关于整数表示的新猜想(Ⅰ)（英文）

本文研究把自然数写成方幂的加权和表示问题并提出这方面的一些新猜想.例如:我们证明本质上只有9个形如aw~h+bx~i+cy~j+dz~k(其中a,b,c,d为正整数,h,i,j,k∈{2,3,4…,}且h,i,j,k中至少有一个为2)的多项式使得每个非负整数n可表成aw~h+bx~i+cy~j+dz~k的形式(其中w,x,y,z为非负整数).我们的一个猜想断言如果f(w,x,y,z)是9个多项式w~2+x~3+2y~3+cz~3(c=3,4,5,6),w~2+x~3+2y~3+dz~4(d=1,3,6),2w~2+x~3+4y~3+z~4,w~2+x~3+y~4+2z~4之一那么就有{f(w,x,y,z):w,x,y,z=0,1,2,…,}={0,1,2,…}.我们也猜测大于1的整数n可表成x~4+y~3+z~2+2~k的形式,其中x,y,z为非负整数且k为正整数.     

度条件下的竞赛图

完全图的定向图称为竞赛图.该文主要研究了一类竞赛图的存在性.证明了如下结论:设s和t是任意两个非负整数,对于满足方程s+t=n和as+bt=n(n-1)/2的非负整数a和b,存在一类竞赛图使得每个顶点的入度或者是a或者是b.反之,对于非负整数a和b,若存在满足每个顶点的入度或者是a或者是b的竞赛图,则存在非负整数s和t满足方程s+t=n和as+bt=n(n-1)/2.     

覆盖同余式应用的一点注记

建立了一组覆盖同余式并通过对非负整数n进行分类等方法,给出了使2kp~n+1对每一个非负整数n均为合数的k值,这里素数p=19,31,37,43,61,67,73,79,97。     

不定方程ax+by+cz=n的非负整数解的存在性问题的若干定理

书[1]中指出:“命a,b,c为三正整数,且(a,b,c)=1,求最大之整数不可由ax+by+cz(x≥0,y≥0,z≥0)表出者。此乃一未经解决之问题。” 这一问题的解决,与系数a,b,c都为正整数的不定方程 (1) ax+by+cz=n的非负整数解的存在性问题有密切的联系。 本文将使后一问题在大多数情形下得到解决,从而得到前一问题的部分结果。为此,我们需要用到下面的 引理 设(a,b)=1,a>0,b>0,n≥0,那么方程 (2) ax+by=n有非负整数解的充要条件是n≠ab-ka-ιb,这里k>0,0<ι≤a是整数。 (限制0<ι≤a只是为了使表示法ab-ka-ιb是唯一的,下面,我们总是假定有这个限制)。     

不定方程x~2+4~n=y~(13)整数解的完全刻画

文章研究指数型Lebesgue-Nagell不定方程x~2+B=y~k的整数解是数论中的一类重要课题,其中B是非负整数,k是正整数。应用代数数论的方法完全刻画了不定方程x~2+4~n=y~(13)的整数解,既证明了不定方程x~2+4~n=y~(13)有整数解(当且仅当n≡0,6(mod 13)),且其整数解分别为(n,x,y)=(13m,0,4~m)或(13m+6,±2~({13m+6}),2~({2m+1})),其中n,m是非负整数.     

不定方程qx+2qy+rz=n的非负整数解组的计数公式

在本文中,以a(n,q,r)表示不定方程 qx+2qy+rz=n的非负整数解组(x,y,z)的个数。我们给出了a(n,q,r)的公式。     

不定方程x~3+y~3+z~3-3xyz=n有非负整数解的充要条件

给出不定方程x3+y3+z3-3xyz=n的非负整数解的一个判定准则.主要结果为:如果正整数n有标准分解式n=2rpr11…prkk,其中p1,p2,…,pk是适合p1相似文献   

星图网络的定向图

主要研究了星图网络Sn的定向图.证明了如下结论:对于非负整数a和b,若存在满足每个顶点的入度或者是a或者是b的一个Sn的定向图,则存在非负整数s和t满足方程s+t=n!和as+bt=(n-1)/2.进一步,对于满足特定条件的非负整数a,b和n,存在Sn的定向图使得每个顶点的入度或者是a或者是b.     

