导数的极限定义是达朗贝尔方法的倒退——学习马克思《数学手稿》的一点体会

伟大革命导师马克思为了阶级斗争的需要,大约在十九世纪的六十年代开始研究微积分,并写下了内容极其丰富的《数学手稿》。思格斯说:“马克思是精通数学的”,并且“有独到的发现”。马克思的《数学手稿》用历史的和辩证的科学方法,剖析了微分学发展的历史过程,对各个历史阶段的那些有代表性的数学家,既肯定了他们对发展微积分的功绩,又批判了其中的形而上学观点,并用辩证唯物主义的观点和方法对微积分学中最基本的概念——导数和微分作了科学的定义。所以,我们学习《数学手稿》,应该学习这种历史的和辩证的方法,并运用它来指导学科领域的改造。本文试从剖析达朗贝尔的方法入手,说明现代导数的极限定义甚至是达朗贝尔方法的一种倒退,因而必须按照马克思在《数学手稿》中所阐明的方法来定义导数。     

关于马克思的《数学手稿》

马克思的《数学手稿》,是马克思主义哲学的珍贵文献,是研究数学辩证法的光辉典范。马克思《数学手稿》的内容是十分丰富的,它除了包括关于数学在政治经济学上的应用、函数概念和极限理论等方面的笔记、片断以外,主要是关于微积分学问题研究的论文和札记。这些论文和札记不仅深刻地批判了有关微积分学奠基问题的各种错误观点,而且还就微分学的出发点、基本概念、方法转化以及发展历程,阐明了马克思自己的独到见解。 (一) 马克思从十九世纪五十年代开始到一八八三年(马克思逝世)为止,一直未停止对数学的研究。《数学手稿》就是马克思在这一时期里亲笔写上的有关数学研究的笔记、札记和论文。首先马克思研究数学是制定政治经济学原理、从事《资本论》这一革命巨著写作的需要。马克思在写作《资本论》的过程中,为了彻底揭露资本主义的剥削本质、全面阐述它的发生、发展和消亡以及社会主义必然胜利的理论,曾系统地研究和制定了政治经济学原     

译者的话

对于“马克思所遗留下来的极其重要的数学手稿”(《反杜林论》),恩格斯极为重视。但在马克思和恩格斯生前,都未能发表。在马克思和恩格斯的书信中,也包含与数学手稿有关的内容。1881年8月18日恩格斯在给马克思的信中说:“研究了你的数学手稿”,“我向你祝贺”。     

微分的本质是什么?

马克思在《数学手稿》中阐明,微分运算的本质是否定之否定。恩格斯在看了《数学手稿》之后致马克思的信中也指出:“特别值得注意的是,只有当(?)=(?)时,而且只有那时演算在数学上才是绝对正确的。”同时又指出:“……可以放心地把x′重新取做x;这己不     

对立统一法则支配“导函数概念”的建立

围绕马克思《数学手稿》的学习和讨论,事实上已对微积分学中许多重要问题,例如什么是“导函数”、“微分”?怎样看旧“极限”?以及对“变量”、“连续性”、“积分”等概念如何理解都有着不同程度的争论。而对“导函数”这个概念的理解,会在一定程度上反映对其它问题的认识,因此讨论清楚“导函数”概念是较为关键的问题。     

第五讲 微分(上)

微分是微积分的基本概念之一,它在微积分的理论和实际应用中有着十分重要的作用。在《手稿》关于微分这一部分中,马克思阐明了下列的基本思想:第一,用唯物辩证法科学地揭示微分概念的本质,指出微分概念和其它事物一样也有二重性。作为一个数学量,     

努力做一个辩证唯物主义者——学习马克思《数学手稿》的体会

马克思的《数学手稿》充满了唯物辩证法。马克思十分精辟地指出:微分是“扬弃了的或消失了的差”(《数学手稿》),并且肯定地令dy/dx=0/0。这不仅使我们进一步认清了微分的实质,而且给我们以明确的启示:数学工作者必须努力做一个辩证唯物主义者。 微分和积分,这个高等数学中的基本理论,数学工作者不知多少次接触它,但都没有深刻地理解它的实质。综观微积分产生以来的历史,从牛顿和莱布尼茨,到尔后的数百年,微积分都曾披上一层神秘的外衣。只有马克思精辟地阐明了微分的实质,亲手撕开这一层神秘的外衣。为什么数学家们不能说明的问题,马克思却能把它说明清楚呢?这个问题是值得我们深思的。     

