蒙特卡罗方法与拟蒙特卡罗方法的历史、现状及展望

随着非线性科学的发展,许多物理、工程技术和数学模型都可以转化为非线性方程,如非线性常微分方程、偏微分方程等。非线性方程的求解已经成为非线性科学领域的一个重要研究课题。Zakharov-Kuznetsov方程(简称ZK方程)作为非线性方程中重要的一类,是由Zakharov和Kuznetsov在1974年提出的,该方程是KdV方程在二维空间的典型推广形式之一,因此研究该方程具有广泛的理论意义和实践意义。本文用拓展的双曲函数正切法,借助Riccati方程的解,结合Mathematical数学软件,得到Zakharov-Kuznetsov方程新的显示精确解,包括周期解和孤立波解.所给的方法还可以用来求解其它的一大类非线性发展方程。     

Zakharov-Kuznetsov方程新的周期解和孤立波解

随着非线性科学的发展,许多物理、工程技术和数学模型都可以转化为非线性方程,如非线性常微分方程、偏微分方程等。非线性方程的求解已经成为非线性科学领域的一个重要研究课题。Zakharov-Kuznetsov方程(简称ZK方程)作为非线性方程中重要的一类,是由Zakharov和Kuznetsov在1974年提出的,该方程是KdV方程在二维空间的典型推广形式之一,因此研究该方程具有广泛的理论意义和实践意义。本文用拓展的双曲函数正切法,借助Riccati方程的解,结合Mathematical数学软件,得到Zakharov-Kuznetsov方程新的显示精确解,包括周期解和孤立波解.所给的方法还可以用来求解其它的一大类非线性发展方程。     

光纤中变系数非线性Schrdinger方程的精确类孤子解

利用一种函数变换,将光纤中变系数非线性Schrdinger方程约化为非线性常微分方程.通过求解非线性常微分方程,获得了光纤中变系数非线性Schrdinger方程的精确类孤子解.这种方法也可用于其他非线性方程,如变系数Kp方程、带强迫项变系数组合KdV方程等.     

光纤中变系数非线性Schr(o)dinger方程的精确类孤子解

利用一种函数变换,将光纤中变系数非线性Schr(o)dinger方程约化为非线性常微分方程.通过求解非线性常微分方程,获得了光纤中变系数非线性Schr(o)dinger方程的精确类孤子解.这种方法也可用于其他非线性方程,如变系数Kp方程、带强迫项变系数组合KdV方程等.     

Konopelchenko-Dubrovsky方程的精确解

利用改进的tanh函数展开法,结合Maple环境中Epsilon软件包,求解Konopelchenko-Dubrovsky方程,获得方程若干精确解,同时也体现出改进的tanh函数展开法是一种行之有效的方法,可以广泛的应用于求非线性偏微分方程的精确解。     

Exp函数法与Fisher方程新的精确解

用exp函数法求解非线性方程的精确解非常简洁、有效,目前已经得到了广泛的应用.以Fisher方程为例,利用计算机代数系统,可以得到大量的精确解,其中包括孤波解.该方法简化了求解过程,并可以用来求解其他的非线性演化方程,如Schrdinger方程、KP方程等.     

改进的截断展开法及其在变系数非线性方程中的应用

本文对截断展开法进行了改进.首先,通过行波变换,将偏微分方程(PDE)转化为常微分方程(ODE).然后,在截断展开中,采用了非线性Riccati方程F′=p qF rF2将复杂的变系数非线性方程转变为一组超定代数方程组.再利用计算软件mathematic求解出代数方程组.从而得到变系数非线性演化方程的精确解.我们将这种方法应用于第一类变系数KdV方程和广义变系数KdV方程,得到了一系列精确解,其中包括一组Weierstrass椭圆函数解.这组解可以表示成Jacobi椭圆函数解,在模数m→1或m→0时这组解又可以分别退化为双曲函数解和三角函数解.     

(G'/G)展开法构造非线性Vakhnenko方程的新精确解

探索新的求解方法和获得新精确解是研究非线性发展方程的两个主要内容[1-15].王明亮等[16]提出了基于齐次平衡原则和二阶线性常微分方程的(G'/G)展开法,并已经成功应用于计算不同类型非线性方程的新精确解[17-19].     

