Euler-Poisson-Darboux方程奇型混合问题

其中β,β’是小于1的正常数。有一个很重要的特点,就是有奇线x=y,这个特点使它很接近于常微分方程论中的Fuchs方程。也可以说它是这类含奇线二阶偏微分方程最早和最多被研究的一个。从Euler以后,数学家已经指出了许多特性,每一特性常反映线性二阶方程某些特性。由于这方程在近代研究中的重要作用,人们比较注意这方程定解问题及其解的性质的研究。很早引起人们注意的是方程(1)的在奇线附近的正规解,即著名的Poisson公式。А.В.Видауzе指出当β’=β时的Couchy问题的解。E(β,β’)或较一般方程奇型第三问题的极值原理的研究中得出了奇型第三问题的解的表达式。本文主要研究E(β,β)的奇型混合问题。由于E(β,β)经过函数变换u=(y-x)~(-β)z,可以化为     

Euler-Poisson-Darboux方程的奇型第三问题

本文讨论了Euler-Poisson-Darboux方程E(k/2,k/2)u=u_x,-k/2 (1/(x-y))u_x+k/2(1/(x-y))u_y=0(k>2,k不是自然数)(1)的奇型第三问题我们把方程(1)的解u分为在奇线附近有不同奇性的两部分u_1、u_2,再逐一来求u_1、u_2.用这一方法克服了方程(1)在讨论第三问题时用一般方法遇到的困难,从而解决了问题(E).     

积分算子与一类广义超几何偏微分方程

算子H_(α,β)有许多应用,例如,可将(0.1)满足(0.4)的奇Cauchy问题的解化为求波动方程对应的Cauchy问题的解;也可由Laplace力程的基本解求椭圆EPD方程的基本解;此外,可利用H_(α,β)演化后的算子作用于波动方程的通解而得到(0.1)的解的Poisson和Volterra表达式,等等。 本文解决了如下两个问题: 1.将_(α,β)推广到一类奇性高阶带有参数和算子的方程中去。拓广条件(0.4)。并开拓H_(α,β)的适用范围。 2.不难看出,H_(α,β)与(0.1)的正则解对应;本文得到与(0.1)的另一类奇性解相对应的积分算子H_(α,β),起着H_(α,β)相对于正则解所起的作用。     

渐近线性波方程强迫振动的一个注记

本文讨论渐近线性强迫波方程周期解的存在性。在非线性项g(x,t,u)关于第三变量非单调以及简化的渐近线性限制下,我们得到了一个关于这个问题的新结果。     

关于Euler-Poisson-Darboux方程在奇线附近的正规解

关于含奇线方程的解在奇线附近的性质的研究在混合型方程定解问题的研究中是必须触及到的。含奇线方程最早和最多被研究的是所谓 Euler-Poisson-Darboux 方程 E(β,β′):     

方程φ(n)=2~(ω(n))P~(Ω(n))的可解性

Euler函数φ(n)是数论中的一个十分重要的函数,其中n为一正整数.有关Euler函数φ(n)的性质以及与Euler函数φ(n)有关不定方程可解性问题得到不少数论爱好者的关注与研究,得到很多极富意义的结果.讨论包含Euler函数φ(n)的方程φ(n)=2^(ω(n))P(ω(n))P^(Ω(n))的可解性,其中P为一个奇素数.基于Euler函数φ(n)的计算公式,采用分段讨论的方式,解决了方程φ(n)=2(Ω(n))的可解性,其中P为一个奇素数.基于Euler函数φ(n)的计算公式,采用分段讨论的方式,解决了方程φ(n)=2^(ω(n))P(ω(n))P^(Ω(n))的可解性,给出了其具体正整数解n=1以及其余正整数解的形式.根据本文所给出的结论,可相应的给出某些方程的正整数解.     

二阶拟线性退化抛物型方程的混合边值问题

当α≡0,β不为0时,问题(1.3)化为第一边值问题,它的可解性已有很多人研究,当α≠0时,问题(1.3)是第二边值问题,这也有不少作者进行研究,其解的存在性和光滑性已得到能决,可参阅[1].但是当α在S的某些点上为零,而在其余点不为零时,问题(1.3)的解存在吗?此解的光滑性又如何呢?我们知道,当A是线性椭圆算子的时候,即使f是光滑的,u也不一定是光滑的.因此必须对α和β加上适当的限制,才有可能保证解的光滑性.本文借助于泛函分析工具证明了问题(1.3)解的存在性和光滑性.2.我们先考虑二阶线退化抛物方程的混合问题:     

Sine-Gordon方程的某些定解问题解的存在性(α≠β)

本文利用α≠β文的近似解,证明了Sine—Gordon方程的第五问题(α≠β)解的存在性(含收敛性).对第三、四问题,用特殊的网格布置法,把它们的支柱化为“对称性”的问题.用类似α≠β的方法构造它们的近似解,并证明了解的存在性.     

