高阶差分与高阶导数之间的关系

一问题的提出、定义在微积分学中我们学过导数的定义:f(x)在x的导数定义为 f′(x)=lim k→0 f(x h)-f(x)/h如记△f(x)=f(x h)-f(x)为f(x)在x的一阶向前差分,则有 f′(x)=lim h→0 △f(x)/h (1.1) 我们还学过微分学的中值定理,即Lagrange公式 f(x h)-f(x)/h=f′(c)(x相似文献   

复合函数求导数法则的证明的改进

设y=f(u),u=φ(x),u在x_0可微分;u_0=φ(x_0),y在u_0可微分,则复合函数y=f(φ(x))在x_0可微分,而且(1) dy/dx|_(x=x_0)=f′(u_0)·φ′(x_0)。这个复合函数求导数法则的证明,在通常的数学分析教科书上,有如下两种: 〔证法一〕给x从x_0起取增量△x(≠0),则相应地函数u从u_0起得增量△u,y从f(φ(x_0))起得增量△y。因为f′(u_0)存在,所以当△u≠0时,令α=△y/△u-f′(u_0),就有limα=0,而且 △u→0     

Hammerstein型非线性积分方程正解的存在性

在lim inf↓u→0^ f(x,u)/u≠lim sup↓u→0^ f(x,u)/u≠lim sup↓u→ ∞f(x,u)/u）的条件下，给出Hammerstein型非线性积分方程：ψ(x)=∫Gk(x,y)f(y，ψ（y））dy的一个正解的存在性定理。     

无穷小量的阶与一道极限题的初等解法

关于同阶无穷小量的概念,在数学分析教材中通常出现两种不同的定义。第一种定义是:设x→x_0时,f(x)与g(x)均为无穷小量,如果存在正数K与L,使得在x_0的某空心邻域内,有K≤|f(x)/g(x)|≤L,则称当x→x_0时,f(x)与g(x)同阶无穷小。例如华师大数学系     

关于■f(x_n)=f(x_0)时,有■x_n=x_0的充分条件及应用

一般分析书都介绍的有下列:定理1:设f(x)定义在〈a,b〉上,f(x)在点x_0∈〈a,b〉连续的充要条件是:对(?)x_n∈〈a,b〉,当x_n→x_0(n→ ∞)时.有f(x_n)→f(x_0)(n→ ∞)其中〈a、b〉可是开区间,半开半闭区间,无穷区间.由上述定理而引导我们考虑下列命题是否成立.     

在半无限区间上二阶方程组边值问题的正解

半无限区间上的边值问题经常出现在应用数学的各种分支,Agarwal等人也对该类问题进行了讨论。然而,半无限区间上的非线性边值问题的一般理论还很不完善。本文讨论半无限区间上的二阶微分方程组x″(t)-k21x(t)+f(t,x(t),y(t))=0,y″(t)-k22y(t)+g(t,x(t),y(t))=0,x(0)=y(0)=0,limt→∞y(t)=0,其中f,g是非负t→∞x(t)=lim连续的函数,在具有Bielecki模的某一函数空间的一个锥K1×K2上定义积分算子A,利用锥上的Krasnoselskii不动点定理,赋予f,g一定的增长条件建立上述问题的正解存在性定理。同时,最近文献一个定理中的错误也被改正。     

导数定义公式的一个推广及其应用研究

将导数在某一点的定义f(x0)=lim(h→0)f(x0+h)-f(x0)/h推广为f(x0)=limf[x0+α(x)]-f[x0+β(x)]/α(x)-β(x)(α(x)→0,β(x)→0),从而简化了有关导数定义一类问题的求解.     