用改进的双曲正切法求解KP方程新的精确解

提出一种改进的用以求解非线性偏微分方程新类型精确解的双曲正切函数求解算法,并给出其符号计算方法和实现步骤的归纳描述.基于该新方法,研究了非线性系统中经典Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程新的孤立波形式精确解构造.结果表明,该方法可以有效求解非线性偏微分方程新的形式复杂的精确解.     

一些非线性发展方程的线性化及新的准确解

对用齐次平衡法求解非线性发展方程精确解的若干文献进行了分析．发现了一个线性偏微分方程．以这个线性方程作为辅助方程,并与齐次平衡法相结合．求得Burgers方程和水波长波近似方程等一些非线性发展方程的新的精确解,推广了齐次平衡法的应用．     

映射法与非线性波动方程新的精确解

本文运用映射法,结合辅助方程,利用计算机代数系统Mathematica求出了典型的非线性mKdV方程和Klein-Gordon方程的一系列新的精确周期解。该方法可以用来求解更多非线性方程。     

几个特殊类型非线性方程的显式精确解

对试探函数方法进行了扩展,通过引入新的试探函数找到了广义Burgers-Fisher方程、Zhiber-Shabat方程和Hirota方程的几类精确解。实例证明在对特殊类型非线性方程的求解中,试探函数方法是一种简便易行的方法。     

F展开法的发展和两个广义KdV方程的孤立波解

对求解非线性方程的F展开法进行了综述,揭示了方法的内在本质,指出了F展开法可能的发展方向,并结合F展开法的最新进展,给出了一个辅助常微分方程,借助它可求解具有高次非线性项的非线性偏微分方程。作为实例,用其得到了两个具有高次非线性项的广义KdV方程的孤立波解,与已有文献相比较,这种方法更简练,结果更具有一般性。对于类似的方程同样可以用此方法求其解。     

几何学与可积性

可积性的概念来源于常微分方程或偏微分方程和方程组，大致说是可求出用解析形式表示的精确解。对于非线性方程，几乎难以得到，而且对可积性也没有统一精确的定义。20世纪60年代，由于浅水波方程——KdV方程求解的成功引出了一系列可积的非线性方程及方程组，     

Davey-Stewartson I 方程的精确行波解

给出一个辅助常微分方程的多个精确解,并利用这些解得到Davey-Stewartson I 方程的新的精确行波解.这种方法还可用于求解大量非线性方程.     

无阻尼单摆运动微分方程对数函数形式的精确解

通过变换正弦函数,将无阻尼单摆运动微分方程转化为等价的多项式类型的非线性常微分方程。这种常微分方程可以应用已推广的Riccati方程的方法求解,得到了对数函数形式的6类精确解。     

用Jacobi椭圆函数求非线性方程的解析解

Jacob i椭圆函数展开法被应用于Kaup-Kupershm idt方程和推广的Kaup-Kupersh-m idt方程。在计算过程中,使用了非线性方程的非线性项和最高导数项平衡思想,这导致了简单代数方程组的产生。求解该代数方程组,若干解析周期精确解被得到,其中包括一些孤波解和双曲函数解。     

利用修正影射法求组合KdV方程新的精确解

构造了非线性波动方程新形式的Jacobi椭圆函数展开解,据此应用修正影射法求解组合KdV方程,得到新的精确解,包括Jacobi椭圆函数解、孤子解和三角函数解。该方法可以应用到其他非线性方程或方程组的求解。     

积分微分KP层次方程的精确行波解

对KP层次方程进行积分变换和行波变换得到常微分方程,利用扩展试验方程法把求解常微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题,根据不同情况得到了KP层次方程的钟状解、三角函数解、双曲函数解和椭圆函数解的精确表达式,这些解的显示表达式是首次求出的.这种方法对于求解非线性偏微分方程十分有效并且能够得到许多新的精确解.     

三Riccati方程的新展开法及其在差分-微分方程中的应用

将三Riccati 方程的新展开法应用于求解非线性差分-微分方程,借助符号计算系统Maple,得到了离散KdV方程和离散mKdV lattice方程的一些新的精确解,并具体给出了双曲函数解.