欧拉不等式的一个分隔链

欧拉曾提出如下著名不等式R≥2r其中 R、r 分别为三角形的外接圆半径和内切圆半径,等号当且仅当三角形等过时成立(下同).本文给出它的一个分隔链.命题1 在△ABC 中(2(ab+bc+ca)-(a~2+b~2+c~2))/(3~(1/2)(a+b+c))≥2 <1>     

关于单形几个定理的証明

在平面几何中,我们知道,若给定△ABC,其三边长分别为a、b、c,a边上的高为h_(?),三角形面积为S,则有面积公式S=1/2ah_a,余弦定理a~2=b~2+c~2-2bccosA,等。事实上,这些定理及公式都可以推广到高维空间中去。本文给出几个关于单形的定理及其证明。     

求解丢番图方程1/x~2+1/y~2=1/z~2+1/w~2

利用高斯二平方和定理求解一个特殊的丢番图方程1/x~2+1/y~2=1/z~2+1/w~2,将其转化为a~2+b~2=c~2+d~2.经讨论得知,a~2+b~2≡c~2+d~2≡1,2(mod 4),当(k_1-k_3)(k_1+k_3-1)≡(k_4+k_2)(k_4-k_2)时,a~2+b~2≡c~2+d~2≡1(mod4);当(k_1-k_3)(k_1+k_3-1)≡(k_4-k_2)(k_4+k_2-1)≡0.2(mod 4)时,a~2+b~2≡c~2+d~2≡2(mod 4).     

平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用

设E:x~2/a~2+y~2/b~2+z~2/c~2=1为一个椭球面,P:px+qy+rz=d为一个平面.利用Householder变换,证明了E和P相交当且仅当λ≥|d|,其中λ=((ap)~2+(bq)~2+(cr)~2)~(1/2).当λ|d|时用新的方法证明了椭球面E和平面P的交线l一定是椭圆,并且给出了该椭圆的参数方程.利用交线的参数方程,给出了由所围成的内部区域的面积公式,进而给出了椭圆的长半轴和短半轴的计算公式.作为应用,又给出了交线成为一个圆的充要条件.     

双曲线与其渐近线相关的一些几何性质

本文研究双曲线与其渐近线相关的一些性质,简捷地解决了几个较复杂的问题。 不失一般性,本文讨论的双曲线的方程都是 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0,c~2=a~2+b~2),其渐近线方程为(1) bx+ay=0(2) bx-ay=0。 1 相关的定值: 命题1:双曲线上任一点到两渐近线的距离之积为定值(ab/c)~2。     

关于 Euler 公式的重新证明

四元三次不定方程x~3 y~3=u~3 v~3 (1)的有理解由 Enler 公式x、y、u、v=-αβ 1,γβ-1,-β~2 γ,β~2-α (2)给出,式中α、β、γ=a-3b,a~2 3b~2,a 3b (3)式中 a、b 为任意有理数,(Euler 公式由 Euler 提出,Binet 化简,关于证明,例如 Carmichael,Diophantine Analysis,p.65.Hermite 用几何方法证明,Nouv.Ann.(2)11,1872.Oeuvres 3.p115.Fuziwara,Tohoku.Math.Journ.1.1911,Archiv.d.Math.(3)19,     

有限个单形间的几个不等式

在通常情况下,我们所讨论的两个三角形,它们的边长与边长之间并无联系。本文所谈及的一些单形间的问题,它们之间的棱长具有一种有趣的联系。比如: 若△A_iB_iC_i的边长为a_i,b_i,c_i;面积为△_i,则以a'_i=(sum from k=1 to m α_k a_k~2)~(1/2), b~i=(sum from k=1 to m α_k b_k~2)~(1/2) ,c'_i=(sum from k=1 to m α_k c_k~2)~(1/2)为边长可以构成一个三角形A'B'C'。记△A'B'C'的面积为△',则有如下有趣的不等式     

△>0是多余的

有这样的两个数学题,在解题过程中各书都应用△>0,摘录于下:1、方程x~2-2x+lg(2a~2-a)=0有一个正根、一个负根、求实数a的范围.解 因方程有二不等实根,所以△=(-2)~2-4lg(2a~2-a)>0.再由根与系数关系,得不等式组:     

不等式((a+b)/2)~2≤((a~2+b~2)/2)的应用及推广——关于一道作业题的评讲手稿

本文讨论了不等式((a+b)/2)~2≤(a~2+b~2)/2的作用;给出了较为广泛地应用这一不等式解题的例子。     

一个不等式的导出及其应用

本文首先利用a~2+b~2≥2ab(a,b为实数)证明了不等式(2/(n-1))1相似文献   

一些几何不等式的证明与推广

本文给出了三角形中一个重要不等式(abc)~(2/3)≥4 3~(1/2)△/3的十种初等证明,在此基础上推广并证明了一些其它的几何不等式,最后通过实例说明其应用。     