无穷区间上含有p-Laplacian算子的n阶积分边值问题正解的存在性

运用Leray-Schauder非线性抉择定理研究了一类无穷区间上含有p Laplacian算子的n阶微分方程积分边值问题:﹛(φp(x(n-1)))′(t)+a(t)f(t,x(t),x′(t))=0,0t+∞,x(0)=α∫+∞ηg(τ)x(τ)dτ,x′(0)=x″(0)=…=xn-2(0)=0,t→+∞lim x(n-1)(t)=0解的存在性,其中η∈[0,+∞),α∈[0,+∞)且f∈C([0,+∞)×R×R,[0,+∞))。     

用极限精确定义证明极限的思想和方法

1 函数极限证明的基本思想 要证明x→x_0(或x→∞)时函数f(x)的极限是A,当ε>0后,如果我们能找到以x_0为中心的δ邻域(x_0-δ,x_0+δ)(或N>0),当x取这邻域中异于x_0的一切值(或|x|>N)时,不等式 | f(x)-A|<ε 恒能得到满足,则就证明了x→x_0(或x→∞)时,f(x)的极限是A。 问题在于怎样找到上述要求的点x_0的δ邻域(和N)? 从函数极限的精确定义中,我们知道,如果x→x_0时,f(x)的极限是A,则点x_0的δ邻域     

关于向量到向量解析函数的一个注记

本文证明了如下定理：调f(x)、g(x)分别是Banach空间X的连通开子集D到Hilbert空间Y和Z中的解析函数，且f,g的值域Rf和Rg所生成的闭线性流形分别是Y和Z，若干任意X∈D，有‖f(x)=‖g(x)‖那末存在唯一的有界可逆线性算子U：Y→Z，U保持内积，并且对任意X∈D,有Uf(x)=g(x)。     

有穷导数与无穷导数的一些性质

数学分析对有穷导数(导数)与无穷导数都有说明,本文将深入探讨它们的一些性质,且比较它们的同、异性,得到如下的结果。定理1 设f(x)在O(x_0,Δ)(Λ∈R~+)中有定义,f′(x_0)=+∞(或-∞),则 (ⅰ)在点x_0,f(x)不一定连续(与有穷导数不同)。 (ⅱ)δ>0(δ<Δ),使x∈(x_0—δ,x_0)时,f(x)f(x_0));x∈(x_0,x_0+δ)时,f(x)>f(x_0)(或f(x)相似文献   

偶映射定理

受奇映射定理的启发,本文证明了连续偶映射的Brouwer度为偶数,即偶映射定理.(H)设D(?)R~n是有界对称含0的开集,f:D→R~n是连续偶映射(f(x)=f(-X),(?)X∈D)使O(?)f((?)D)有如下主要结果:1~0如假设(H)满足,则deg(f,D,0)是偶数.2~0如假设(H)满足,R~n的维数n为奇数且f(x)+(λ-1)x≠0,(?)x∈D和λ>1,则f在(?)D上必有零点.3~0如假设(H)满足但R~n的维数n为奇数,则存在y∈(?)D和λ>0(或λ<0)使f(y)=λy.我们进一步按上述内容对全偶连续映时进行了讨论.映射f:D→R~n是全偶的,只要f((-1)~(a1)x_1,…(-1)~(an)x_n)=f(x_1,…x_n),(?)(a_1,…a_n)∈δ_n(0,1),这里δ_n(0,1)={(a_1,…,a_n)|a_i=0或1,(?)i∈{1,2,…,n}}.     

分数阶非线性微分方程初值问题的上下解方法

利用上下解方法,考虑一类分数阶非线性微分方程初值问题{x~a(t)=f(t,x(t)),t∈[a,b],a0,x(a)=x_0的可解性,基于Schauder不动点定理,得到了如果存在一对上下解,则在上下解之间必存在一个解其中:f:[a,b]×R→R是一个连续函数;x~(a)(t)表示x在t上的一致α阶导数,α∈[0,1].     

