Π空间上正则压缩算子

在文献[1]中引入正则压缩算子概念,并证明正则压缩算子必有Halmos或Nagy意义下酉膨胀,从而导出正则压缩算子的共轭算子也是正则压缩的。在证明中,证明酉膨胀存在性花了很长的篇幅。自然,能否给出正则压缩算子的共轭算子仍是正则压缩(特别,Π_k上压缩算子的共轭算子仍是压缩算子)这一重要问题的简捷证明是人们感兴趣的问题。本文正是为此而作。     

∏_1空间上循环自共轭算子不变子空间

由文献[1],不妨设∏_1循环自共轭算子A在空间分解下有以下矩阵形式表示: A={λ_0,A_p,G,Q},(1)其中Z=[z],Z~*=[Jz],z为∏_1的非零零性向量,λ_0 ∈ R,A_p为P上自共轭算子,Q=Q~*。     

π_k空间上的压缩算子

设π_k为极大半负子空间的维数为k的Krein空间,(?)记为其上的不定内积。线性有界算子T称为压缩的,若对x∈π_k,满足(Tx,Tx)≤(x,x)。π_k真真空间上压缩算子的概念是由Krein、Iohvidov等人50年代提出的,那时,他们证明了π_k空间上的压缩算子必具有极大半负的不变子空间。60年代Naimark、舒五昌证明了π_k空间-族交换的压缩算子必具     

对偶算子代数的某些结果

对偶算子代数的X_(θ,r)性质与不变子空间问题及算子代数的自反性和超自反性问题均有十分密切的联系。我们进一步讨论了这种性质,证明了文献[1]中命题1.6和命题1.11     

关于Deddens,Rosenthal和Sarason的一个猜测

记为可分无限维复Hilbert空间,为上有界线性算子全体。对T∈,用Lat T表示T的不变子空间格,Deddens,Rosenthal和Sarason曾于1971年分别独立地提出下面猜测(见文献[1]及[2]p.197):     

算子的酉扩张

本文中讨论Hilbert空间或不定尺度空间上算子的酉扩张问题。假设T是Hilbert空间H上压缩(或有界)算子,如果存在Hilbert(或不定尺度)空间H_1,H_2以及从HH_1到HH_2上的酉(或按不定尺度为酉)算子U,使得T=P_HU|_H(P_H是HH_1向H的投影)就称(U,H_1,H_2)(或(U,H_1,H_2,J_1,J_2),J_i是H_i的度规算子)在Nalmos意义下T的一个酉扩张。进一步,如果H_1=H_2,T~n=P_HU~n|_H,n=0,1,2,…成     

关于算子方程A=A~*C

H是复Hilbert空间,B(H)是H上有界线性算子全体,C是复数域。对任何A,A~(-1)∈B(H),文献[1]中称算子C=A~(*-1)A为A的极·积算子,文献[1]对C作了较多研究,文献[2]中以极·积算子为工具,给出H上算子方程λA~2+μA~(*2)=αA~*A+βAA~*(λ,μ,α,β∈C)可解性的研究,并写出了它的全部解。文献[2]中主要用到当C为正常算子时,方程C=A~(*-1)A可解的充要条件以及它的全部解的表达式(见文献[1]定理5)。这就很自然地促使人们研究     

Toeplitz算子与Hankel算子

在文献[1]中,证明了对Hardy空间H~2(T)上Toeplitz算子T_φ与Hankel算子H_φ,若R(T_φ)R(H_φ)时,必有T_φ=0.本文主要讨论对与平移算子相关的Hankel算子与Toeplitz算子有关的问题,不但将它推广到一般情况,而且还讨论了与Beurling问题相对应的问题.记号见文献[2]. 设S为Hilbert空间上单向平移算子,K为对应的生成子空间,即K=Ker S~*.=     

向量空间张量积的等价性

在文献[1—3]中,我们讨论了向量空间、共轭空间以及对偶空间的等价性,我们证明了任何向量空间、共轭空间以及对偶空间都可视为向量空间的线性变换完全环的子环,并且在环的结构意义下展开成向量空间形式,从而使向量空间、共轭空间以及对偶空间都具有环的乘积结     

关于非负逼近的一个猜测

在文献[1]中,Halmos提出如下的猜测:对Hlbert空间上算子A=B+iC,成立 这里δ(A)表示A到Hilbert空间H中正算子集罗的距离。且证明了     

体上酉群在线性群中的极大性

在文献[1]中我们已经证明了任意域上的辛群、酉群(Witt指数≥1)、正交群(域特征≠2,Witt指数≥2)在线性群中的极大性。本文将这一工作推广到了任意体上的酉群,对域上正交群的Witt指数的要求也从不小于2放宽到不小于1。     

