B(a)cklund变换和微分差分方程

主要研究构造非线性演化方程的B(a)cklund变换的新途径.首先从一个连续的谱问题出发,借助于Lax对的非线性化方法,推导出连续的非线性演化方程,然后应用谱问题的相容性,构造了两个非线性微分差分方程,这两个方程恰好是一个连续的非线性演化方程的B(a)cklund变换.     

可作为Bcklund变换的微分差分方程

主要研究通过变换求解非线性演化方程的途径.首先从一个连续的谱问题出发,借助于Lax对的非线性方法,推导出连续的非线性演化方程,然后应用谱问题的相容性,构造了两个非线性微分差分方程,这两个非线性微分差分方程正好是一个连续的非线性演化方程的Ba¨cklund变换.     

可作为B(a¨)cklund变换的微分差分方程

主要研究通过变换求解非线性演化方程的途径.首先从一个连续的谱问题出发,借助于Lax对的非线性方法,推导出连续的非线性演化方程,然后应用谱问题的相容性,构造了两个非线性微分差分方程,这两个非线性微分差分方程正好是一个连续的非线性演化方程的B(a¨)cklund变换.     

可作为Baecklund变换的微分差分方程

主要研究通过变换求解非线性演化方程的途径．首先从一个连续的谱问题出发．借助于Lax对的非线性方法．推导出连续的非线性演化方程。然后应用谱问题的相容性．构造了两个非线性微分差分方程，这两个非线性微分差分方程正好是一个连续的非线性演化方程的Baecklund变换．     

一族新的微分方程的守恒律和Darboux变换

借助于零曲率方程给出一个与3×3矩阵谱问题相关的新的非线性演化方程族.基于谱问题及其辅谱问题,得到了这个方程族中前两个非线性演化方程的无穷多守恒律和第一个非线性演化方程由Darboux变换构造的一些显式解.     

一个可积非线性演化方程的达布变换及其精确解

研究了一个新的可积非线性演化方程,基于其Lax对和谱问题的规范变换,构造出该方程的一个达布变换,进而利用此达布变换,得到该方程的精确解,包括有理解、孤子解与周期解.     

相异AKNS方程解之间的=u+ln[a]~2型Backlund变换

文[1]曾给出两例不同的演化方程的解之间的Backlund变换。本文先给出文[1]中两个定理统一的更一般的形式,再进一步证明两个新定理,给出几个不同方程的解之间的Darboux型Backlund变换。     

辅助方程法的来源

在"古为今用"原则下,通过研究大量的文献得出辅助方程法的主要来源是双曲正切函数展开法和Riccati方程法,并总结了Riccati方程法的构造性和机械化性两个特点.充分发挥这两个特点获得了Riccati方程的Backlund变换和解的非线性叠加公式,构造了非线性发展方程的无穷序列新精确解.这里包括双曲函数、三角函数和有理函数通过几种形式组合而成的无穷序列复合型精确解.     

关于Boussinesq方程的Backlund变换的可换性

Backlund变换是孤立子理论研究的重要组成部分。由方程的Bicklund变换出发常可导出方程的解的非线性叠加公式[1]。但是,在发挥Backlund变换的这一功用时,要用到一条所谓“可换性”性质。即由方程的一个解出发,分别经参数为ξ1、ξ2和ξ2、ξ1的两次Backlund变换所导出的新解相同。这一性质在一般情况下并没有得到证明[2,3]。本文利用Hirota双线性算子对重要的演化方程-Boussinesq方程 山,一“。。一3…勺。。一0。。。。=0(1)的Backlund变换可换性作了严格论证。 作变换 a。2(IOgj)。。,方程(1)可以归结为HifotO双线性形式其中Hirota算…     

