二元二次方程组的一般解法

中学课本里,对二元二次方程组只介绍了几种特殊解法。有些二元二次方程组,应用特殊方法求解,是比较困难的。因此,有必要对二元二次方程组的一般解法作一研究。对于二元二次方程组:[a_1x~2+b_1xy+c_1y~2+d_1x+e_1y+f_1=0 (1) a_2x~2+b_2xy+c_2y~2+d_2x+e_2y+f_2=0 (2) ](A)我们在复数体内研究它的一般解法。     

关于一元二次方程求根公式的注记

在我们的中学教材或教学参考资料中 ,常常见到这样一个公式 :在复数集 C中 ,实系数一元二次方程 ax2 +bx +c=0 ( a≠ 0 )的解的公式是 :x1,2 =- b± b2 - 4 ac2 a ( a≠ 0 )当 b2 - 4 ac≥ 0时 ,方程有两实根 ;当 b2 - 4 ac<0时 ,方程无实根 (有共轭虚根 )。(见北京师院附中党钧、戴洪潜主编的中学数学参考读物《初等代数》习题选及高中数学“复数”一章 )这样的表述被各种数学书籍广泛采用 ,笔者在教学工作中也多次仿效。但学生对 b2 - 4 ac<0的情况掌握起来往往出错。错在哪里呢 ?错在将 b2 - 4 ac=- ( 4 ac- b2 ) =4 ac- b2i。为什么这…     

利用二次函数图象讨论二次方程实根的符号

根据二次方程的根的判别式以及韦达定理 ,对一元二次方程实根的符号和方程的系数之间的关系 ,来进行代数方法的讨论。利用二次函数的图象——抛物线的位置 ,即它的对称轴、张口方向以及纵截距 ,对其相应的一元二次方程的实根符号的关系 ,进行讨论。(一 )我们知道 ,二次函数 y=ax2 +bx+c　 ( a≠ 0 )( 1)的图象是抛物线。它的对称轴 x=- b2 a是平行或重合于 y轴的一条直线 ,当 a>0时 ,抛物线张口向上 ;a<0时 ,张口向下。当 ( 1)式的 x=0时 ,则 y=c,即抛物线在 y轴上的纵截距是 c。若令 ( 1)式的 y=0 ,则有 ax2 +bx+c=0　 ( a≠0 ) ( 2 )当 ( …     

关于丢番图方程Dx~2+1=y~p

本文用柯召—Terjanian-Rotkiewicz方法证明了丢番图方程15x~2+1=y~p和23x~2+1=y~p(p是奇素数)除开平凡解y=1,x=0外,均无其他的整数解。     

Holmes型Duffing方程的同宿轨道分支出的极限环

用Melnikov函数方法对Holmes型Duffing方程d~2x/dt~1+δ(x~2+ax+c)dx/dt-ax+βx~3=0和更一般的形式d~2x/dt~2+δf(x)dx/dt-ax+βx~3=0进行了分析,得到了由同宿轨道分支出稳定不稳定极限环的条件.     

关于非自伴算子D~2x~αD~2+x~β+ix~γ的极限点类(Ⅱ)

在[4]里我们证明了如果实数α、β、γ不同时满足β≤γ=α-4,γ>0, 微分算式aD~2x~αD~2+bx~β+icx~γ在I=[1,∞]上是极限点的,其中a,b,c是正数,而当β=γ=α-4,γ>0时,存在正数σ使得微分算式D~2x~(γ+4)D~2+σ(1+i)x~γ不是极限点。本文将讨论剩下的     

关于带参数五次代数方程判别根的一个充要条件

本文给出了带参数五次代数方程f(x)=x~5+a_1x~4+a_2x~3+a_3x~2+a_4x+a_5=0有一对纯虚根且剩余根均具有负实部的一个充要条件。     

伽罗华（Galois）域及计算

本文利用有限域的扩张原理,首先介绍了伽罗华四元域的产生方法。这一方法实质上是从Z_2出发,以Z_2上的一个不可约多项式x~2+x+1为生成元做一个主理想(x~2+x+1),然后由近世代数的理论知Z_2[x]/(x~2+x+1)是一个有限域,从而得到了GF(4)。其次,由本文给出的重要定理为理论根据而得到了GF(8)和GF(16),进而可以计算任意GF(P~n)。     

关于不定方程x2+4n=y11的整数解

应用代数数论以及同余法等初等方法讨论不定方程x~2+4~n=y~(11)的整数解情况,证明了不定方程x~2+4~n=y~(11)在x为奇数,n≥1时无整数解;不定方程x~2+4~n=y~(11)在n∈{1,8,9,10}时均无整数解;不定方程x~2+4~n=y~(11)有整数解的充要条件是n≡0(mod 11)或n≡5(mod 11),且当n≡0(mod 11)时,其整数解为(x,y)=(0,4~m);当n≡5(mod 11)时,其整数解为(x,y)=(±2~(11m+5),22m+1),这里的m为非负整数,验证了k=11时猜想1成立。     

解一元三次方程的简捷方法——函数 x~n+(1/x~n)的应用之一

一个数‘和它的倒数令之和可记作‘一‘+十,一般地,记 1 一X.十— 这类函数有许多有趣又有用的性质。本文只研究它的二个简单性质,以及在解一元三次方程中的妙用。函数t。的性质性质1.方程x”+澳‘一m的根成对互为倒数。 证明:1)当:=1时,方程 x十1/x一爪与一元二次方程 x子一mx+1=0等价。所以,它的两个根是 x:二(二十材m兰一4)/2和x:二(m一了m三一4)/2。+了mZ一4 2=〔(二十寸m二一4)(m一甲m扭一4)〕/〔2(二一甲mZ一4)〕 1(m一了m三一4)/2 1 OX2 2)当:>1时,设。二x”,则方程化为1)的情况: u十1/“一二,由此,得到 :‘:=(m+了二三一4)/2和“:…     

负数无对数吗?