关于m-增生算子的扰动方程可解性的几个问题

设Z为-Banach空间,T、C为两个定义、取值均在Z内的算子,本文讨论算子方程 Tx+Cx=f (E) 解的存在性,其中f∈Z所运用的主要方法一是在具有紧予解(T+αI)~(-1)的假定下,运用度理论解(E)的等价方程。其中I为恒等变换,α为一正常数,二是考察逼近问题解的存在性, 本文的结果改进和推广了Kartsatos[4,5]中的某些结果     

一类三阶线性偏微分方程奇性定解问题的显式解

本文研究了下列三阶Fuchs型方程: U_(xyz)+a/(x+y+z)U_(yz)+a/(x+y+z)U_(2x)+c/(x+y+z)U_(xy)+d/(x+y+z)~2U_x +e/(x+y+z)~2-U_y+f(x+y+z)~2U_z+g/(x+y+z)~3U=0 (1)(其中a,b,c……,g均为常数) 的奇柯西问题、奇第三问题及奇第四问题。当方程(1)的系数满足一定关系时,证明这些问题是适定的,并给出了解的表达式。当(1)的系数不满足上述关系时,我们对一个较简单的方程(33),通过Riemann公式建立了其柯西问题解的表达式。     

高维空间中一类二阶拟微分算子解的奇性分析

本文仿照M·Beals 研究半线性波动方程解的奇性强度和自蔓所用的方法(见1983数学纪事118卷)构成空间L~(s’r’g)来研究二阶拟微分算子P=(D_t—a(D))(D_t十a(D))的解的奇性,得到了和半线性波动方程相类似的结果,指出了在Lacuna 中u∈H_(loc)~(3s-n+1-ε)(ε>0).     

Sine-Gorden方程的某些定解问题解的存在性及其数值分析方法(一)

有许多作者,从物理,几何和分析的角度,对Sine-Gorden方程(1)解的性质以及更广泛的方程作了研究。 Montel将常微分方程中Euler折线法推广到拟线性偏微分方程中,证明了方程(2)的特征问題(即第一问題)解的存在性(“分区”考虑),但此方程的第三四五问题没有解决。当定解条件特殊时,我们研究了方程(1)的第三四和五问题解在全平面上存在。本文仅讨论了第五问题(支柱对称)解的存在性,其方法采用Montel差分方法的思想,提出了整体构造近似解的计算方法(即“转圈构造法”),克服了困难,得到了近似解,然后应用Arzela定理,证明了解的存在性,从近似解构造本身,实际上给出了数值分析方法,有助于实际应用。对方程和条件的右端可适当推广。对于方程(1)的第三四问题以及第五问题(支柱不对称)较复杂,但皆可化为支柱对称情况解决(待续)。     

二阶非线性差分方程的非振荡性

本文讨论二阶非线性差分方程△(r_n△x_n)+f(n,x_n)=0 (1)的非振荡性。我们有如下结果:a) 若有sum from k=n_0 to + (1/r_k)<+∞,则方程(1)的非振荡解有且仅有下列四种类型:K_α~β,K~∞,K_0~β,K_0~β,K_0,;b) 若有sum from k=n_0 to + (1/r_k)<+∞,则方程(1)的非振荡解有且仅有下列三种类型:K~0,K~β,K_α~0;c) 当f是超线性或次线性时,给出了方程(1)存在属于K_(■)~β,K_(■)~β,K_0~β,K_α~0,K_(■)~β型非振荡解的充要条件。这些结果已推广并改进了Szmanda在[5]中的结论。     

电子注聚焦理论中所出现的非线性微分方程(Ⅱ)

作为文[1]的继续,本文利用方程(1),(2)的周期解u(x)的级数展开式(4)来研究此解的稳定性。所得结果与文[3]中借助于实验而得到的结果十分一致(见图1)。就是说,当0<α<0.4或0.658<α<1,u(x)是稳定周期解,而当0.4<α<0.658,u(x)是不稳定的。我们已在[1]中看到,在曲线u=u~*(x_0,α)(文[1]中简记为u=u~*(x_0),它表示(1),(2)的解族的第一个极小值点与极大值点的轨迹)的几何性质与(1),(2)的周期解的存在性与个数之间有着极为密切的关系。本文借助于数值计算进一步发现当α=0.4时,曲线u=u~*(x_0,α)的形状产生突变。就是说,当α增大而通过0.4时,u=u~*(x_0,α)由图2中的曲线Ⅱ变为曲线Ⅲ。所有这些现象以及前段所说的稳定性性质都有待于人们从理论上给以严格的证明。最后,本文从数学观点给几个熟知的实验结果(见[4],第三章,106页)以新的解释,它和工程师们所给的解释不一样。     