微分演算的出发点

在当前波澜壮阔的学习无产阶级专政理论的运动中,马克思《数学手稿》的翻译出版,意义很大。“无产阶级必须在上层建筑其中包括各个文化领域中对资产阶级实行全面的专政。”落实到自然科学领域里对资产阶级的全面专政,就必须认真地开展学科领域的革命大批判。马克思的《数学手稿》,是我们开展学科领域革命大批判的光辉典范。     

学习马克思《数学手稿》的革命批判精神

马克思《数学手稿》是马克思主义理论宝库中的重要文献,是用马克思主义统帅自然科学的光辉样板。目前,正当我们学习毛主席关于理论问题的指示,学习马克思、恩格斯、列宁关于无产阶级专政的论述的时候,马克思《数学手稿》中译本发表了,这是一件可喜的大事。认真学习马克思《数学手稿》,掌握《数学手稿》的基本精神,对于我们开展自然科学     

用唯物辩证法改造数学的光辉典范——学习马克思《数学手稿》的体会

唯物辩证法的创立是人类认识史上“一个空前的大革命”。①它一经创立就成为无产阶级认识世界、改造世界的强大思想武器。列宁指出,马克思和恩格斯在毕生的革命斗争中最为注意的事情是:“用唯物辩证法从根本上来改造全部政治经济学、把唯物辩证法应用于历史、自然科学、哲学以及工人阶级的政策和策略。”②马克思的《数学手稿》(以下简称《手稿》)就是用唯物辩证法来改造微积分学的一个典范。     

论零是微分的本质

马克思在《数学手稿》中从变数的自身变化中,辩证地揭示了微分的本质,是“被扬弃了的或消失了的差”,“因而是严格数学意义上的x_1-X=0”(《数学手稿》第3页,第5页)。然而,正是这个“零”,尽管它在字面上导致无,但在微分运算时,尤其是在积分过程之后却又可以获得实际结果。这样,岂不是“无中生有”吗?因此,为了解决这一矛盾,似乎非视微分为“非零”不可,即作为微分过程的结果是零,而作为积分运算的对象又是非零。概言之,微分就成了“零与非零的对立统一”。究竟应该怎样认识这个“零”呢?难道说“零”本身就不存在矛盾吗?否则又为什么不能让它本身直接参与积分运算呢? 本文准备就上述问题,谈谈自己的看法。     

马克思是怎样刻苦研究数学的

伟大革命导师马克思,从无产阶级革命斗争的需要出发,在领导国际工人运动和从事理论著述的同时,对数学的发展给予了极大的关注。自十九世纪五十年代起,一直到一八八三年他逝世为止,始终坚持“独立的数学研究” (《马克思恩格斯全集》第24卷,第7页),写下了长达一千多页的内容十分丰富的《数学手稿)》。马克思的《数学手稿》,是马克思主义哲学的重要文献,是研究数学辩证法的光辉范     

学习马克思《数学手稿》中有关初等数学的论述

马克思《数学手稿》中,关于初等数学的读书笔记和研究手稿是很多的,其中主要内容记在他十九世纪七十年代写的三大册代数笔记中。马克思把其中两本取名为《代数Ⅰ》和《代数Ⅱ》,第三册没有标名称。收集在人民出版社一九七五年七月出版的《数学手稿》中《关于初等数学的一些札记》的前十一段札记,都属于《代数Ⅰ》和《代数Ⅱ》的内容。另外,还有一段摘录,是对鲍波(注一)写的数学史作的提要,是一八五一年九至十月期间摘录的。这十一段札记和一段摘录,虽然只是片断,但是可以看到,马克思配合对政治经济学的研究,除了对微积分进行大量地研究以外,对初等数学也进行了收集和研究。本文就是关于《数学手稿》中初等数学的记述,谈谈笔者的学习体会。     