负数无对数是在实数范围内而说的,而在复数范围内负数是有对数的,下面就简述一下复数的对数,并以e为底说明之。先从指数谈起: 一、复数指数: 1.定义:若z=x+yi为任意复数。(其中x,y为任意实数)则e是用下式规定的: e~z=e~(x+yi)=e~x(cosy+isiny) 例:e~(7+2i)=e~7(cos2+isin2) e~(4-3i)=e~4[(cos(-3)+isin(-3)]=e~4(cos3-isin3)。 2.性质: ①上述规定是实数指数的自然推广。因为当y=0时,有e~z=e~(x+0)=e~x(cos0+isin0)=e~x。     

概率积分integral from n=0 to +∞(e~(-x)~2/dx)的一种算法

<正>本文给出应用参变量积分理论计算概率积分的一种算法。 记 I=integral from 0 to +∞(e~(-x~2)dx),考虑参变量积分 F(t)=integral from 0 to +∞((e~(-t~2(x~2+1))/(x~2+1))dx) (1)由Weierstrass判别法,该积分对t∈[0,+∞]是一致收敛的,而被积函数在[0,+∞)×[0,+∞)是连续的,故F(t)在[0,+∞)内连续,于是 lim E_0(t)=F(0)=intgeral from 0 to +∞(1/(x~2+1))dx)=π/2     

在超实数域上的Toeplitz广义求和法

探求发散级数的广义和是观代分析中的重要课题,因为它在 Fourier 级数求和法中有着广泛的应用。本文将在超实数域上研究 Toeplitz 广义求和法,更有其特殊意义。一、问题的提出在通常意义下,对发数级数sum from n=0 to (?)(-1)~n (1)是不能求和的,冈为,当 n 取奇数和偶数时,其“和”在1与0之间摆动不定。但是可对展开式1/(1+x)=1-x+x~2-x~3+……(|x|<1)取极限(x→1-0)的方法,可     

无穷递降法在不定方程中的应用

利用无穷递降法证明了:(1)若素数p=48 m+41(m≥0),则不定方程x~4+3py~4=z~2(y≠0)无整数解;(2)不定方程x~4+4x~3y-6x~2y~2-4xy~3+y~4=z~2的全部正整数解可表为(x_n,y_n,z_n)=(K_nd_n,L_nc_n,K_n~2c_n~2-2L_n~2d_n~2),这里Ln/Kn=cndn±en/c2n+2d2n(cndnen),dn,cn,en满足2d_n~4-c_n~4=e_n~2.     

从一道数学竞赛题谈起

1978年全国数学竞赛有这样一道题:对多项式x~(12)+x~9+x~6+x~3+1进行因式分解。具结果是x~(12)+x~9+x~6+x~3+1=(x~4+x~3+x~2+x+1)(x~8-x~7+x~5-x~4+x~3-x+1)。这个结果恰好是将等式左边x~(12)+x~9+x~6+x~3+1中的x~3换为x就是等式右边的第一个因式x~4+x~3+x~2+x+1,我们知道,x~4+x~2+1=(x~2+x+1)(x~2-x+1),这道题的结果也是将等式左边的x~2换为x就是等式右边的第一个因式x~2+x+1。由这两道题的结果使人想到:上述两例是否具有普遍性?对于这个问题的回答,我们有如下定理:     

关于丢番图方程Dx~2+1=y~p

本文证明:丢番图方程47x~2+1=y~p,55x~2+1=y~p,87x~2+1=y~p(p 为奇素数)只有平凡整数解。     

多项式根的k次方之和的新解法

若xj(j=1 ,2 ,… ,n)是n次方程a_nx~n+a_(n -1) x~(n -1) +… +a_1 x +a_0 =0的n个根 ,将给出一种求这n个根x_1 ,x_2 ,… ,x_n 的k次方之和sum from i=1 to n(x_i~k)的新方法。     

强迫系统的混沌和Melnikov判据

用Melnikov方法对方程x-εαx +εγx~2x-ω_0~2x+αx~3+εβcosωt=0进行了讨论,给出了同宿轨道的Melnikov函数及产生混沌的临界值.利用模拟电路实验仪及map图形脉冲控制仪,做了实验的验证工作,取得了与理论基本一致的结果.     

2^k元域上的三次方程根的状况

F是一个2~k元域。本文证明:研究域F上的三次方程可以转化为研究方程x~3+ax+b=0(a≠0)。然后得到方程x~3+ax+b=0(a≠0)在域F中有一零根与二重根,或三个互异的根,或一个根,或没有根。从而,完整地解决了域F上三次方程的问题。     

谈含字母系数一元二次方程的教学

一元二次方程知识在初中是一个重要的内容.近年来,一些竞赛和中考常出现含文字系数的一元二次方程问题.本文试图联系自己几年来的教学实践,谈一些粗浅看法,同大家商讨.一、在研究二次方程是ax~2 bx c=0时要注意条件a≠0例1、方程(m-8)x~2-2(m-4)x (m 2)=0有两个不等的实数根,求m的范围.误解:由题意△=〔-2(m-4)〕~2-4(m-8)(m 2)>0解之得m<16.这是错误的.应考虑二次项系数m-8≠0.正确的答案是m<16且≠8