边无关数为q的n阶树的谱半径的第三大值

设G为有限无向简单图,G的邻接矩阵的特征值称为G的特征值,G的最大特征值称为G的谱半径．二分图的特征值在量子化学中有意义，因而研究二分图的特征值有重要的实用价值．K1^l,k(k≥l≥1)记星图K1．k的l个悬挂点各接出一条悬挂边所得的图．Tn(q)表示边无关数为q(≥5)的n阶树的集合．(1．1)T(q-3，n-2q 1)∈Tn(q)为K1^q-2,n-q-l的某个2度顶点上接出一条路P2所得的图．给出了Tn(q)中树的谱半径的第三大值。并证明了：当n-2q=1时,取得该值的唯一的树为K1^q，q；当n-2q≥2时，取得该值的树为(1，1)T(q-3,n-2q 1)．     

图的修正的彩虹顶点连通数

图 G 称为是修正的强彩虹顶点连通的,如果对于 G 的任意两个顶点 u,v,G 都有一条修正的彩虹 u-v 测地线。使图 G 是修正的强彩虹顶点连通图的最小颜色数目 k 称为图 G 的修正的强彩虹连通数,记做 srvc*（G）。文中给出了 Cn 的修正的顶点彩虹连通数,rvc*（Cn ）＝「n2？,n≥4。给出了含 t 个边不交三角的图的修正的强彩虹顶点连通数的一个上界。     

图中具有特定性质的连通的[k,k＋1]-因子存在性的一个度条件

设k是一个正整数,图G是一个具有n个顶点的图,其中n≥4k＋8,nk是偶数且δ（G）〉;k＋1。我们证明如果图G的任意两个不相邻的顶点u,v都有max{dG（u）,dG（v）}〉;n/2,则图G含有一个连通的[k,k＋1]-因子不包含任意指定的边。     

联结数与分数（k，n’）一临界消去图

设G是一个图,若删除G中任意n’个顶点的剩余子图依然是分数k-消去图,则称G为分数（k,n＇）-临界消去图．笔者证明了若k≥2,n,≥0,bind（G）≥^（n＇＋1）且6（G）≥k＋n＇＋1,则G是分数（k,n＇）-临界消去图．     

图的圈和路剖分

设G是一个顶点数为n的图,k为任意正整数且k≤n．Hikoe Enomoto和李浩证明了：如果一对不相邻顶点的度和至少为n-k 1,其中k≤n，则除了k=2，G=G5,G能被剖分成k个子图Hi，l≤i≤k，其中Hi是圈或K1或K2．本文中证明了任何一对不相邻顶点的度和至少为n-k，则G能被剖分成k个子图Ki,l≤i≤k，其中Hi是圈或是路．     

树图的全控制数

设G为n阶连通图，集合S称为图G的全控制集，如果V（G）的每个顶点都和S中某点相邻。图G的全控制数，记为γt（G），是图G的全控制集的最小基数。证明了对阶数n≥3且T≠K1，n-1的树T，γt（T）=min{（2n/3），n-l，[n/2]＋l-1}，这里l表示树T中叶子的数目。     

含有割点的图的测地集

对于图G内的任意两点u和v,u-v测地线是指在u和v之间的最短路．I（u，v）表示位于一条u-v测地线上所有点的集合，对于S包含V（G），I（S）表示所有，（u，v）的并。这里u，u∈S．G的测地数g（G）是使I（S）=V（G）的最小点集S的基数．图的每个最小测地集都不包括它的割点，如果图G是一个有n≥3个顶点，k≥1个割点的块图．那么g（G）=n-k．树T有n≥2个顶点，l片叶子。如果将树T的所有点ui用图Hi来代替。用Hi∨Hj来代替树T的所有边uivj∈E（T），将得到的新图定义为Tn（H）。有g（Ta（Kd））=ld和g（Tm（Cd））≤min{[d/2]l。2（n-l）}/．     

单圈图Laplacian矩阵的最大和次大特征值

设G=（V，E）是一个n阶的连通单圈图，λ（G），λ2（G）分别是图G的Laplacian矩阵的最大和次大特征值．本文讨论了单圈图的最大和次大特征值与其顶点，悬挂点个数之间的关系，将已有的结论作了改进和推广．     