两个含时变系数的高维非线性演化方程新型孤子和多波解

在构造非线性演化方程的精确解时,通常采用的行波变换都是线性变换.通过引入特定形式的非线性行波变换,首次将N-孤子分解算法及继承求解策略推广应用于变系数非线性演化方程,求解了两个含有时变系数的高维非线性演化方程:Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程和圆柱Kadomtsev-Petviashvili(cylindrical Kadomtsev-Petviashvili, cKP)方程.应用直接代数方法和继承求解策略,构造了BLMP方程的多种不同类型的多波相互作用解,尤其是马蹄形孤子及它与lump波、不同周期波之间的相互作用解.利用N-孤子分解算法构造了cKP方程的马蹄形孤子、呼吸子和lump波解之间的高阶相互作用解.这些新型多波相互作用解在一定程度上丰富了变系数非线性演化方程的解的类型.     

Newell方程的Backlund变换和新精确解

针对非线性数学物理研究中应用广泛的Newell方程的精确解问题，采用扩展的齐次平衡法获得Newell方程的一组Backlund变换，并利用此Backlund变换得到2组带有任意参数的精确解.这些结果与通过双曲正切法、试探函数法得到的结果进行比较，发现用Backlund变换得出的解的形式更加丰富，肯定了该方法的可行性和有效性.     

规范变换及Backlund方法求精确解

规范变换是获得孤子方程精确解十分有效的方法,本文利用Boussinesq—Burgers方程谱问题,建立了Boussinesq—Burgers方程规范变换,从而利用规范变换获得其Backlund变换关系,进而利用其Backlund变换关系求得方程新的精确解。     

变系数Burgers方程的BT与非线性边值-初值问题

利用齐次平衡原则导出了变系数Burgers方程的新型Backlund变换 (BT)。作为BT的特别情形 ,得到了Cole Hopf型变换 ,借助该变换变系数Burgers方程化为线性变系数方程 ,且证明了方程在半无限直线上的一个非线性边值—初值问题的解可精确构造出来 ,只要相应线性方程的边值—初值问题的解可精确地得到     

Dirac方程族的N-波达布变换与精确解

利用等谱问题的规范变换，为一对耦合的非线性Dirac演化方程建立了一个具有多个参数的N-波达布变换，求出了该方程的精确解。     

WKI方程的达布变换与精确解

利用等谱问题的规范变换，为一对耦合的非线性演化方程建立了一个具有多个参数的N波达布变换，通过约化得到了WKI方程的达布变换，而且应用该达布变换获得了WKI方程的精确解。     

多变元AKNS系统的N-波达布变换与精确解

利用等谱问题的规范变换，为一对耦合的非线性演化方程建立了一个具有多个参数的N-波达布变换，进而求出了该方程的精确解．     

一个非线性输运方程的相似解

本文利用Lie一Backlund变换求了一个非线性输运方程，并给出了该方程的相似解。     

一个不含谱参数的谱变换

利用已建立的Lie代数构造了一类新的含复数的谱问题,再用一个不含谱参数的规范变换将该谱问题转化为著名的Zakharov-Shabat特征值问题,由此得到了新的位势函数与原来的位势函数间的代数运算关系,也就是说,如果取原来函数的某些特殊值作为种子解的话,则利用该规范变换就可得到新的精确解.最后,将该规范变换约化为非线性演化方程的达布变换.     

辅助方程法的两大特点及其应用

用吴文俊提出的研究数学史的"新方法论"来研究辅助方程法有关的大量文献,总结了辅助方程法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,发挥这两大特点给出了第一种椭圆辅助方程的新解和Backlund变换,构造了非线性发展方程的无穷序列新精确解.其中包括无穷序列光滑孤立子解、无穷序列尖峰孤立子解和无穷序列紧孤立子解.     

具有孤子解的非线性波动方程的Bcklund变换

本文在一、二、三、四、论述了近年来对于具有弧子解的非线性波动方程的Backlund变换。在五、给出了非线性薛定格方程的Backlund变换,以及它与散射反演方法问的联系。