微分方程零解的全局稳定和全局渐近稳定的充要条件

<正> 本文讨论扰动矢量方程 dx/dt=f(t,x) (1) 其中:x=(x_1,x_2,……,x_n)~T是R~n空间的矢量,f(t,x)是定义在I×R~n空间 0≤t<+∞, ‖x‖<+∞ (2)上的n维连续矢量函数,f(t,0)=0,满足解的存在及唯一性条件,并且假定解可以开拓到t=+∞。     

局部lipschitz映象的全局反函数定理

一、引言在光滑分析中有下列著名的全局反函数定理(参见[1]):设f∶R~n→R~n为C~p映象(P≥1).如果对于任何x∈R~n,f＇(x)满秩并且     

无穷维空间中映像的广义可微性

一、引言近20年来,随着最优化理论的发展,为了处理非光滑函数而产生了一系列广义可微性的概念。 1963年,R.T.Rockafellar首先建立了凸函数f:R~n→R的“次梯度”,他定义f在x_0∈R~n处的次梯度为 (1.1) (?)_*~Rf(x_0)={z∈R~n|(?)h∈R~n,f(x_0+h)-f(X_0)≥}其后,他又逐步建立了这种次梯度的一般运算理论。 1973年,F.H.Clarke对于这种次梯度理论作出了重大的推广。他首先对局部Lipschitz函数f:R~n→R建立了“次微分”,然后引入了这种函数的“广义梯度”。其中在X_0∈R~n处沿方向h∈R~n的次微分     

解非线性算子方程的最速下降法

设F(x)=grad f(x)是定义于实Hilbert空间H内的势算子,其势f(x)的临界点,特别是极值点是方程F(x)=0的解。因此求泛函数f(x)的极值点(如果存在)可以求得方程F(x)=0的解。求泛函数f(x)的极小值可以用最速下降程序: (1) X_(n+1)=x_n-ε_nF(x_n)(n=1,2,…),其中ε_n是适当的常数,x_1是在H中任取的一点。     

求解无约束全局优化问题的一种方法

提出一种新的求解无约束全局优化问题的方法,该方法把修正的BFGS方法与填充函数方法相结合,使得目标函数f(x)的当前局部极小点x*1可以移到目标函数的另一个局部极小点-x,且f(x*1)≥f(-x),同时-x也是填充函数的极小值点;然后再以为初始点求f(x)的局部最优解.反复以上过程,最终可以找到f(x)的全局最优解.     

求一类函数的差分方程法

在工程技术问题的一些计算过程中,常会碰到到求某一个以自然n为自变量的函数f(n)的问题。例如,已知X_1=a,X_2=b,X_(n+2)=(X_(n+1)+Xn)/2,求X_n。要解此题,需求出数列{Xn}的通项表达式,若不求出通项,而在Xn+2=(Xn+1+Xn)/2两边取极限 (假设极限存     

一种改进的填充函数法

提出一种新的求解无约束全局优化问题的方法,此方法把修正的 Broyden-Davidon-Fletcher-Powell (BFGS)方法与填充函数方法相结合,可以从目标函数f(x)的当前极小点x*1出发找到另一个局部极小点x*2,且f(x*1)≥f(x*2),然后再以x*2为初始点用同样的方法来求f(x)的更小的局部极小点,反复以上过程,最终可以找到f(x)的全局最小点x*g.经过数值检验,表明方法是可行有效的.     

求全局极值的一个混合算法

务1、引言 已知一个实值函数f(x):R“一R和紧集SCR“,如果有一点x带〔S,使得 f(x朴)‘f(x),Vx〔5.则称x朴为f(x)的个局极小值点,f,一f(x朴)为f(x)的全局极小值.这样的问题被称为是‘.本质无约束的”。在本文中假定S为 a,(x,《b,,j=1,2,……,n. 最常用的一种确定全局极小值的方法,是随机地选择一系列开始点x(“),并从每个开始点x(“)使用局部极小化算法。(见Dixon,Gomulka和Hersom(1976))。这种方法称之为多头算法(Multistart approaeh),其步骤如下: 步1:随机地选择刻“); 步2:从x(“)以允许误差。开始一个局部极小化算法; 步3:判断是否…     

用代数方程求射影向量

设■=L(α_1,α_2,…,α_m)是R~n的一个子空间,α_1,α_2,…,α_m,β∈R~n是列向量,则β_0=X_10α_1+…+X_m0α_m是β在W上的正(内)射影,当且仅当(X_10,…,X_0)′是线性方程组的解,此处A′是A的转置矩阵。     

信赖域方法的收敛性质及其在非线性最小二乘问题中的应用

本文在Fletcher和Shultz,Schnabel & Byrd等工作的基础上,考察一类信赖域方法的收敛性质,并将其应用于分析处理零残量非线性最小二乘问题算法的全局收敛性.1 算法描述及其对稳定点的收敛性考虑求解无约束优化问题minf(x),x∈R~n的信赖域算法;其第k次迭代为(a) 确定f(x)在其极小点x~*的估计x_k的近似qk(x)=f(x_k)+ψ_k(s),ψ_k(s)=g_k~Ts+ 1/2s~TB_ks.其中gk满足lim‖gk-?f(x_k)‖=0;     

非线性规划方法简介(Ⅱ)

四、n维空间R~n中无约束最优化问题这一章我们考虑无约束的非线性规划问题■ (4.1)当f(x)为R~n中一般的实函数时,这个问题的解决是很困难的。目前的方法只能近似地得到某个点x~*,它是f(x)的平稳点(满足最优解的必要条件的点),但不能保证x~*一定是整体极小解。对于实际问题,我们往往满足于求出一个近似的局部极小解。§4.1 直接搜索方法这类方法大多是一些直觉方法,它们只需要在若干被选择的点上比较f(x)的函数值,而不需要计算导数。一般而言,当f(x)是比较光滑的函数时,这类方法比下降方法和梯度方法     

