极限limx→0sinx/x=1的一种新的证明方法

一般的微积分教材均利用三角形和扇形的面积不等式关系证明上述极限,本文利用圆内接三角形面积的计算,得到证明极限limx→0sinx/x=1的一种新方法.     

导函数连续性的条件分析——导数极限定理的随想

一般情况下 ,从定义出发判断函数的连续性 ,需要判断函数f(x)在点x0 的极限值limx→x0f(x)是否等于函数值f(x0 ) ,而判断导函数f′(x)在点x0 的连续性只需讨论limx→x0f′(x)的存在性。     

微积分理论重要极限limx→0(sinx)/(x)的再证明

微积分学中重要极限limx→0(sinx)/(x)的大多数传统证明方法用到尚未严格证明过的圆周长或圆面积公式.论文通过新的途径对此进行了再证明,与传统证明方法以及近来的某些其它方法都是不同的,避免了循环论证之嫌,对完善微积分经典理论是有益的.     

微积分理论重要极限的再证明

微积分学中重要极限limx→0(sinx)/(x)的大多数传统证明方法用到尚未严格证明过的圆周长或圆面积公式.论文通过新的途径对此进行了再证明,与传统证明方法以及近来的某些其它方法都是不同的,避免了循环论证之嫌,对完善微积分经典理论是有益的.     

测度链上非线性微分方程的特征值问题

讨论了非线性特征值问题 u△△(t) λa(t)f(u(δ(t) ) ) =0 ,t∈ [0 ,1]u(0 ) =0 =u(δ(1) ) 正解的存在性 .这里 [0 ,1]是一可测链 ,a与f取正值 ,且limx→ 0 f(x)x 与limx→∞f(x)x 不一定存在     

浅谈两个重要极限的应用

文章从两个方面讨论了高等数学中两个重要极限之所以"重要"的原因:一表现在简化极限计算过程;二表现在可以用两个重要极限推导出最基本的导数公式:(sinx)'=cosx,(lnx)'=1/x,进而推导出其余的一些导数公式.     

对重要极限公式limx→∞(1+1/x)x=e的推广

limx→∞[1 1/x]^x=e是高等数学教材中，重要极限公式之一。对重要极限公式的序列形式：limx→∞[1 1/n]^n=e，一般高等数学教材中均利用二项式定理进行了证明。本文不证，本文主要是对该公式limx→∞[1 1/x]^x=e逐步进行各类型推广、延拓。推导出它的几种形式，并一一进行论证，使该公式在求函数极限过程中和在推导基本初等函数的导数公式及其它方面，充分发挥出它们的作用。     

广义Taylor中值定理“中间点函数”的性质

在一定条件下,研究了广义Taylor中值定理"中间点函数"的可微性.设I是R上一区间,a∈I是区间I的左端点,函数f,g∶I→R满足条件:(i)在区间I上有n阶连续导数且g~(n)(x)≠0,(ii)存在实数α0,使limx→a~+(f~(n)(x)-f~(n)(a)/(x-a)~α=A,limx→a~+(g~(n)(x)-g~(n)(a))/(x-a)~α=B,(iii)f~(n)(a)B≠Ag~(n)(a),其中A,B是常数,则广义Taylor中值定理"中间点函数"c(x)在点a可微且c~(1)=(n!Γ(α + 1)/Γ(n+α + 1))~(1/α).该结果丰富了数学分析中值定理理论.     

剖析复合函数的极限运算

探讨了复合函数中的极限符号与函数符号能否交换次序的问题，阐述了limx→x0f[φ(x)]、f[limx→x0φ（x）及limu→u0f(u)三者的差异。     

关于积分中值定理中ξ的渐近性质

利用L’Hospital法则、带Peano余项的Taylor公式研究了积分中值定理中值点ξ的渐近性质,得出如下渐近公式:limx→aξ-ax-a=n n1+1,ξ∈[x,a].