有理型差分方程X(n 1)= (βXn δx(n-2))/(A BXn CX(n-1)) 解的性质的进一步研究

E.Camouzis研究了非线性差分方程X(n 1)= (βXn δx(n-2))/(A BXn CX(n-1)) 解的大范围性质研究,得到了一些有趣的结论,并提出了三个开问题(open problem)和两个猜想(Conjecture)。本文用E.Camouzis文章中的方法和分析、图表的方法对上述方程进行进一步研究,得到了方程 X(n 1)= (βXn δx(n-2))/(A BXn CX(n-1)) 及其变式的渐进稳定性和全局吸引性的结论,并用图形进行了验证。     

某类椭圆型方程的奇摄动(Ⅲ)

我们继续研究在[2][3]中所提出的,部分最高阶导数含小参数的椭圆型方程的奇摄动问题。前文已经对(?)u_ε/(?)y项的系数α_0(y,x)≥β_0>0的情形,导出解的m阶渐近展开式(α_0(y)只与y有关时,展开式具有更简单的形式[2])。本文将进一步证明当α_0(y,x)≤α_0<0的情形时,解的m阶渐近展开式。虽然它具有与[3]中相近的形式,但其边界层已不发生在柱形区域R的上底(即y=A)附近,而是发生在R的下底(即y=0)附近。综合这几种结果,可以导出一般性的定理,即对于这类部分最高阶导数含小参数的椭圆型方程的奇摄动问题,边界层与α_0(y,x)符号的关系为:当α_0(y,x)≥β_0>0时,边界层项应在y=A附近构造,而退化方程的初始条件应取在y=0上;当α_0(y,x)≤α_0<0时,边界层项应在y=0附近构造,退化方程的初始条件应取在y=A上,加上在R的侧面边界Q上的边界条件,在R内解抛物型方程的混合问题。     

Euler—Poisson方程奇型混合问题(摘要)

其中β,β′都是小于1的正常数,是含奇线二级偏微分方程最早和最多被研究的一个。从Euler以后,已经指出许多特性使人们相信,在偏微分方程中某种理论类似常微分方程的某种理论。Fuchs及其学生曾试图推广其理论到偏微分方程中而未获成功,方程E(β,β′)定解问题及其解的性质的研究,是引起人们比较注意的问题。这些结果中最根本     

一类四阶具有p-Laplacian算子微分方程周期解的存在性

本文主要利用Mawhin连续性定理,讨论了一类四阶带有变时滞的p-Lapcaian型泛函微分方程:((φ)p(x(n)(t)))(n)+f(x’(t))+β(t)g(t,x(t),x(t-τ(t)),x’(t))=e(t)周期解的存在性,得到了方程周期解存在性的相关结论.这与已有的文献的结果不同,所考虑的方程更一般,从而所得的结果就更有广泛的意义.     

高维半线性波动方程解的正则性分析

复旦大学陈恕行首先定义了溶合函数,利用它讨论了半线性波动方程■u=f(x,u)的解的奇性传播与奇性干扰。他考虑的非线性项f(x,u)是一个具有C~∞系数的多项式,那么当f(x,u)是关于x,u 的一般C~∞函数时,所得到的结果是否仍然成立?本文利用Fourier分析的方法肯定回答了这个问题,从而得到了解的奇性传播与奇性干扰在一个更广的范围内仍然适用。     

广义Liénard方程极限环存在性定理及其应用

关于极限环论的研究,过去只研究了极限环内含奇点的情况:讨论极限环的存在性,唯一性,稳定性以及如何产生,如何消失,本文提出一个新的数学模型如下 x-αx+βx~3+g(x)=0其中 ω_0~2(x-e) x>e g(x)= 0 -e≤x≤e ω_0~2(x+e) x<-e这个方程不满足通常的极限环存在性与稳定性定理,因为有一个奇线段,所以我们称为广义的Liénard方程,本文给出了这个方程存在与稳定性的证明。 然后给出这个方程的数值解,表明极限环是存在与稳定的,并且得到一些有兴趣的性质:表明奇线段的影响,这些结果应用到轧钢机打滑时考虑间隙激起的自激振动是有实际意义的。