连续凸函数一个性质的新证明

我们知道连续凸函数具有这样一个性质: 定理设f(x)是R~n上的实值连续函数,若对于任意的x_1,x_2∈R~n,都有 f(1/2x_2 1/2x_2)≤1/2f(x_1) 1/2f(x_2) (1)则f(x)必为凸函数。一般函数论教材,在论证这一性质时,大都采用哥西的巧妙证法,下面我们用反证法证明这一结论。证明:若f(x)不是凸函数,根据凸函数的定义,则至少存在两个点x_1、x_2∈R及0≤a_0≤1     

关于Sobolev空间的注记

设K是一个正整数。W~k(R~n)表示所有定义在R~n内的函数f(x)〔x=(x1,x2…,xn)〕使得它和它的S(|S|=sum from j=1 to n S_j≤K)阶广义导数都属于L~2(R~n)的函数的集合。对K=n=1,设H_0(R~1)={f(x);f和它的广义导数Df属于L~2(R~1),但f=f(a、e),这里f是绝对连续函数}。这篇文章的主要结果是:H_0(R~1)=W~1(R~1)。     

确定独立随机变量分布律的一种方法

一、前言通过独立随机变量的函数独立性,来研究该随机变量的分布律,引起许多概率统计工作者的兴趣和注意。这个问题的一般提法是,假定X_1,X_2,…,X_n是相互独立的随机变量,令 Y_i=Ψ_i(X_1,X_2,…,X_n)i=1,2,…,m,如果 Y_1,Y_2,…,Y_m相互独立,求X_i服从何种分布。当Ψ_i是线性函数时,这个问题已完满解决。这方面早期工作可见参考文献。代表性的定理为Darmois-Skitovice定理,对这个定理有各种形式的推广。     

关于X_0-sn-网的一些性质

拓扑空间中的X_0-sn-弱第一可数空间与X_0-sn-网之间关系密切,拓扑空间X是X_0-sn-弱第一可数空间,且P是X中的一个点可数cs-网,如果P是有限交封闭的,则存在P的一个子族B,使得B是X的一个X_0-sn-网.证明得到以下条件等价:1)X具有点可数X_0-sn-网.2)存在一个度量空间M和一个序列商点可数映射f:M→X.3)存在一个度量空间M和一个序列商s-映射f:M→X,使得对x∈X,都有f-1(x)≤ω.     

“圆等分点方法”的拓广

一、引 论 本文若不加声明,始终假定f(z)是任意整函数,且有f(0)　0.用　(　=1,2,…)代表f(z)的零点,对任意给定的点z0　c1,我们还假定zj已按顺序｜z1-z0｜　｜z2-z0｜　｜Z3-Z0｜　……排好,又记j=　　　.考虑方程的求复根问题。 引理1 若q是大于1的整数,则对任何非负整数m均有 引理2 任取z0 c1,若函数E(z)=exp 于闭圆域｛z｜｜z-z0｜<｜h｜｝上成立,这里h是任何给定的复数,ar(r=0,1,2,…)是一串常数,且q>1是整数,则 [证明]明显地,z0,z0 hexp(2k　i/q)　 注意到E(z)的定义,有在(1·2)式右端利用引理1即可推出引理2.证毕 引理3 对　>0,设L(…     

组合映射零点存在的一个条件

利用连续同伦算法讨论具有形式F(x)=x f(x)的组合映射F:R~n→R~n的零点的计算,其中f是二阶连续可微映射,给出了F零点存在的一个条件,在此条件下,本文给出的算法是整体收敛的。     

一类数列的通项公式

我们首先给定2k个数a_1,……,a_k和X_1,……,X_k(不失一般性,可设a_k(?)0),然后归纳地定义X_n=a_1 X_(n_1) a_2 x_(n_2) ……a_k x_(n_k),n=k 1,k 2,……如此,我们得到一个数列{xn}(本文中所说到的数列都是指这类数列)。对于这样的数列,第一个问题就是怎样求得通项公式,也就是说怎样将x_n表示成n的函数。本文的目的就是给出两个求这     

函数integral from n=a to x(f(t)dt)的可导性探讨

设有界函数f(x)在(a,b)上Riemann可积,对f(x)的不连续点,Φ(x)=integral from n=a to x(t)dt的可导性如何呢?本文指出:设X_0是f(x)在(a,b)上的不连续点,f(x)在(a,b)上的连续点组成的集合为D、x→x_0存在,则φ(X_O)存在且等于X→X_0.但逆命题不成立。     

偶映射定理

受奇映射定理的启发,本文证明了连续偶映射的Brouwer度为偶数,即偶映射定理.(H)设D(?)R~n是有界对称含0的开集,f:D→R~n是连续偶映射(f(x)=f(-X),(?)X∈D)使O(?)f((?)D)有如下主要结果:1~0如假设(H)满足,则deg(f,D,0)是偶数.2~0如假设(H)满足,R~n的维数n为奇数且f(x)+(λ-1)x≠0,(?)x∈D和λ>1,则f在(?)D上必有零点.3~0如假设(H)满足但R~n的维数n为奇数,则存在y∈(?)D和λ>0(或λ<0)使f(y)=λy.我们进一步按上述内容对全偶连续映时进行了讨论.映射f:D→R~n是全偶的,只要f((-1)~(a1)x_1,…(-1)~(an)x_n)=f(x_1,…x_n),(?)(a_1,…a_n)∈δ_n(0,1),这里δ_n(0,1)={(a_1,…,a_n)|a_i=0或1,(?)i∈{1,2,…,n}}.