无三角形3-正则图的几个参数的界

图G的一条边称为割边是指删去该边后,使得余下的图的连通分支数增加。图G中的一个两两不相邻的边子集称为图G的一个匹配。图G的一个最大匹配的边数称为图G的匹配数。图G中的一个与G的每个团都有交的顶点子集称为G的一个团横贯集,图G中元素个数最少的团横贯集的顶点数称为G的团横贯数。本文针对n阶连通无三角形的3一正则图G-（V（G）,E（G））,首先给出了其割边数的一个上界（n—l0）／4;其次对它的匹配数得到了一个下界（11n-2）／24;再次对它的线图的团横贯数呈现了一个上界（13｜E（G）｜＋3）／36。同时刻画了达到这些界的极值图。     

圈长为3的k圈图laplacian矩阵谱的界

设G为n阶的连通k(k≥3)圈图,λ1(G)是图G的laplacian矩阵的最大特征值.本文讨论了圈长为3的k圈图的最大特征值与其顶点数及各顶点的悬挂边个数之间的关系.     

3－W_n图的优美性

证明了在齿轮图ｎ个齿的顶端各加上三条长度为１的边所得的图是优美的，从而对齿轮图的优美性作了推广．     

任意n个完备二分图的并图的优美性

优美图是图论中的一个重要分支,至今对非连通优美性的研究并不多,特别是对n个图的并图的优美性研究就更少.本文证明了任意n个完备二分图的并图是优美图,且是交错图.     

一类串图的优美性

给出了一些图的优美标号,特别给出了串图ωm1,m2,mn,mn＋1当m1,m2,…,mn≡0（mod4）,mn＋1≡3（mod4）的优美标号,以及串图ωm1,m2,,m2n当mi≡2（mod4）（i=1,2,…,2n）,m2k-1＜m2k,（k=1,2,…,n）时的优美标号.     

关于Km，n并图的优美性

对于自然数k，m，n，本文给出一类非连通图↑k∪↓i=1Kmi.ni；通过构造标号函数的方法，证明了当max{mi，ni}≥3，min{mi，ni}≥2(i=1，2，…，k)时这类图既是优美图，也是交错图；从而给出构造一类任意个图的并图是优美图的一种方法，拓宽了优美图及其应用的道路。     

图U∧C_(4,m_i)from i=1 to n的优美性

优美图是图论中的一个重要分支,至今对非连通优美性的研究并不多,特别是对n个图的并图的优美性研究就更少.本文证明了一类任意n个二分图∧C4,m的并图4,1inmiC=U∧是优美图,且是交错图.     

再论图Pn^3的优美性

给出图Pn3的另一种优美标号,证明其图是优美图且是交错图.另外指出文献[1]中的一个错误和给出了相应正确的结果,同时证明了严谦泰,张忠辅给出的标号以及我们改正的标号都是交错的.     

图∪ from i=1 to n(F_(mi,4))的优美性

给出图∪ni=1Fmi,4 的一类非连通图 ,并证明这类图是优美图 ,且也是交错图 .     

关于图n∪i=1(～P)4和n∪i=1(～P)8的优美性

棱柱图(～P)n是由2个回路v1,v2,v3,…,vn和u1,u2,u3,…,un,加上边uivi后所组成的图形.图n∪i=1(～P)4是n个(～P)4的不交并图,图n∪i=1(～P)8是n个(～P)8的不交并图,证明了2类非连通图n∪i(～P)4和n∪i=1(～P)8是优美图且是交错图.     

关于图∪（i=1）n4和∪（i=1）n8的优美性

棱柱图n是由2个回路v1,v2,v3,…,v n和u1,u2,u3,…,un,加上边uivi后所组成的图形.图∪ni=14是n个4的不交并图,图∪n i=18是n个8的不交并图,证明了2类非连通图∪n i=14和∪n i=18是优美图且是交错图.     

一种构造紧图的方法

根据一些已知的紧图构造出两类新的紧图。证明了在一定条件下连通正则紧图的联图为紧图,两个连通正则紧图之间再加一条边仍为紧图。