实数系基本定理的等价性

实数系7个基本定理是描述实数系连续性的不同数学表达形式,又是以后函数连续性质证明的理论基础.从有限覆盖定理出发,按有限覆盖定理(→)聚点定理(→)致密性定理(→)柯西收敛准则(→)确界定理(→)单调有界定理(→)闭区间套定理(→)有限覆盖定理的顺序,证明了他们之间的等价性,从而给出等价性证明的一种新方法.     

实数系基本定理的等价性

实数系7个基本定理是描述实数系连续性的不同数学表达形式,又是以后函数连续性质证明的理论基础。从有限覆盖定理出发,按有限覆盖定理 聚点定理 致密性定理 柯西收敛准则 确界定理 单调有界定理 闭区间套定理 有限覆盖定理的顺序,证明了他们之间的等价性,从而给出等价性证明的一种新方法。     

实数连续性七个定理等价性的证明

以单向循环的方式对实数连续性七个定理的等价性进行证明,旨在用完整而简明的思路说明实数连续性定理的相互等价关系.     

实数理论中几个基本定理的等价性

<正> 数学分析理论的基础是实数的连续性。怎样描述实数的连续性?有的著作中把“确界存在定理”作为连续公理,导出其它基本定理;有的把“单调有界序列必有极限”作为连续性公理,导出其它基本定理;……这种从不同的连续性公理出发引出其它基本定理的顺序虽然不同,但本质是一样的。就其论证方法,一般著作都用二至三个循环论证才得到如下八个基本定理的等价性。本文从“区间套定理”出发,只用一个循环实现论证八大定理的等价性。     

实数连续性定理的教学探讨

在现有实数连续性定理等价性教学方案的基础上,提出了一种新的教学组合方案,并对实数连续性定理的本质进行了分析.     

实数系完备性定理的等价性

说明了柯西收敛准则、确界原理、有限复盖定理、区间套定理、单调有界定理、聚点定理以不同的方式从不同的侧面反映了实数集的一种特性——完备性。并以数列的柯西收敛准则作为公理。证明了这六个定理相互之间是等价的     

实数理论中的七条等价定理

在实数理论中,除了实数构造的定理外,有七条等价定理,即[1]文所列的六个定理外,还有聚点存在定理,即定理有界无穷点集必有聚点。为了证明其等价性,只要在[1]所指出的证明次序中将最后部分改为“→有限复盖定理→聚点存在定理→波尔察诺定理”即可。由有限复盖定理证明聚点存在定理: 设X是有界无穷点集,X(?)[a,b].如果X没育聚点,因而区间[a,b]上的每个y部不是X     

基于实数连续性定理等价的新探讨

实数集关于极限的运算是封闭的 ,这就是实数的连续性 ;实数的连续性理论是构筑极限理论的重要基础 ;实数连续性定理虽然数学表现形式不同 ,但它们都描述了实数的连续性 ,它们彼此是等价的 ,即任意一个定理都是其它定理成立的充要条件 ,另辟蹊径对其等价性进行了新的探讨。     

实数连续性定理的等价性的一种证明

关于实数连续性定理的等价性的证明,大都采用循环证明的方法。本文给出以区间套定理证明其它定理的一种等价性的证明方法。     

实数系的连续性和完备性的若干等价定理

以十进制小数表示作为出发点,给出实数定义,并以此为基础证明了单调收敛定理.总结了描述实数系连续性和完备性的若干等价定理,即:单调收敛定理,上(下)确界定理,边界点定理,戴德金分割定理,辛钦定理,区间套定理,聚点原理,有限覆盖定理,致密性定理,柯西收敛准则.     

基于实数连续性定理等价的新探讨

实数集关于极限的运算是封闭的，造就是实数的连续性；实数的连续性理论是构筑极限理论的重要基础；实数连续性定理虽然数学表现形式不同，但它们都描述了实数的连续性，它们彼此是等价的，即任意一个定理都是其它定理成立的充要条件，另辟蹊径对其等价性进行了新的探讨。     

拓扑学观点下的数学分析知识

在拓扑学观点下，深入探讨数学分析中一些重要概念和原理的本质属性，并研究其特殊性。数学分析中序列极限的唯一性、海涅定理对连续函数的刻画、介值定理，以及描述实数完备性的几个重要定理的等价性，都是特殊实数空间上的特殊结论。     

单调有界定理的另证

单调有界定理是证明数列极限存在的一个重要定理,它是实数完备性定理之一,与确界存在定理、区间套定理、致密定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西准则都是等价的.他们之间的等价证明到处可见.如下主要就构造法、二分法两种方法来证明单调有界定理。     

实数连续性的等价命题

Dedekind分划基本定理、确界存在定理、单调有界定理、闭区间套定理、聚点定理、Cauchy收敛准则、有限复盖定理等七个实数连续性的等价命题是数学分析的理论基础,也是现代数学的重要工具。它们的等价性一般都是循环证明的。为了加深对这些命题的理解,掌握应用这些命题证题的规律,进行仿射证明是非常有益的。在文献[1——8]中已给出     

完全覆盖与实数连续性

本文以一种新环路证明了完全覆盖定理(即文中引理)与实数连续性的等价性,并以完全覆盖定理为工具,给出了实变函数中两个重要定理的初等证明。     

实数连续性命题的等价性

实数连续性命题反映了实数的连续性，是数学分析的重要理论基础。本论述了实数连续性六个命题的等价性，并从实数引入的方式证明了它们的正确性。     

实数及其连续性定理的等价性

本文介绍了四种实数理论及其连续性定理等价性的直接互推证明。     

实数连续性等价命题的证明及应用

本文以闭区间套定理为基础,证明实数连续性的其他等价命题,并给出它们的应用及有关的评议.     

关于上、下极限的几个定理

在〔1〕中证明了数列的上、下极限的几个定义的等价性,本文将在此基础上给出数列上、下极限的几个定理。(全文在实数范围内讨论)为了叙述的方便,我们引入以下两个概念:     

确界和确界存在性的变式教学研究

确界存在性定理反映了实数系连续性/完备性这一基本性质,是高等微积分中极限理论的基石,由它可以循环推证实数完备性的其他五个等价定理.然而,教学实践表明大学一年级初学者在接触上(下)确界的形式逻辑符号语言及其推理论证时,普遍感到异常抽象难以理解和运用,难以达到既定的教学目标.笔者针对这种现状,从直观可视化和层次化的角度去剖析上/下确界的概念;对于数集的确界存在性定理,结合确界的无穷小数逼近表示法和确界的集合分划理念进行变式教学,以期将复杂抽象的确界概念和确界存在性的论证思想尽可能的通俗简单化,使得初学者尽可能分享到看得懂、听得懂的益处.