(n+1)维Sinh-Gordon方程新的椭圆函数周期解

通过引入一个函数变换将(n 1)维Sinh-Gordon方程转化为新的多项式型的非线性偏微分方程.然后由行波约化将其常微分方程化,在拟设法、齐次平衡法和Jacobi椭圆函数法的基础上,借助Mathematica软件和新近提出的F-展开法,求出并研究了(n 1)维SG方程的Jacobi椭圆函数表示的双周期波解,分析了解的结构,在极限情况下这些解退化为相应的孤立波解、三角函数解和奇异行波解.利用数学软件绘出了对应的图形.为进一步研究(n 1)维SG方程在众多的自然科学领域的更广泛的应用提供了理论依据.     

用修正的F-展开法求解(n+1)维Sine-Gordon方程

用一个未知函数的变换将(n 1)维Sine-Gordon方程转化为新未知函数及其偏导数为变元的多项式型的非线性偏微分方程.在拟设法、齐次平衡法和Jacobi椭圆函数法的基础上,借助Mathematica软件和修正的F-展开法,求出了(n 1)维SG方程的Weierstrass椭圆函数解、Jacobi椭圆函数表示的双周期波解,研究了极限情况下解的退化形式,利用数学软件绘出了部分解对应的图形.研究表明,许多解在欧氏变换下是等价的.     

(2+1)维非线性分数阶Zoomeron方程的新精确解

通过复变换将高维非线性分数阶偏微分方程转化为整数阶常微分方程,然后利用扩展的(G'/G)-展开法,构建(2+1)维非线性分数阶Zoomeron方程的新精确解,其中包括含参数的双曲函数解、三角函数解和有理数解.     

(3+1)维非线性分数阶Jimbo-Miwa方程的新精确解

本文首先利用复变换和整合分数阶导数方法将(3+1)维分数阶Jimbo-Miwa方程转化为常微分方程,再用扩展的(G′/G)-展开法和新的辅助方程求出了分数阶JM方程的新精确解.这些解包括双曲函数解、三角函数解和有理函数解.     

用F展开法解Sine-Gordon方程

用未知函数的变换将Sine—Gordon方程变换成新未知函数及其偏导数为变元的多项式型的非线性偏微分方程。这个偏微分方程可用F展开法求解。因这里的F代表每一个Jacobi椭圆函数，所以F展开法可看作是Jacobi椭圆函数展开方法的概括惑浓缩，并不需要计算Jacobi椭圆函数，我们得到Sine-Gordon方程的10种借Jacobi椭圆函数和双曲函数表示的精确解。     

双(G/G',1/G)展开法求解(3+1)维mKdvZK方程和(3+1)维YTSF方程的新孤子解

研究(3+1)维修正Korteweg-devries-Zakharov-Kuznestsov方程和(3+1)维Yu-Toda-Sassa-Fukuymama方程的解。首先利用行波变换和代入变换将(3+1)维mKdvZKE和(3+1)维YTSFE转化为常微分方程,而后选择双(G/G’,1/G)展开法得到多个与现有的文献不同的精确解。本方法丰富了(3+1)维修正Korteweg-devries-Zakharov-Kuznestsov方程和(3+1)维Yu-Toda-Sassa-Fukuymama方程的解,说明所用方法和过程对构造非线性演化方程的精确解具有科学性和通用性。     

n维Fisher方程的精确解及定性分析

利用试探函数法构造了n维Fisher方程的几个新的精确解,并运用常微分方程定性理论讨论了行波解的稳定性.     

Burgers-KdV方程的系列解析解

Burgers方程与KdV方程是流体领域中的两个重要方程,Burgers-KdV方程具有丰富的内涵,是许多领域内研究内在规律的控制方程。首先用行波变换,将Burgers-KdV控制方程化为非线性常微分方程,接着采用辅助方程法、双曲余切函数展开法、双曲正切函数展开法、余切函数展开法、正切函数展开法获得新的3种类型孤波解和两种类型的周期波解。这些方法也可以用于求解其他有类似性态的微分方程。     

积分微分KP层次方程的精确行波解

对KP层次方程进行积分变换和行波变换得到常微分方程,利用扩展试验方程法把求解常微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题,根据不同情况得到了KP层次方程的钟状解、三角函数解、双曲函数解和椭圆函数解的精确表达式,这些解的显示表达式是首次求出的.这种方法对于求解非线性偏微分方程十分有效并且能够得到许多新的精确解.     