谈微分的两重性

微积分产生于十七世纪下半叶,三百多年来,由于数学家们受唯心论和形而上学世界观的束缚,微积分学中某些基本概念长期得不到辩证的解释,造成了思想混乱,“已经达到的成果和传统的思维方式之间的这个冲突”一直未能解决.伟大革命导师马克思,由于制定政治经济学原理,写作《资本论》的需要,于十九世纪六十年代开始研究微积分.到八十年代初,前后写下了内容极其丰富的《数学手稿》.马克思在《数学手稿》中,用辩证唯物主义和历史唯物主义的科学方法,剖析了微分学的历史发展过程,推导和论证了微积分学中一些最基本的概念,使它们第一次得到了完全辩证的解释.马克思的《数学手     

李泽厚主体性实践哲学的理论根源--马克思《1844年经济学哲学手稿》对主体性实践哲学之规定

康德哲学并不是李泽厚主体性实践哲学的唯一思想资源，马克思的《1844年经济学哲学手稿》才是主体性实践哲学之思维起点。李泽厚既受惠于《手稿》，也深化了《手稿》。他从马克思《手稿》中继承了“人化的自然”命题、人类学学术视野及群体本位、理性主义立场。这些因素既有益于主体性实践哲学的建构，也对它形成了制约。主体性实践哲学并没有走出《手稿》的人类学视野，仍未完成从工具本体论向心理本体论的过渡，是一未完成、不成熟的理论形态。     

批判微分学的神秘主义——学习马克思《数学手稿》体会

十七世纪后半叶,由牛顿和莱布尼茨二人独立完成的微分学,马克思在《数学手稿》中指出他们建立的微分学是神秘的微分学并作了深刻的批判,马克思明确地指出:微分是作为“扬弃了的”差值,或“消失了的”差值,并且断然写上微分“dx=0”、“dy=0”,为我们指出了一条认识微分的正确途径。今天如何正确认识微分是数学领域教育革命中一项很重要的课题。     

两种微分法的区别

求导函数的运算叫做微分法,这是高等数学的一个很重要的内容。怎样认识微分的过程?有许多不同的看法,但说到底只有两种。一种是形而上学的微分法,以十九世纪法国数学家哥西为代表,他被看成是“近代意义下真正的微积分的奠基者”。另一种看法是由马克思所建立的,马克思在《数学手稿》中分析、批判了种种错误观点,对微分过程作了精辟论述,揭示了微分学的本质。马克思才是微分学的真正奠基者。两种微分法的区别反映了两种世界观的对立,曾经被颠倒的历史,在今天必须再颠倒过来。联系这个问题淡谈我们学习《数学手稿》的体会。     

学习马克思《数学手稿》的一点体会

马克思的《数学手稿》闪耀着唯物辩证法的光辉,是我们改造世界观,改革数学教学和研究工作的强大思想武器。一年来,在系班党组织的直接领导下,在老师的耐心辅导下,我们初步学习了马克思关于微分的论述。兹欲从微分的建立基础;微分是零又非零的两重性谈一点学习体会。由于自己学习不够,水平有限,不免有不妥之处,请多加指正。马克思对微分概念的辩证剖析为微分学奠定了坚固的哲学基石,为数学研究指明了胜利的航向。但是,百年来无论是微分的“常数论”、“无穷小量论”还是“变量论”,它们都     

谈谈对多元函数微积分的一些看法

一百年前,伟大的革命导师马克思写下了不朽的《数学手稿》,这一百年来,虽然数学有了巨大的发展,但马克思的《数学手稿》至今还闪耀着灿烂的光辉。马克思在他的手稿中,用马克思主义特有的唯物辩证法,批判了形形色色的唯心论形而上学,撕开了蒙在导函数和微分上的神秘的面纱,揭示了导函数和微分的本质,为我们树立了光辉的榜样。马     

以马克思主义哲学为指导评价非标准分析

学习马克思《数学手稿》,开展对非标准分析的讨论,对于我们掌握唯物辩证法,坚持用马克思主义指导数学研究,更好地推动数学的发展,有着现实的和深远的意义。 乇主席早在《在延安文艺座谈会上的讲话》中就指出:“我们决不可拒绝继承和借鉴古人和外国人,那怕是封建阶级和资产阶级的东西”,应当“批判地吸收其中一切有益的东西”,不应当“毫无批判的硬搬和模仿”。《论十大关系》则更明确地指出:“自然科学方面,我们比较落后,特别要努力向外国学习。但是也要有批判地学,不可盲目地学。……已经清楚的那一部分,就不要事事照办了。”毛主席的这些重要指示,为我们研究外国