关于半完全环上的投射模的一些研究

刻画了半完全环上的投射模,同时得到了关于半完全环上投射模的一些结果,如R是一个半完全环,那么每一个投射左R-模的任一不可分解的分解补极大直和项:每个有限生成的投射左R-模是一个非投射模的投射盖,总结和扩张了关于半完全环上的投射模的一些结果。     

有限生成半单投射模的几点注记

证明了有限生成半单投射右R-模类在扩张、直和、纯子模、直和因子下封闭;任意有限生成半单右R-模有一个有限生成半单投射预包络当且仅当任意有限生成半单右R-模的对偶模是有限生成的.     

C-投射(内射,平坦)模与优越扩张

令C作为R-模为半对偶模,其中R为交换环。在(几乎)优越扩张的条件下研究了与半对偶模C相关模类的传递性,讨论了C-投射,内射及平坦预盖及预包的相关性质。作为应用,证明了当环扩张S≥R为优越扩张时,R为诺特环当且仅当S为诺特环;R为凝聚环当且仅当S为凝聚环。     

G_χI-内射模

利用Gχ-内射模引入了一种新的模类G_χI-内射模.如果对任意的Gχ-内射模N,有Ext1R(N,M)=0,称左R-模M是G_χI-内射模.之后讨论了这类模的一些同调性质,并且探索了Gχ-内射模、内射模与G_χI-内射模之间的关系.而且利用G_χI-内射模给出了半单环的一个新刻画,每个左R-模是强G_χI-内射的当且仅当每个Gχ-内射左R-模是投射的当且仅当R是半单环.我们还讨论了模的G_χI-内射维数,给出了该维数的一些等价刻画.     

关于Gorenstein投射复形的进一步研究

Enochs E和Garcia Rozas J R在"Gorenstein Injective and Projective Complexes"一文中证明了在n-Gorenstein环R上,若左R-模复形C为Gorenstein投射复形当且仅当它的每一项左R-模Cm为Gorenstein投射模。弱化了此结论的必要性条件,得到在任意环R上,若左R-模复形C为Gorenstein投射复形,则它的每一项左R-模Cm为Gorenstein投射模。并且最后给出Gorenstein投射复形C与任意投射复形上合冲L的关系,即Exti(C,L)=0。     

由内射、投射类对Artin半单环的刻划

对内射模类Ｉ与投射类Ｐ我们证明环Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环当且仅当存在一个基数Ｃ使每个左Ｒ 模是一个类Ｉ中的模与一个Ｃ 限制ＥＳ 模的直和，当且仅当存在一个基数Ｃ使每个左Ｒ 模是一个类Ｐ中的模与一个Ｃ 限制ＥＳ 模的直和     

∞-余纯投射模

设R是环,F∞表示平坦维数有限的左R-模类.左R-模M称为∞-余纯投射模,指对任意N∈F∞都有Ext1R(M,N)=0.证明∞-余纯投射模M是投射模当且仅当M∈F∞,同时证明当l.FFD(R)=0时,余纯投射模是∞-余纯投射模.用∞-余纯投射模刻画QF环和CPH环,证明R是QF环当且仅当每一左R-模是∞-余纯投射模,当且仅当每一N∈F∞是内射模.也证明了R是CPH环当且仅当∞-余纯投射左R-模的子模是∞-余纯投射模,当且仅当每一N∈F∞的内射维数不超过1.     

∞-余纯平坦模

通过引入∞-余纯平坦模,证明了:R是QF环当且仅当R是左Noether环,且每个有限表现左R-模是∞-余纯平坦模;R是右IF环当且仅当每个左R-模是∞-余纯平坦模;R是左CFH环当且仅当∞-余纯平坦模对子模封闭;左凝聚环R是左半遗传环当且仅当∞-余纯平坦左R-模是平坦的.     

Ding f-投射模

引入了Ding f-投射左R-模的概念.证明了:由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于直和以及直和项封闭;若R是左凝聚环,则由所有Ding f-投射左R-模构成的类关于纯扩张以及纯子模封闭.     

可补半环上的内射半模与投射半模

研究可补半环上的内射半模与投射半模性质.得到:若S为可补半环,则任意左S-半模必存在内射包;左S-内射半模必是S-模;每一个左S-半模必是P-内射半模;Γ-内射当且仅当S-内射;最后证明可补半环必是rPP半环.     

广义D4模

作为D4模的真推广,引入了广义D4模的概念.研究了这类模的基本性质,给出了广义D4模的一些等价条件.进一步引入了拟D4模的概念,证明了环R是半单环当且仅当每个R-模是拟D4模.     

D4-δ-盖及其应用

引入了D₄-δ-盖的概念,即称(F,g)为模M的D₄-δ-盖,若F是D₄-模,g是F到M的满同态,且Ker(g)《_δF.研究了D₄-δ-盖的性质以及它与投射δ-盖之间的联系,并用D₄-δ-盖刻画了δ-完备环(半完备环,半正则环).     

分次版本的Enochs定理

证明了分次版本的Enochs定理: 设A是有限生成分次R-模B的分次子模, 若对任何FP-gr-内射 R-模E, 分次同态f:A→E恒能扩张到B, 则A是有限生成的。 由此得到有限生成分次R-模M是有限表现的当且仅当对任何FP-gr-内射模E, 都有EXT1_R(M,E)=0。     

广义C3模

作为C3模的真推广,引入广义C3模(简称G-C3模)的概念,研究这类模的基本性质,证明遗传环R是右V-环当且仅当每个有限余生成R-模是G-C3模当且仅当每个有限余表示R-模是G-C3模.     

Frobenius扩张上的Ding投射模

研究了Frobenius扩张上的Ding投射模和Ding投射维数。设R⊂A是可分Frobenius扩张,M是任意左A-模,证明了:M是Ding投射左A-模当且仅当M是Ding投射左R-模当且仅当A⊗_RM和HomR(A,M)是Ding投射左A-模。进一步,得到了关于Ding投射维数的结论。     

单Utumi模

引入了单Utumi模和奇异单Utumi模的概念, 研究了它们的基本性质, 证明了环R是右V-环当且仅当每个右R-模是单Utumi模; 环R是右GV-环当且仅当每个右R-模是奇异单Utumi模; 环R是半单阿廷环当且仅当每个单Utumi右R-模是内射模。     

小R-投射模

引入了小N-投射模和小R-投射模的概念,研究了它们的基本性质.证明了环R是半本原环当且仅当每个右R-模是小R-投射模.     

强余挠模的忠实平坦余基变换

研究了强余挠模的忠实平坦余基变换。令R是环,S是忠实平坦R-代数,在一些额外的条件之下,证明了R-模G是强余挠的当且仅当Hom_R(S,G)是强余挠R-模且Ext^>0_R(S,G)=0;当且仅当Hom_R(S,G)是强余挠S-模且Ext^>0_R(S,G)=0。     

相对于半对偶模的f-内射模

设R是一个交换环,C是半对偶R-模。定义并研究了相对于半对偶R-模C的f-内射模,证明了一个R-模同态F→M是M的一个内射(f-内射)预覆盖当且仅当Hom_R(C,F)→Hom_R(C,M)是C-内射(C-f-内射)预覆盖。