几种收敛速率较高的迭代求解程序

为求解方程f(x)=0,我们提出了下列二种迭代程序:x_n~(1)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_(n-1)~(m)),x_n~(2)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_m~(1)),x_n~(3)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_n~(2),x_n~(m)=ω(x_(n-1)~((m-1)),x_(n-1)~(m),x_n~((m-1))),(?)n∈N_0和z_(n 1)=ω(x_n,y_n,x_n),y_(n 1)=ω(x_n,z_(n 1),z_(n 1)),x_(n 1)=ω(x_n,z_(n 1),y_(n 1)),其中ω(x,y,z)=z-f(z)/f(x,y),f(x,y)=f(x)-f(y)/(x-y),它们的收敛阶分别为m (m~2 4)~(1/2)/2和2 3~(1/2)。本文分别建立了程序(I_m)和程序(Ⅱ)的收敛性定理,并就两个定理作了六点注记。文中还给出了一个数值例子     

非线性微分方程解的全局性态

本文研究向量微分方程 (dx)/(dt)=f(t,x) (1) 或 (dx)/(dt)=f(x) (2)其中x=(x_1, x_2, …, x_n)为n維向量,f(t, x)或f(x)是分别定义在0≤t<+∞,‖x‖=2~(sum from =1 to n x_i~2)<+∞或‖x‖<+∞的n維連续向量函数,它们满足方程(1)或(2)的解的存在唯一性定理及解对初始值的連续依赖性定理的条件。当考虑稳定性问题时我们     

分数次积分算子的弱型极限行为

将分别建立当λ→0和λ→+∞时,分数次积分算子的弱型极限行为.具体来说:对于任意的f∈L1(Rn),有下面2个等式成立,limλ→0λ|{x∈R~n:|I_αf|λ}|~((n-α)/n)=v_n~((n-α)/n)‖f‖1,limλ→+∞λ|{x∈R~n:|I_αf|λ}|~((n-α)/n)=0.     

一类函数表达式的求法

问题中有f(x y)=f(x) f(y) axy或f(x y)=f(x)f(y)或f(xy)=xf(y) yf(x)的表达式,且已知f(x)在某点的导数值,求f(x)的表达式.这一类函数表达式的求法,表面上与导数无关,实际上是导数定义式的应用,先由导数定义式求出f'(x),即lim(h→0)f(x h)-f(x)/h=f'(x)'再确定f(x)。     

压缩映象原理的扩充

本文的主要结果是下列定理,它是压缩映象原理和裴鹿成的定理的推广. 定理设f是把完备距离空间X的元素变为X的元素的连续变换,从x_0出发,取x_(n 1)=f(x_n),设序列{x_n}满足σ(Sk,N_(k 1))≤ασ(S_(k-1),N_k),k=1, 2,3……其中σ(n,m)=max σ[x_(n j),x_(n j 1)], o≤j相似文献   

一类二阶常微分方程组边值问题解的存在唯一性

本文讨论二阶常微分方程组边值问题 -u''(t)=f(t,u(t),v(t)),t∈[0,1], -v''(t)=g(t,u(t),v(t)),t∈[0,1], u(0)=u(1)=0,v(0)=v(1)=0 解的存在性与唯一性,其中f,g:[0,1]×R×R→R连续.在非线性项f(t,x,y)与g(t,x,y)关联的不等式条件下,运用Leray-Schauder不动点定理,获得了该问题解的存在性及唯一性.     

关于Stolz定理的推广的注记

本文将指出《数学分析中的典型例题和解题方法》一书(以下简称*)中,关于Stolz定理的推广的一个疏忽,并提出修改意见,同时给出该定理证明的一些补充. 兹将*中(∞/∞型)Stolz定理的推广引述如下: 设T为正常数,若函数g(x),f(s),x∈[a,+∞)满足: (1)g(x+T)>g(x),x∈[a,+∞); (2)lim g(x)=+∞,f(x),g(x)在[a,+∞)的任意子区间上有界;x→+∞ (3)lim{[f(x+T)-f(x)]/[g(x+T)-g(x)])=l.