关于商高数

1.Sierpinski证明了方程3~x+4~y=5~z除x=y=z=2外,无其他正整数解。Jesmanowicz提出猜测:(H)对于正整数a,b,c,x,y,z,如果有a~2+b~2=c~2和a~x+b~y=c~z,     

关于丢番图方程(24n)x+(143n)y=(145n)z

指数型丢番图方程(na)~x+(nb)~y=(nc)~z是数论领域中非常典型的一类不定方程。设a,b,c为两两互素的正整数且满足a~2+b~2=c~2,即当a,b,c为本原商高数时,该方程就可以写为[n(a~2-b~2)]~x+[n(2ab)]~y=[n(a~2+b~2)]~z。由于该类丢番图方程与编码理论、群论以及组合论都有着紧密的联系,因此一直以来都备受广大数学爱好者的青睐。1956年,Je'sm anowicz猜想该方程仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),但迄今为止这类方程还未得到彻底的解决。本文主要运用奇偶分析法、简单同余法、以及二次剩余理论等方法,证明了:对任意的正整数n,丢番图方程(24n)~x+(143n)~y=(145n)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),即证明了:当(a,b,c)=(24,143,145)时,Je'sm anowicz猜想成立。     

最高阶元个数为42的有限群是可解群

通过讨论群的最高阶元素的个数为42的情况,得到如下定理1.如果G是最高阶元素个数为42的有限群,则G是下述群之一:1)G(=)[Z43]·H,其中[Z43](△)G,H(≤)Z2×Z3×Z7;2)G有一个正规子群Zk(k=49、86、98),而且G/Zk(≤)Z2×Z3×Z7;3)G是方指数为4的2-群或元素的最高阶为6的{2,3}-群;4)G的阶整除2α·3β·7γ,(1≤α≤5,0≤β≤3,0≤γ≤2).并证明了这类群是可解群.     

Banach代数上元素线性组合的广义Drazin逆的表示

令a,b为Banach代数中的两个广义Drazin可逆元,a~d,b~d表示a,b的广义Drazin逆,a~π=1-aa~d.利用Banach代数中的幂等系统研究了两个元素a,b和的广义Drazin逆的表达式,得到ab~π=a,b~πba~π=b~πb,b~πa~πa~2b=b~πa~πaba,b~πa~πb~2ab=0,b~πa~πb~2a~2=0,b~πa~πba~2b=0,b~πa~πba~3=0等条件下和a+b的广义Drazin逆表达式.     

对线性方程组的解关于系数的敏感性问题的一点注解

关于线性方程组Ax=b当左端的系数方阵A及右端自由项b同时有扰动△A及△b时,方程组的解关于系数的敏感性问题,在[1]中已给出一个估计解的相对误差的不等式,其适用条件是||A~(-1)||·||△A||≤α<1。本文得到一个满足||A~(-1):△A||≤α<1的条件下的估计式,并举例说明其应用。     

模n高斯整数环的商环的立方映射图

Z[i]为高斯整数环,γ为Z[i]中任意非零元,〈γ〉表示由γ生成的理想。定义商环Z[i]/〈γ〉上的立方映射图G(γ),该映射图的顶点为Z[i]/〈γ〉中的所有元素,并且,对于图中的两个顶点α和β,如果β=α3,则从α到β有一条有向边。本文对映射图G(γ)的结构进行了研究,包括G(γ)中不动点的个数,顶点0、1的入度,G(γ)的半正则性,以及任一个零因子顶点在映射图中的高度等。     

Engel群上Yang不等式的推广

本文研究了Engel群上sub-Laplace算子的Dirichlet问题{-ΔEu=λu在Ω内u=0在Ω上,其中ΔE=X_1~2+X_2~2为Engel群上的sub-Laplace算子,X1,X2为Engel群上的左不变向量场.利用Chebyshev不等式及算子特征值、特征函数的性质得到了此问题特征值的不等式kΣi = 1(λk+1-λi)α≤2~(1/2)(kΣi=1(λk+1-λi)βkΣi=1(λk+1-λi)2α-β-1λi)1/2其中,α∈R,β≥0且α2≤2β.当α=β=2时即为Yang不等式,所以上述不等式是Yang不等式的一个推广.     

一条中线长为整数的整边三角形

给出一条中线长为整数的整边三角形的充要条件,利用高斯整环的性质给出不定方程b~2+c~2=2k~2+2n~2的解,并由此给出一类中线长为整数的整边三角形.     

关于正定厄米特矩阵一个定理的推广

推广了文献[1]给出的一个不等式,得到了以下结果:设Ai,Bi,…,Ci(i=1,2,…k)都是n(≥2)阶正定厄米α·Ai特矩阵,α,β,…,γ都是正实数,且1｜Ai｜α·｜Bi｜β…｜Ci｜γ<∑kn≤α+β+…+γ=p<1,则∑ki=1i=1γ。β…∑k∑kCiBii=1i=1