α(α≤■_0)重单侧位移的超不变子空间

著名的Beurling定理给出了一重单侧位移的不变子空间的完全刻划。亦即:u为一重单侧位移的非零不变子空间的充分必要条件是存在内函数φ(z)满足u=φ(z)H~2。随后Halmos证明了u为α(α≥1)重单侧位移的非{0}不变子空间的充要条件是,存在子空间N K及几乎处处以N为初始空间的部分保距算子的解析元素v(z),使得。这个定理的形式与Beurling形式出入较大,其原因,我们认为是一重单侧位移的不变子空间全是超不变的,α重位移则不然。因此,我们自然期望多重位移的超不变子空间也有类似于Beurling定理的形式。本文对重数的情形作了肯定性的解答,     

二重加权位移

文献[1]、[2]回答了Abrahmase问题2(见文献[3]),即给出了一重亚正规加权单向位移酉等价于Toeplitz算子的充要条件是它的权{a_i}满足     

关于诱导空间内部算子层次刻划的一点注记

文献[1]讨论了Lowen意义下的诱导空间中闭包算子与内部算子的层次刻划。上述刻划能否推广到格值诱导空间的情形?本文给出一个较文献[3]更强的结果,其证     

具有闭值域的Rosenblum算子

设A和B分别属于B(H_1)、B(H_2),B(H_i)是可分Hilbert空间H_i(i=1,2)上的有界线性算子全体。(δ_(AB:X→AX-XB,X∈B(H_2,H_1),定义了B(H_2,H_1)上一个有界线性算子,称这个算子为Rosenblum算子,记之为δ_(AB)。关于Rosenblum算子δ_(AB)有一个久悬未解的基本问题:什么条件下R(δ_(AB))成为按范数拓扑下的闭集?R(δ_(AB))记δ_(AB)的值域。1976年,Apostol给出A=B时问题的刻划性答案;在文献[2]中,Fialkow给出了A和B属于几个特殊算子类时问题的答案。在文献[3,4]中,作者给出了A或B是控制或余控制算     

关于可达全序格的一个问题

设A是可分无限维复Hilbert空间■上的(有界线性)算子,记为A∈■■,用LatA表示A的不变子空间格。如果LatA还是全序的,称A为单胞算子。一个抽象完全格■称为可达格,如果存在A∈■■使得■与LatA序同构(记为■≈LatA)。用格的术语,著名     

可分解算子的Banach可约性

复Bantch空间X上的有界线性算子T称为Banach可约的,若存在T的非平凡不变子空间M与     

到 L~1(μ)中的若干类算子的特征

文[1]讨论了从Banach空间X到L~1(μ)中的积分算子、核算子的特征,文[2]讨论了从X 到L~1(μ)中的有界线性算子、弱紧算子的特性.本文以算子的表示测度作为工具进一步刻划了各类算子的特征,并由算子的特性给出Banach 空间的一个结构定理,同时也给出积分算子的一个表现定理.     

关于初等算子的几个问题

设H是复Hilbert空间,B(H)表示H上线性算子全体。对A=(A_1,…,A_n),B=(B_1,…,B_n)是H上两个算子组,它们定义了B(H)上一个算子△(T)=sum from i=1 to n A_iTB_i,称△为初等算子。它是导算子δ_A:T→AT—TA和广义导算子δ_(AB):T→AT—TB的推广。关于初等算子的谱在文献[1-6]中进行了一系列讨论。本文主要讨论初等算子的范数、值域和核的关系的几个问题。     

Douglis代数意义下超复函数空间上∏算子及其性质

对于一阶椭圓型方程组在引进两个元素i,e——服从乘法规则i~2=1,ic=ei,e~(r 1)=0,e~0=1的可交换的A.Douglis代数后,可以写成简单形式Dw Aw B(?)=C。这里D是微分算子,D=(?) q(z)(?)z,q(z)是幂零函数。Dw=0的解称为超解析函数。算子D的生成解t(z)满足方程Dw=0,且可表示成形式t(z)=z T(z),T(z)∈B~1(C)的幂零函数。本文讨论Douglis代数意义下的超复函数空间上的∏算子及其性质。首先引进微分算子:其中