完全偶图的定向图

完全偶图是具有二分类（X,Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y的每个顶点相连，若｜X｜=m,｜Y｜=n，则这样的图记为K_m,n。本文主要研究了Kn,n的定向图。证明了如下结论：对于非负整数a和b，若存在满足每个顶点的入度是a或者是b的一个Kn,n的定向图，则存在非负整数s和t满足方程s+t=2n和as+bt=n2。进一步，对于满足特定条件的非负整数a，b和n，存在K_n,n的定向图使得每个顶点的入度非a即b。     

一个用无理数幂表示整数的公式

设 Q =4l +1 ,l是非负整数 ,a、b是奇偶性相同的整数 ,则对于任意的非负整数 n,　　　　 f ( n) =1Qa +b Q2n+1-a -b Q2n+1　　　　 ( * )都表示整数。特别 ,当 a、b是自然数时 ,f ( n)也是自然数 ;当 a、b是偶数时 ,f ( n)也是偶数。( * )式就是一个用无理数幂表示整数的公式。证 :当 n =0时 ,f ( 0 ) =b,命题成立 ;假设对一切小于 k的自然数 n命题均成立 ,则f ( k) =1Qa +b Q2k+1-a -b Q2k+1=1Qa +b Q2k a +b Q2 -a -b Q2k a -b Q2=1Qa +b Q2k -a -b Q2k a +b Q2 +a -b Q2　 -1Qa +b Q2k a -b Q2 -a -b Q2k a +b Q2=af ( k -1 ) …     

一类二阶混合偏差分方程解的振动性

应用包络理论研究二阶混合偏差分方程U_(m+2,n)+pU_(m,n+2)-U_(m,n)+qU_(m+σ,n-τ)=0其中,τ,σ为正整数,m,n为非负整数,p,q为实数,得到了解振动的几个充要条件.     

不定方程a_1X_1 a_2X_2、 … a_SX_S=n的非负整数解的解数

下面讨论(1)在有非负整数解的情况下,有多少非负整数解的解数问题. 引理S=2时,方程(1)的非负整数解的解数不超过[n/a1a2] 1 [3]。     

一类覆盖同余式组的一个应用

建立了一类覆盖同余式组并通过对非负整数n进行分类等方法，给出使k·2n-1对每一非负整n均为合数的K值的计算。最后列出了21个k值，均能使k·2n＋1对任一非负整数成为合数。     

一个有关Fibonacci数的倒数方程

对于非负整数n,设F(n)是第n个Fibonacci数.运用初等方法证明方程(x+1)/F(y)=∑kx=1[1/F(2k)]仅有正整数解(x,y)=(1,3).     

Fermat数尾数的一点注记

借助中国剩余定理探讨Fermat数的尾数,证明了当非负整数n≥3时,Fermat数Fn=22n+1≡17,257,537,297,617,457,937,97,217,657,337,897,817,857,737,697,417,57,137,497(mod 1000).     

关于n!中的最高次幂的新算法

<正>[X]表示不大于实数X的最大整数.P(n∈N)表示n1中素数p的最高次幂,即如果p~m|n1(m是非负整数)但p~(m+1)n1则p     

方幂和中因子5的指数(英文)

本文给出下面方幂和中因子 5的指数公式 : n - 1k=0[x +dk]rd =5s +1,5s+3 ,5s+5 .其中r,x ,n是正整数 ,s是非负整数 ,n =5 am ,5 m .     

方幂和中因子3的指数(英文)

给出下面方幂和中因子 3的指数公式∑n - 1k =0 (x +kd) r,d =3s+ 1,3s+ 2 ,3s+ 3 ,其中x ,r ,n是正整数 ,s是非负整数 ,n =3am ,3 m     

Fermat数取模的一个结论

通过对Fermat数Fn=22n+1的非负整数n具体取值情况的讨论,利用中国剩余定理进行演算,给出了Fermat数取模10000的一个结论.     

关于不定方程x2+4n=y11的整数解

应用代数数论以及同余法等初等方法讨论不定方程x~2+4~n=y~(11)的整数解情况,证明了不定方程x~2+4~n=y~(11)在x为奇数,n≥1时无整数解;不定方程x~2+4~n=y~(11)在n∈{1,8,9,10}时均无整数解;不定方程x~2+4~n=y~(11)有整数解的充要条件是n≡0(mod 11)或n≡5(mod 11),且当n≡0(mod 11)时,其整数解为(x,y)=(0,4~m);当n≡5(mod 11)时,其整数解为(x,y)=(±2~(11m+5),22m+1),这里的m为非负整数,验证了k=11时猜想1成立。