广义(2+1)维浅水波方程的精确解

通过行波解法将广义(2+1)维浅水波方程转化为常微分方程,然后借助辅助方程得到大量新的精确解,其中包括椭圆函数解、双曲函数解、三角函数解等.     

无阻尼单摆运动方程的精确解

分别引进不同的未知函数的变换,将无阻尼单摆运动方程转化为等价的新未知函数及其导数为变元的多项式型的非线性常微分方程.这种常微分方程可用F-展开法求解.因这里的F-代表每一个Jacobi椭圆函数,所以F-展开法可以看作是Jacobi椭圆函数展开方法的概括或浓缩.无需计算Jacobi椭圆函数,得到了无阻尼单摆运动方程的14种借Jacobi椭圆函数、双曲函数和三角函数表示的精确解.     

含有任意次正幂项非线性广义BBM方程的精确解

利用F-展开法的思想(F是一阶四次常微分方程的一个解),将求含有任意次正幂项非线性广义BBM方程的精确解转化为求一阶四次常微分方程的精确解。并利用一阶四次常微分方程的部分正精确解求得含有任意次正幂项非线性广义BBM方程的一些精确解,包括钟状孤波解、扭状孤波解以及用三角函数表示的周期解。     

(2+1)维KdV方程的周期波解和孤立波解

扩展了最近提出的F-展开法并用其求出了(2 1)维KdV方程的Jacobi椭圆函数表示的周期波解,在极限情况下得到了孤立波解和三角函数解．F-展开法作为Jacobi椭圆函数展开法的概括,还可以用来求解其它的非线性发展方程．     

变系数mKdV方程的椭圆函数周期解

通过引入一个波变换,将变系数mKdV方程约化为常微分方程.假设方程的系数满足特定的约束条件,借助符号计算软件Mathematica和扩展的F-展开函数法,在拟设法、齐次平衡原理和Jacobi椭圆函数展开法的基础上,求得了精确解的浓缩公式.利用第一类椭圆方程中P,Q,R的不同取值与相应的F(ξ)值之间的关系,从解的浓缩公式中,得到了丰富的显式精确解,特别是以两个不同的Jacobi椭圆函数表示的精确解.在极限的情况下,即当模疗m→1或m→0时,这些解退化为相应的类孤立波解和三角函数表示的精确解.该方法具有直接、简洁的特点,可以用来求解更多的在数学物理、自然科学和应用科学等领域出现的非线性偏微分方程的精确解.     

两类变系数KdV方程的新精确孤波解

通过试探方法得到辅助常微分方程的一些新的孤波解.利用该方程及其解,采用改进的tanh函数展开法研究了第1类和第2类变系数KdV方程,获得了在一定条件下的若干新精确孤波解.该方法也适合求解其他变系数非线性偏微分方程的孤波解.     

(2+1)维破裂孤子方程组的准确周期解

使用拓广的F-展开法,改进了其中的关键步骤,得出（2＋1）维破裂孤子方程组的一些准确周期波解,在约化条件下,得到方程组的孤立波解和其他形式的精确解.     

Chen-Lee-Liu方程的精确解

研究在非线性光学等领域出现的Chen-Lee-Liu(CLL)方程的精确解.通过对CLL方程的行波约化导出一个具有高次非线性项的非线性常微分方程.为了解该非线性常微分方程,给出一个新的辅助微分方程及其精确解.借助该辅助微分方程及其精确解,并根据齐次平衡原则,得到CLL方程的包络孤立波解和包络正弦波解.所用方法可应用到其它类似方程的求解.     

改进的截断展开法及其在变系数非线性方程中的应用

本文对截断展开法进行了改进.首先,通过行波变换,将偏微分方程(PDE)转化为常微分方程(ODE).然后,在截断展开中,采用了非线性Riccati方程F′=p qF rF2将复杂的变系数非线性方程转变为一组超定代数方程组.再利用计算软件mathematic求解出代数方程组.从而得到变系数非线性演化方程的精确解.我们将这种方法应用于第一类变系数KdV方程和广义变系数KdV方程,得到了一系列精确解,其中包括一组Weierstrass椭圆函数解.这组解可以表示成Jacobi椭圆函数解,在模数m→1或m→0时这组解又可以分别退化为双曲函数解和三角函数解.