用初等函数的积分表达其解,那就有助于进一步分析问题和解决问题。可是,实际上能用初等积分法求解的常微分方程为数不多。长期以来,可积类型的常微分方程也增加很     

解新的一类非线性常微分方程的常数变易法

本文利用常数交易法,解新的一类应用较广泛的非线性常微分方程,以及它的特例广义Riccati方程,给出了可积的充分条件及其通积分的表达式,所得结论是文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]相应结果的推广.     

传热导方程的边界元分析

本文用边界元方法来处理热传导方程的初边值问题,给出解的边界积分方程及其变分形式,并证明了变分方程的适定性,同时导出了近似解的误差估计。所得到的结果包含了文[1]的情形。     

算子不等式的一个比较定理及其对积分不等式的应用

近十多年来 Gronwall—Bellman 型的积分不等式因其具有日益增多的广泛应用而获得了迅速的发展。这类不等式的推广通常是沿两种既互不相同又密切联系着的途径进行的,其一直接给出各种积分不等式的解的由己知函数明显表示的界值。而另一则将所论积分不等式的解与某个辅助微分方程初值问题的解加以比较,从而利用后者给出积分不等式的解的估     

积分法中选取u,v的简化方法

文[1]给出了分部积分法中选取u,v的6种常用方法,无疑是正确的,但不易记忆。我在教学中总结了两句口诀,现提出来就教于同行。口诀一:指三幂对反,孰后为u解将5种基本初等函数按指数函数、三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数的顺序排列,当被积函数为两种函数的乘积时,按上述顺序,选择排在后面的那种函数为u.特别地,若是指     

剪切冲击下含裂纹机体的解析研究

受剪切冲击作用的含裂纹半平面的动力学问题,本文利用结合面的边界条件,将问题中所有各量用单一未知函数表示,用积分变换方法将受剪切冲击作用的含裂纹半平面问题化为对偶积分方程,并用[3]方法给出解。